Transcript 啊哈！妳的重心世界

啊哈！妳的重心世界
如圖，小外、中中、阿重三人爭著要吃
一塊周圍舖著巧克力的三角形蛋糕，為
了公平起見，必須讓三個人都吃到周圍
的巧克力，而且分得一樣大塊的蛋糕。
※將△蛋糕分成三塊等面積的小△。
啊哈！我懂妳的心
每個人都要吃到三角形邊的一部份
而且三人要分到一樣大塊的蛋糕，
這蛋糕要怎麼切，才公平呢？
啊哈！妳的重心世界
射穿重心的 中線
尋尋覓覓妳的重心
明明白白妳的重心
如果你能懂我的重心世界，
你就能解決這個問題喔！
射穿重心的中線
在學習重心之前，我們要先來認識“中線“
※首先，要能夠找出三角形的中線，
這裡一樣要利用摺紙與尺規作圖來找找看。
※然後，還要教大夥利用GeoGebra親自動手畫畫中線，
進一步讓大夥真正的來玩玩“GeoGebra”，啊哈！
重心
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的重心世界
尋尋覓覓妳的重心
明明白白妳的重心
射穿重心的 中線
△的中線，就是…
找中線的方法
找中線的方法
尺規畫出妳的中線來
摺出中點再連中線
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的重心世界
尋尋覓覓妳的重心
明明白白妳的重心
射穿重心的 中線
△的中線，就是…
找中線的方法
尋尋覓覓妳的重心
在這一節裡，妳將學會的有：
摺紙的方式，找重心！
利用尺規作圖，找重心！
操弄GeoGebra，玩重心！
利用
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的重心世界
射穿重心的中線
明明白白妳的重心
尋尋覓覓妳的重心
童趣十足的摺紙
尺規作圖大工程
GeoGebra 畫畫看
請至左方『操作區』
明明白白妳的重心
• 透過趣味的摺紙與尺規作圖找出了重心後，
接下來，我們要進一步地：
1. 確認重心的存在
2. 理解與重心有關的長度、面積問題
3. 應用重心的觀念，簡化或解決問題
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的重心世界
射穿重心的 中線
尋尋覓覓妳的重心
明明白白妳的重心
1. 重心的長度問題
三中線的交會
三中線的交會
2. 重心與三塊積相等
重心與六塊積相等
重心與六塊積相等
3. 公平的分配蛋糕
4. 重心學習之小試身手
重心與頂點連線段：重心與中點連線段＝2：1
中線交點分中線長度之比
已知：E、F 分別為△ ABC 中 AB 、 AC 的中點，
且兩中線 BF 、 CE 交於 G 點。
求證： BG ： GF ＝ CG ： GE ＝ BC ： EF ＝2：1
證明：(1) ∵ EF 是△ABC 兩邊中點連線
分析：要證明「線段成比例」
1
1
2
：
1
1
2
2
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的重心世界
射穿重心的 中線
尋尋覓覓妳的重心
明明白白妳的重心
BG ：
：且
GEEF
＝ BC
EF 。
∴GF
EF＝ //CGBC
＝ ： BC
2
辦法之一就是證明：
(2) 在△GBC 與△GFE 中，
「包括各條線段的兩個三角形相似」
∵∠GBC＝∠GFE（內錯角相等）
因此要考慮△GBC
與△GFE 是否相似
∠BGC＝∠FGE（對頂角相等）
∴△GBC～△GFE （AA 相似）
故 BG ： GF ＝ CG ： GE
＝ BC ： EF
2
亦即， GB ＝
3
1. 重心的長度問題
2
GC ＝
3
＝2：1
3. 公平的分配蛋糕
4. 重心學習之小試身手
2. 重心與三塊積相等
1
BF
3
三中線的交會
三中線的交會1
CE ， GE ＝
CE
3
BF ， GF ＝
重心與六塊積相等
重心與六塊積相等
證明：三中線交於一點
已知：△ABC 的三條中線 BF 、 CE 、 AD
1
2：
求證： BF 、 CE 、 AD 三中線交於一點
分析：若△ABC 的兩條中線 BF 、 CE 交於 G'點，
另兩條中線 AD 、 BF 交於 G' 點。
若 G 與 G' 為同一點，則三中線交於同一點。
證明：∵ △ GEF～△ GCB (AA 相似)
BG ： GF ＝ CG ： GE ＝ BC ： EF ＝2：1
同理， BG' ： G'F ＝ AG' ： G'E ＝ DF ： AB ＝2：1
1
2：
2
2
亦即， BG ＝ 3 BF 且 BG' ＝ 3 BF 。
∴ BG '＝ BG ，即 G'＝G (兩點重合)。
故可知三中線交於一點。
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的重心世界
明明白白妳的重心
1. 重心的長度問題
三中線的交會
三中線的交會
2. 重心與三塊積相等
重心與六塊積相等
重心與六塊積相等
3. 公平的分配蛋糕
4. 重心學習之小試身手
重心與三頂點連線後→三塊積相等
已知：設 G 是△ ABC 的重心，連接 GA 、 GB 、 GC 。
求證：△ GAB＝△ GBC＝△ GCA (面積相等)。
證明：延長 AG 交 BC 於 M 點，
∵ AM 為中線→ BM ＝ CM 。
又「等底同高」的兩三角形，其面積相等
∴ △ ABM＝△ ACM ·······(1)
M
△ GBM＝△ GCM ······(2)
(1)－(2)：△ GAB＝△ GCA。
啊哈！我懂妳的心
同理可知：△ GAB＝△ GBC，
啊哈！妳的重心世界
∴ △ GAB＝△ GBC＝△ GCA。
射穿重心的 中線
尋尋覓覓妳的重心
明明白白妳的重心
1. 重心的長度問題
三中線的交會
三中線的交會
2. 重心與三塊積相等
重心與六塊積相等
重心與六塊積相等
3. 公平的分配蛋糕
4. 重心學習之小試身手
三中線連線之後→六塊積相等
已知：△ABC 的三條中線 BF 、 CE 、 AD 交於一點 G
求證：△GAE＝△GBE＝△GBD＝△GCD＝△GCF＝△GAF
分析：
承『重心與三塊積相等』及已複習過的性質來證明：
1. 重心與頂點的連線，將△分成三塊等面積的三角形
2. 等高的三角形，其面積相等。
證明：
∵△GAB =△GBC=△GAC
且△GAE＝△GBE＝△GAB的一半
＝△GBD＝△GCD＝△GBC的一半
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的重心世界
射穿重心的 中線
尋尋覓覓妳的重心
明明白白妳的重心
＝△GAF＝△GCF ＝△GAC的一半
∴ △GAE＝△GBE＝△GBD
＝△GCD＝△GAF＝△GCF
1. 重心的長度問題
三中線的交會
三中線的交會
2. 重心與三塊積相等
重心與六塊積相等
重心與六塊積相等
3. 公平的分配蛋糕
4. 重心學習之小試身手
公平的分配蛋糕
如圖，有一塊周圍舖著巧克力的三角形蛋
糕，要分給小外、中中與阿重三個小朋友。
為了公平起見，必須讓三個人都吃到周圍的
巧克力，而且分得一樣大塊的蛋糕。
我們來幫他們分配看看吧！
※目標：將△蛋糕分成三塊等面積的小△。
啊哈！我懂妳的心
這樣的目標，可找重心來幫忙達成。
∵重心與三頂點連線之後，會將原三角形分
成三塊等積的△，且每一塊△各自擁有一邊
∴只要沿著重心與三頂點的連線切下去即可
啊哈！妳的重心世界
如要平均分給六個人，就沿三條中線切割哦
射穿重心的 中線
1. 重心的長度問題
三中線的交會
三中線的交會
尋尋覓覓妳的重心
2. 重心與三塊積相等
重心與六塊積相等
重心與六塊積相等
明明白白妳的重心
3. 公平的分配蛋糕
4. 重心學習之小試身手
〈重心學習之小試身手〉
重心的學習到此，暫時告一段落了。
三心至此，基本概念皆學過，現在來測試一下：
妳對三角形的重心的理解程度如何？
接下來，有幾題小小的測驗，
請點選你認為正確的選項。
每答對一題，就能夠得到一顆愛心，
收集的愛心愈多，表示你愈懂三角形的心喔！
測驗開始
啊哈！我懂妳的心
啊哈！妳的重心世界
射穿重心的 中線
尋尋覓覓妳的重心
明明白白妳的重心
1. 重心的長度問題
三中線的交會
三中線的交會
2. 重心與三塊積相等
重心與六塊積相等
重心與六塊積相等
3. 公平的分配蛋糕
4. 重心學習之小試身手
1.下列關於重心的敘述，何者正確？
3. 若G為正△ABC的重心，則下列敘
述 ，哪些是正確的？
(A)重心為三角形三中線的交點
(A) 外接半徑：內切半徑=2：1
(B) 直角△的重心在斜邊中點
(B) 外心與重心距離=斜邊÷3
(C) 三中線將△面積六等份
(C) △ABG=△ABC÷6
(D)重心與三頂點連線將△三等份
(D) △ABG=△BCG+△ACG
2.若G為△ABC的重心，且∠A＝30°，
∠B＝60°，則△AGB：△BGC：
△AGC的面積比為何？
(A) 2：1： √3
(B) 1：3：6
(C) 1：1：1
測驗結束，我要交卷
測驗結束：數一數，你總共得到了幾顆紅
心，踩了幾次地雷呢？
※每踩爆地雷一次，就要誠實地扣掉一顆
紅心喔！
若妳拿到的紅心少於4顆，建議你回到三心
世界再加強喔！(也可以與同學們或老師討
論，一起澄清自己的觀念！！)
(D) 2：1：3
啊哈！我懂妳的心
特殊△的三心課程
其它『心』的線上測驗