Transcript 啊哈！妳的外心世界

啊哈！妳的外心世界
這是藍星上的藍星島，島上的三個大城市
為了籌辦藍星運動大會，正打算建造一座
大型體育館。為公平起見，有人建議：
P
Q
這一座體育中心應與該縣的三大城市中心
P、Q、R 的距離相等！！！
R
與三個城市 P、Q、R距離
都相等的地點存在嗎？
那要怎麼找到這個點呢？
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
如果你能懂我的外心世界，你
就能解決這個問題喔！
射穿外心的中垂線
在學習外心之前，我們要先來複習“中垂線”
※有關中垂線的找法，除了可以利用摺紙，摺出來，
也可以用我們學過的尺規作圖來畫。
※在這小節裡，我們還要利用GeoGebra稍微檢驗一下：
我們曾學過的 “中垂線性質”。
外心
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的外心世界
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
射穿外心的中垂線
中垂線性質
中垂線逆性質
GeoGebra畫畫看
請至左方『操作區』
尋尋覓覓妳的外心
在這一節裡，妳將學會的有：
摺紙的方式，找外心！
利用
尺規作圖，找外心！
利用
操弄
GeoGebra，玩外心！
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的外心世界
射穿外心的中垂線
明明白白妳的外心
尋尋覓覓妳的外心
童趣十足的摺紙
尺規作圖大工程
GeoGebra畫畫看
請至左方『操作區』
明 明 白 白 妳 的 外 心
• 透過趣味的摺紙與尺規作圖找出了外心後，
接下來，我們要進一步地：
1. 確認外心的存在
2. 理解與外心有關的長度與角度問題
3. 應用外心的觀念，簡化或解決問題
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
1. 三中垂線的交會
3. 30°-60°-90°的 △
2. 銳角△的外心角度問題
4. 藍星島體育館蓋哪？
鈍角△的外心角度問題
5. 外心學習之小試身手
證明：三中垂線交於一點
已知：△ABC 中，L1、L2、L3 分別是
L3
AB 、 BC 、 CA 的中垂線
求證：三中垂線 L1、L2、L3 交於同一點
證明：∵P
在 AB
AB 、
、 BC
BC 的中垂線
的中垂線
L11、L
、L22 上
上
證明：∵P
在
L
分析：如右圖，設其中兩邊
AB 、 BC
根據中垂線性質可知：
根據中垂線性質可知：
的中垂線 L1、L2 交於 P 點。
PB ＝
＝ PA
PA 、
、 PB
PB ＝
＝ PC
PC
PB
想一想：
P點會在AC的中垂線L
∴
PA ＝
＝ PC
PC
3 上嗎？
∴
PA
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
由中垂線的逆性質可知：
由中垂線的逆性質可知：
P 點也會在
點也會在 AC
AC 的中垂線
的中垂線 L
L33 上。
上。
P
故三中垂線 L
L11、L
、L22、L
、L33 交於同一點
交於同一點
故三中垂線
1. 三中垂線的交會
3. 30°-60°-90°的 △
2. 銳角△的外心角度問題
4. 藍星島體育館蓋哪？
鈍角△的外心角度問題
5. 外心學習之小試身手
銳角△外心角度的問題
題型：設O是△ABC的外心，
∠BOC與∠BAC的關係。
分 析：
如圖，作△ABC的外接圓。
想一想：
同弧所對圓周角與圓心角有何關係?
說 明：
︵
∵圓心角∠BOC＝ BC
且圓周角∠BAC＝ 1 ︵
BC
2
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
∴∠BOC＝２∠BAC
同理，∠BOA＝２∠BCA
∠AOC＝２∠ABC
1. 三中垂線的交會
3. 30°-60°-90°的 △
2. 銳角△的外心角度問題
4. 藍星島體育館蓋哪？
鈍角△的外心角度問題
5. 外心學習之小試身手
鈍角△外心角度的問題
注意： 若△ABC為鈍角△時，
∠BOC與∠BAC的關係與
△ABC為銳角△時不同喔！
說 明：
︵
∵圓心角∠BOC＝ BAC
︵
＝360°- BDC
＝360°-2× ∠A
亦即，∠BOC＝360°-２∠A
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
不過，由於∠C與∠B為都是銳角，
∴ ∠BOA＝2∠C；∠AOC=2∠B
1. 三中垂線的交會
3. 30°-60°-90°的 △
2. 銳角△的外心角度問題
4. 藍星島體育館蓋哪？
鈍角△的外心角度問題
5. 外心學習之小試身手
A
30°-60°-90°△的邊長比
說明：
∵直角△的外心D在斜邊中點
30°
2
∴ DA ＝ DB ＝ DC
D
∵△ACD為等腰△→∠1=∠A=30°
→△BCD中，∠2=∠B=60°
3
故△ACD為正△→ BC ＝ BD ＝ DC
30°
12 60°
C
60°
1
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
B 亦即 BC ＝ BD ＝ DC ＝ DA
由勾股定理可知：
AB ： BC ： AC ＝2：1： 3
1. 三中垂線的交會
3. 30°-60°-90°的 △
2. 銳角△的外心角度問題
4. 藍星島體育館蓋哪？
鈍角△的外心角度問題
5. 外心學習之小試身手
藍星島體育館蓋哪？
P
Q
R
藍星島的問題：
位於藍星的藍星島主要由三個大城市所組成。
由於今年度星際運動大會將於藍星島上舉行，
所以，三大城市的代表們同聚一堂討論著興建大
型體育館的相關事宜。團結的藍星代長一致同意
：這間體育館興建的地點應符合公平原則，即：
體育館應分別與三大城市中心P、Q、Ｒ
的距離都要相等！
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
答：
體育館與三個城市即為一地點，則與
△PQR三頂點等距的點，必須是外心
故作△PQR的三邊中垂線，交點即外心
1. 三中垂線的交會
3. 30°-60°-90°的 △
2. 銳角△的外心角度問題
4. 藍星島體育館蓋哪？
鈍角△的外心角度問題
5. 外心學習之小試身手
〈外心學習之小試身手〉
外心的學習到此，暫時告一段落了。
在進入內心課程結束之前，我們要來測試一下：
妳對三角形的外心的理解程度如何？
接下來，有幾題小小的測驗，請點選你認為正確的選項。
每答對一題，就能得到一顆愛心，
收集的愛心愈多，表示你愈懂三角形的心喔！
測驗開始
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
1. 三中垂線的交會
3. 30°-60°-90°的 △
2. 銳角△的外心角度問題
4. 藍星島體育館蓋哪？
鈍角△的外心角度問題
5. 外心學習之小試身手
1. 三角形的外心是下列何種直線
的交點呢，請將它點選出來。
3 .設O為△ABC的外心，若∠A：∠B：∠C＝
4：5：11，請選出下列敘述中正確的。
(A) 三角形三邊中線的交點
(A) ∠AOB=162°
(B) 三角形三內角平分線的交點
(B) ∠BOC=72°
(C) 三角形三邊中垂線的交點
(C) △ABC為直角△
(D) 三角形三邊上的高的交點
(D) ∠AOC=90°
2. 假設△DEF的外心O在線段DF上，
試從下敘述中，選出正確的敘述。
(D) O與△DEF三邊垂直距離相等
(B) 外接圓直徑=線段DF的長
(C) ∠DOF＝90°＋∠E的一半
測驗結束，我要交卷
成績計算：數一數，你總共得到了幾顆紅
心，踩了幾次地雷呢？
※每踩爆地雷一次，就要誠實地扣掉一顆
紅心喔！
若妳拿到的紅心少於4顆，建議你回到三心
世界再加強喔！(也可以與同學們或老師討
論，一起澄清自己的觀念！！)
(D) △DEF為直角△
啊哈！我懂妳的心
特殊△的三心課程
其它『心』的線上測驗