Transcript 平行線截比例線段

單元名稱：相似形－平行線截比例線段
數學領域教學團隊製作
平行線截比例線段
基礎一
A
D
已知 AD // BC
所以△ABC與△BCD有相同的底( BC )
和相等的高( AP ＝DQ )
B
P
Q C 因此△ABC面積＝△DBC面積 (同底等高)
基礎二
△ABD面積：△ACD面積
A
BD  AE
CD  AE
＝
：
2
2
B
D E
C
＝ BD ： CD
平行線截比例線段
△ABC中，D、E分別為 AB 、AC 上一點，
且 DE // BC
性質一 AD ：DB ＝ AE ：EC
A
說明： 連接 CD、 BE
則△ADE：△BDE＝ AD ：DB
D
△ADE：△CDE＝ AE ：EC
E
又 DE // BC
B
C
所以△BDE＝△CDE (同底等高)
即 AD：DB＝AE：EC
平行線截比例線段
△ABC中，D、E分別為 AB 、AC 上一點，
且 DE // BC
性質二 AD： AB ＝ AE ：AC
說明： 已知 AD ： DB ＝ AE：EC
DB EC
即

AD AE
A
D
B
又 DB  1  DB  AD  AB
E
AD
C
AD AD
AD
EC
EC AE AC
1 


AE
AE AE AE
所以 AB：AD＝ AC： AE
即 AD：AB ＝AE：AC
平行線截比例線段
△ABC中，D、E分別為 AB 、AC 上一點，
且 DE // BC
性質三 DB： AB ＝ EC ：AC
說明： 已知 AD ： DB ＝ AE：EC
AD AE
即

DB EC
A
D
B
又 AD  1  AD  DB  AB
E
DB
C
DB DB
DB
AE
AE EC AC
1 


EC
EC EC EC
所以 AB：DB＝ AC： EC
即 DB：AB ＝EC：AC
平行線截比例線段
△ABC中，D、E分別為 AB 、AC 上一點，
且 DE // BC
性質四 AD： AB ＝ DE ：BC
說明：
A
過D點作 DF //AC ，且與 BC 相交於F點
則 AD：AB ＝CF：CB
E
D
因為 DE // BC ，DF // EC
所以四邊形DECF是平行四邊形
B
F
C 即 CF ＝DE
所以 AD：AB ＝ DE：BC
平行線截比例線段(逆性質)
△ABC中，D、E分別為 AB 、AC 上一點，
且 AD：DB＝AE：EC，則 DE // BC
說明：
先過B點作BF//DE，且與直線AC相交於F
A
D
B
∵ DE // BF
∴由前面【性質一】知 AD
： DB＝ AE
： EF
又已知 AD：DB＝AE：EC ∴ EF＝ EC
因此F點與C點是重合的
E
也就是說 BF 與 BC是同一線段
C
F
故 DE // BC
平行線截比例線段
結論：
【重點一】若a、b、c、d四條線段為『比例線段』，則a：b＝c：d 。
【重點二】1.在△ABC中，
 AD AE
(1)


若 DE // BC 聯想  BD EC
(2) AD  AE
A
A
(2)
(1)
 AB AC
聯想 DE // BC

D
D
E
E
(3) AB  AC
 BD EC
C
C B
B
A
(3)

(4)
A
(4) AD  DE 不一定平行 D
 AB BC
D
E
D
E
B
C B
C
B
2.若一直線把一個三角形的兩邊截成比例線段，
則這直線必平行此三角形的第三邊。
A
E'
E
C
利用尺規作圖做比例線段
應用一 已知 AB，利用尺規作圖，在AB 上找一點C，
使得 AC：CB ＝ 2：3
作法：
C
A
1.過A點，另作一直線L
2.在L上依序取P、Q、R、S、T
使得AP ＝PQ ＝QR ＝RS ＝ST
3.連接 BT
P
4.過Q作 BT 的平行線，與AB 相交於C點
5.則C點即為所求
Q
R S
B
T
L
平行線截比例線段
應用二
右圖中，DE // FG// BC，
則 DE：FG：BC＝AD：AF：AB
A
說明： ∵ DE // FG
∴ AD：AF＝DE：FG
D
E
同理，AF：AB＝FG：BC
F
即 AD ： AF ： AB
DE ： FG
FG ： BC
DE ： FG ： BC
B
G
C
平行線截比例線段
應用三
已知 L1//L2//L3，而且分別與M1交於 L2
A、B、C三點，與M 2交於D、E、F三點
L3
，則 AB ：BC ＝ DE：EF
說明：
A
L1
D
B G
C
M1
H
M3
過A作 M 2 的平行線 M3 分別與 L2、L3 相交於G、H兩點
因為 L1//L2// L3，M 2// M3 ，
所以四邊形ADEG與四邊形GEFH都是平行四邊形
即 AG＝DE，GH＝ EF
所以 AB：BC ＝ AG：GH ＝ DE ：EF
E
F
M2
平行線截比例線段
應用四 已知四邊形ABCD是一梯形，且 AD // EF //BC ，
若 AD＝14，
BC ＝24，且 AE：EB＝2：3，
求 EF ＝？
解：過A作 CD 的平行線L，分別與 EF、BC相交於G、H兩點
∵ AD// GF// HC，且L// CD，
∴四邊形AGFD與GHCF都是平行四邊形
∵ EG//BH
E 4 G 14
∴ EG：10 ＝2：(2+3)
∴ EG＝4
即 EF＝ EG＋ GF ＝ 4＋14＝18
14 D
A
B
10
H 14
Ｌ
F
C
平行線截比例線段
應用五－內分比性質 已知 AD 是∠BAC的角平分線
F
×
3
A
則 BD：DC＝ BA：AC
說明： 過C點作 CF // AD
交 BA 的延長線於F點
∵ CF // AD
× ×
1 2
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
∠3＝∠4 即 AF ＝ AC
B
D
4
×
又 BD：DC＝ BA：AF
C
故 BD：DC＝BA：AC
平行線截比例線段
應用五－外分比性質 已知 AE 是∠BAC的外角平分線
則 BE ：EC＝ BA：AC
說明： 過C點作 CF // AE 交 BA 於F點
∵ CE // AD
A
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
×2
×
1
∠3＝∠4
即 AF ＝ AC
F
B
4
× 3
×
C
又 BD：DC＝ BA：AE
E
故 BD：DC＝BA：AC
三角形的中點連線性質
性質一：過三角形一邊中點且平行另一邊的直線，
會通過第三邊的中點。
說明：由平行線截比例線段【性質一】知：
A
若D是AB 的中點，即 AD ：DB ＝1：1
D●
B
且 DE // BC
E
●
則 AE：EC ＝ AD：DB ＝1：1
C
即表示E是 AC 的中點
三角形的中點連線性質
性質二：三角形兩邊中點連線會平行第三邊，
而且長度是第三邊的一半。
◎GSP動畫說明
說明：由平行線截比例線段【逆性質】知：
A
若D、E分別是AB 與 AC的中點
即 AD：DB ＝ AE ：EC ＝1：1
D
●
則 DE // BC ……(1)
E
●
又由平行線截比例線段【性質四】知：
B
C
若 DE // BC
1
則 DE：BC＝ AD：AB ＝1：2＝ ……(2)
2
三角形的中點連線性質
性質三
△ABC中，若D、E、F分別為 AB 、 BC 、 AC 的中點，
則：(1)△DEF周長＝1/2△ABC周長
(2)△DEF面積＝1/4△ABC面積
A
◎面積GSP
Ｄ
B
Ｆ
Ｅ
C