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點與圓的位置關係
直線與圓的位置關係
兩圓的位置關係
自 我 評 量
圓是經常看到的平面圖形，如圖2-1，以一
定點O 為圓心，OP 長為半徑畫圓，將此圓稱為
圓O。
圖2-1
一圓將所在的平面分成圓的內部、圓周、圓
的外部。如圖2-2，A點在圓內、B 點在圓上、C點
在圓外。
圓的外部
圖2-2
分別連接圖2-2 中的 OA 、 OB 、 OC ，若圓O
半徑為r，則 OA ＜r、OB ＝r、 OC ＞r。也就是
：
點與圓的
位置關係
A點在圓內
B點在圓上
C點在圓外
小於半徑
（OA＜r）
等於半徑
大於半徑
（ OB
＝r） （ OC＞r）
圖示
點到圓心
的距離
已知圓O半徑為5，且D、E、F三點與此圓心O
的距離分別為4、5、8，試判斷D、E、F三點
與圓O的位置關係：（填入圓內、圓上或圓外
）
圓內
(1) D點在______。
(3) F點在______。
圓外
圓上
(2) E點在______。
已知圓O半徑為5，且D、E、F三點與此圓心O
的距離分別為4、5、8，試判斷D、E、F三點
與圓O的位置關係：（填入圓內、圓上或圓外
）
(1)∵ OD＝4＜圓O的半徑 ∴ D 點在圓內
(2)∵ OE＝5＝圓O的半徑 ∴ E 點在圓上
(3)∵ OF＝8＞圓O的半徑 ∴ F 點在圓外
1 點與圓的位置關係
如右圖，坐標平面上三點
A（3,3）、B（－4,0）、
C（1,－2），若以原點O
為圓心，半徑為4畫一圓
，試判斷A、B、C三點與
圓的位置關係。
解 ∵O（0 , 0）為圓心，由兩點距離公式知：
(1) OA  ( 3  0 )2  ( 3  0 ) 2  18＞4(半徑)
∴ A 點在圓外。
解 ∵O（0 , 0）為圓心，由兩點距離公式知：
B點的
(2) OB ＝│( 0－(－4)│＝4（半徑）
y坐標是0
∴ B 點在圓上。
解 ∵O（0 , 0）為圓心，由兩點距離公式知：
(3) OC  ( 1  0 )2  (  2  0 ) 2 
∴ C 點在圓內
5 ＜4(半徑)
在坐標平面上，若圓 O 的圓心在原點，且 A
（－3 , 4）在圓 O 上，試求圓 O 的半徑。
∵A點在圓上
∴圓O的半徑＝ OA
2
(

3

0
)
(40)
＝
2
5
如圖2-3，在平面上，一圓與一直線的位置
關係有三種情形：不相交、只交於一點或交於
兩點。
不相交
只交於一點
圖2-3
交於兩點
1. 不相交：
如圖2-4，若直線L與圓O不
相交，則L上的點都在圓O
外。
圖2-4
2. 只交於一點：
如圖2-5，若直線L與圓O只交
於一點P，則L稱為圓O的切
線，P點稱為切點。
圖2-5
3. 交於兩點：
如圖2-6，若直線L與圓O交
於A、B兩點，則L稱為圓O的
割線。
圖2-6
如圖2-7，直線L外的任一點
A與直線L上各點的連線段，以
垂直於直線L的線段 AH 最短，
此線段的長度稱為點A到直線L
的距離。
圖2-7
前面學過，可以用「點到圓心的距離與圓
半徑的大小關係」，判別點與圓的位置關係。
同樣地，也可以用「圓心到直線的距離與圓半
徑的大小關係」，判別直線與圓的位置關係。
如圖2-8， CD 通過圓心
O，且交圓O 於C、D 兩
點。
圖2-8
若一直線L垂直 CD ，如圖2-9(a)。
圖2-9(a)
圖2-9(b)
圖2-9(c)
1.在圖2-9 (a)中，L與圓O交於兩點，此時圓心O
到L的距離小於半徑。
圖2-9(a)
圖2-9(b)
圖2-9(c)
2.將L逐漸向D點移動，並保持與 CD 垂直。當L
通過D點時，圓心 O 到 L 的距離等於半徑，如
圖2-9(b)。
圖2-9(a)
圖2-9(b)
圖2-9(c)
3.再將L向右移動，並保持與 CD 垂直。當L與圓
O 不相交時，圓心O到L的距離大於半徑，如
圖2-9(c)。
圖2-9(a)
圖2-9(b)
圖2-9(c)
在圖2-9 (b)中，若L通過D點，且垂直 OD ，
則L是否必為圓O 的切線呢？
如果在L上任取異於D的一點
Q，則O、D、Q 三點可形成一個
直角三角形，如圖2-10，其中OQ
為斜邊，所以 OQ ＞半徑 OD ，故
Q 點在圓外。也就是說，L 與圓
O 不可能有第二個交點，根據「
圓的切線與圓只有一個交點的定
義」，所以L為圓O的切線。
圖 2-10
反過來說，如果L是圓O的切線，則除了D
點外，L上的其他任一點Q'都會在圓外，因此
OQ ' ＞半徑 OD ，也就是說， OD 是圓心到直線L
的最短距離，所以 OD ⊥ L。
因此，圓與切線間具有下列兩個性質：
(1)一圓的切線必垂直於圓心與切點的連線。
(2)圓心到切線的距離等於圓的半徑。
由上面的討論可知，要畫出通過圓O 上
一點 A 的切線，只要連接 OA ，再作通過A
點且與 OA 垂直的直線即可。
如圖，A 點在圓O 上，請利用尺規作圖，畫
出過 A 點的切線。
如果以r表示圓的半徑，d表示圓心到直線的距
離，則直線與圓的位置關係有下列三種情形：
交於一點
直線與圓 交於兩點
（相切）
的位置關 （直線是圓
係
的割線） (直線是圓的切線)
不相交
圖示
d和r的
大小比較
d＜r
d＝r
d＞r
圓O的半徑為10，若圓心到三直線L1 、L2 、L3
的距離分別為5、10、13，請問L1、L2、L3與圓
O分別有幾個交點？
(1)圓心到L1的距離＝5＜圓O 的半徑
∴ L1與圓O有2個交點
(2)圓心到L2的距離＝10＝圓O 的半徑
∴L2與圓O只有1個交點
(3)圓心到L3的距離＝13＞圓O 的半徑
∴L3與圓O沒有交點
如圖2-11，從圓外一點P到
此圓作一切線，A為切點，則 PA
稱為P點到圓O的切線長。
如何利用尺規作圖，從圓外
給定的一點向此圓作切線，我們
將在下一節中討論。現在讓我們
來看看一些關於切線長的問題。
圖2-11
2 求切線長
如右圖，PA 與圓O 切於A 點，
已知圓O的半徑為5，OP ＝10，
試求切線長 AP 。
解 如右圖，連接 OA。
∵ OA為圓O 的半徑，∴
＝5，
OA
又 PA 與圓相切於A 點，
∴ OA  PA，故△OPA為直角三角形。
根據勾股定理：
AP 

OP 2  OA 2
10 2  52  5 3
如右圖，圓O外一點P， AP
與圓O 切於A點，已知 OP ＝
13， AP ＝12，試求圓O的
半徑。
連接 OA ，則 OA  PA
∴ OA  OP 2  AP 2  13 2 122  5
即圓O的半徑為5
如圖2-12， OP 通過圓心O，A 點為圓O上任
一點，且A 點不在 OP 上，B 點為A 點對 OP 的對
稱點，由對稱的概念知 OP 為 AB 的垂直平分線，
且 OA ＝ OB ，因為OA 為半徑，所以 OB 也是半徑
，因此B 點也在圓O上，故 OP 為圓O的對稱軸。
由上可知，圓是一個線對稱圖形，有無限
多條對稱軸，而且都會通過圓心。
圖2-12
如圖2-13，設 PA 為圓O的切線，A為切點，
以 OP 為對稱軸，沿著 OP 對摺，可找到 A 點的
對稱點 B，因為∠OAP＝90°，所以∠OBP＝90°
，因此B點也是切點，且
為 PA 的對稱邊，
PB
∠BPO 為∠APO的對稱角。所以 PA ＝ PB 且
∠APO＝∠BPO。
圖2-13
由上面的說明可知：
如圖2-14， PA、 為圓O
PB
的兩切線，A、B 為切點，
則 PA
＝ ，∠APO＝∠BPO。
PB
3 切線長的應用
如右圖， AD 、BC 、CD 分別切
圓O 於A、B、E 三點，且 AB 為
圓O 的直徑，已知 AD ＝3，BC
＝5，回答下列問題：
(1) 試求 CD 。
(2) 試說明∠DOC＝90°
(1) 試求 CD 。
證明
(1)連接 OD 、OC 。
CD ＝ DE ＋ CE
＝ AD ＋BC （圓外一點到此圓兩切線長相等）
＝3＋5＝8
證明
(2) 試證∠DOC＝90°
(2)∵ AD、 BC、 CD分別切圓O 於A、B、E 三點，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4且
OA ，AD OB ，BC
因此 AD // BC ， ∠ADE ＋ ∠BCE ＝180°
（∠1＋∠2）＋（∠3＋∠4）＝180°
2∠2 ＋ 2∠3 ＝180°
∠2 ＋ ∠3 ＝90°
故∠DOC＝90°
4 切線長的應用
如右圖，四邊形ABCD的四邊
分別與圓O 切於P、Q、R、S
四點，試證 AB ＋CD ＝ AD
＋ BC 。
證明
(1)∵ AB、 BC、 CD、 AD分別與圓O 切於P、Q、
R、S 四點，
∴ AP ＝ AS， BP＝ BQ，
CQ ＝CR ，DR ＝ DS
證明
(2) AB ＋CD ＝（ AP ＋ BP ）＋（CR ＋DR ）
＝（ AS＋ BQ）＋（CQ ＋ DS ）
＝（ AS＋ DS ）＋（BQ ＋CQ）
＝ AD ＋BC
即 AB ＋CD ＝ AD ＋ BC 。
在例題4中，四邊形 ABCD 的四邊分別與
圓 O 相切，我們稱四邊形ABCD 為圓O 的外切
四邊形，且稱圓O 為四邊形ABCD 的內切圓。
如右圖，四邊形ABCD 為圓O 的外
切四邊形， AB ＝2x＋1， BC ＝2x
＋3，CD ＝4x－2， AD ＝3x－2，
試求x 之值。
∵四邊形ABCD 為圓O 的外切四邊形
∴ AB＋ CD＝ AD＋ BC
（2x＋1）＋（4x－2）＝（3x－2）＋（2x＋3）
x＝2
如圖2-15，AB 為圓O 的弦， OM  AB
於M，則 OM 的長度稱為 AB 的弦心距。習
習慣上 OM 既可表示這條線段。在本書中，
我們將以弦心距表示圓心到此弦的垂垂直
線段，也代表此線段的長度。
圖2-15
5 弦心距垂直平分弦
搭配習作P.27基礎題4
如右圖， AB 是圓O中的一弦， CD 為
直徑，且 CD  AB ，試證 AM ＝BM 。
證明 (1)如右圖，連接 OA 、 OB 。
(2)∵ CD  AB，
∴∠1＝∠2＝90°。
證明 (3)在△AOM 與△BOM 中，
∵∠1＝∠2＝90°，
＝
OM
，
OM
（半徑），
∴△AOM △BOM（RHS），
∴ AM ＝ BM 。
由例題5可知：
一弦的弦心距垂直平分此弦。
＝
OA
.
OB
搭配習作P.27基礎題5
6 弦心距的應用
如右圖，弦AB 的弦心距 OP ＝3，
AB
＝6 3，試求圓O 的半徑。
解 ∵ OP為弦 AB 的弦心距，
∴ OP垂直平分弦 AB，
1
1
BP ＝ 2 ． AB ＝ 2 ．6 3 ＝ 3 3
連接 OB ，依據勾股定理：
OB 
BP
2
 OP
2
故圓O 的半徑為6。

(3 3)  3  6
2
2
已知 AB 為圓O 上的一弦，若 AB 的弦心距為6，圓
O 的半徑為10，試求 AB 。
AB  2
弦心距
2
半徑
2
 弦心距
 2 10  6  16
2
2
2
 2 10  6  16
2
2
接下來，我們來探討弦長與弦心距之間的關係：
已知圓O 的半徑為r，AB 、CD 為圓O 上的兩弦，
OM 、 ON 分別為 AB 、CD 的弦心距。
1. 若 OM ＝ ON ：
如圖2-16，OM  AB ， ON  CD
1
1
且 AM ＝ 2 AB ， CN ＝ 2 CD 。
設 OM ＝ ON ＝m，
根據勾股定理可知：
圖2-16
、
1.
AM 
OA  OM
CN 
OC  ON
2
2
2
2

r m

r m
2
2
2
2
∴ AM ＝ CN， 故 AB ＝ CD。
反之，若 AB ＝ CD ＝a，
則 AM ＝ 12 AB ＝ 1 a，CN ＝ 12 CD ＝ 12 a，
2
根據勾股定理可知：
OM 
ON 
OA  AM
2
OC  CN
∴ OM ＝ ON
2
2
2


r (
2
r (
2
1
2
1
2
a)
a)
2
2
我的成功歸功於精細的思考，只有不斷地思考，才
能到達發現的彼岸。
—牛頓（Sir Isaac Newton，1642-1727）
2. 若 OM ＞ ON ：
如圖2-17， OM  AB ， ON  CD
1
1
且 AM ＝2 AB ， CN ＝ 2 CD 。
，
設 OM ＝m，ON ＝n，
根據勾股定理可知：
圖2-17
AM 
OA  OM
CN 
OC  ON
2
∵m＞n，∴
2

r m

r n
2
2
r  m＜
2
2
2
2
2
2
r  n，
2
2
即 AM ＜ CN ，
故 AB ＜ CD 。
圖2-18
反之，如圖2-18，若 AB ＝a， CD ＝b，且a＞b，
1
1
1
1
則 AM ＝ 2 AB ＝ 2 a，CN ＝ 2 CD ＝ 2 b，
根據勾股定理可知：
OM 
ON 
OA  AM
2
OC  CN
2

2
2

∵a＞b，
∴
r (
2
1
2
a )＜
2
即 OM ＜ ON 。
r (
2
r (
2
1
a)
2
2
1
2
2
r ( b)
2
1
2
2
b )，
由上面的說明可知：
(1)在同一圓中，弦心距相等，則所對應的弦相等；反之亦然。
(2)在同一圓中，弦心距愈短，則所對應的弦愈長；反之亦然。
前面討論過直線與圓的位置關係，接下來
探討兩個圓的位置關係。
同時通過兩圓圓心的直線稱為連心線，兩
圓圓心間的距離稱為連心線長。如圖2-19，直
線L為圓O1與圓O2的連心線，而 O 1O 2 為連心線
長。
在圖2-19中，大小兩圓的半徑分別為r1和
r2，且r1＞r2。圓O1與圓O2不相交，圓O1與圓
O2稱為外離，此時 O1O2 ＞r1+r2。
圖2-19
兩圓外離
在圖2-20中，若連心線L分別交圓O1 與圓O2 於
A、B 與C、D 四點。過B、C、D 三點分別作圓O1與
圓O2的切線M1、M2及M3，由於圓心與切點的連線垂
直於過此切點的切線，所以切線M1、M2及M3都垂直
於直線L。
圖2-20
如果將圓O2沿著連心線L往左移動，並保持切線M2
與連心線L垂直。如圖2-21，圓O2逐漸靠近圓O1，直到
切線M1及M2重合，此時兩圓恰好交於一點（B、C兩點
重合），此點稱為兩圓的切點，圓O1與圓O2稱為外切，
此時
＝r
O
1O12＋r2。
圖2-21
兩圓外切
如圖2-22，圓O2沿著L繼續往左移動，直到兩圓交
於E、F兩點，此時E、O1、O2可形成一個三角形，根
據「三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三
邊」的性質，可得r1＋r2＞O1O2 且r1－r2＜ O1O2 ，即r1
－r2＜ O1O2 ＜r1＋r2。
圖2-22
兩圓交於兩點
如圖2-23，圓O2沿著L繼續往左移動，直到切線M1
及M3重合，此時圓O2與圓O1再度交於一點（B、D 兩點
重合），此點也稱為兩圓的切點，圓O1 與圓O2 稱為內
切，此時 O1O2 ＝r1－r2。
圖2-23
兩圓內切
如圖2-24，圓O2沿著L繼續往左移動，直到圓O2
在圓O1的內部，且兩圓不相交，圓O1與圓O2稱為內
離。若兩圓心不重疊，此時 O1O2 ＜r1－r2。
圖2-24
兩圓內離
如圖2-25，當圓O2與圓O1的圓心重疊，圓O1與
圓O2稱為同心圓，此時 O1O2＝0。
圖2-25
同心圓
由上面的說明可以知道：
(1)比較兩圓的連心線長與兩圓半徑的和或差，即可判
斷兩圓的位置關係。
(2)兩圓外切或內切時，連心線必通過切點。
若圓O1與圓O2半徑相等，則圓O1與圓O2稱為
等圓。在等圓中，兩圓是否會有外離、外切、交
於兩點、內切或內離的位置關係？
等圓有外離、外切與交於兩點的位置關係
7 兩圓的位置關係
搭配習作P.24～25基礎題6～9
在坐標平面上，圓O1、圓O2的半徑分別為8和6，其
連心線長為 34 ，則圓O1和圓O2的位置關係為何？
解
∵ 8－6＜ 34 ＜8＋6，
∴圓O1和圓O2交於兩點。
在坐標平面上，圓O1和圓O2的半徑分別為
、 ，
其圓心坐標分別為O
4 2 2 2
1（4,12）和O2（－2,6），則此
兩圓的位置關係為何？
O1O2  ﹝4  (2)﹞  (12 6 )
2
2

兩圓半徑和＝ 4 2 ＋2 2 ＝ 6 2
故兩圓的連心線長＝兩圓半徑和
即兩圓外切
6 6 6
2
2
2
平面上，若一直線同時與兩圓相切，且兩圓均在
此直線的同側，則此直線稱為這兩個圓的外公切線，
如圖2-26，直線 L 是圓O1和圓O2的外公切線，而AB
為兩圓的外公切線長。
圖2-26
平面上，若一直線同時與兩圓相切，且兩圓在此
直線的異側，則此直線稱為這兩個圓的內公切線，如
圖2-27，直線M是圓O1和圓O2的內公切線，而 CD 為兩
圓的內公切線長。
圖2-27
兩圓的外公切線或內公切線，統稱為這兩圓的公切線。
兩圓的位置，與其內、外公切線數量的關係如下表：
兩圓的
位置關係
外公切線
的數量
內公切線
的數量
外離
2條
2條
外切
2條
1條
圖示
兩圓的
位置關係
外公切線
的數量
內公切線
的數量
交於兩點
2條
0條
內切
1條
0條
內離
0條
0條
圖示
8 求外公切線長
搭配習作P.29基礎題10
如右圖，直線L與兩圓分別切於A、
B 兩點，已知 O 1 A ＝8，O 2 B ＝3，
O1O 2 ＝13，試求 AB 。
解 如右圖，作 O 2 H  O1 A 於H，
∴∠ O1HO2＝90°。
又∠HAB＝∠O2BA＝90°，
∴四邊形HO2BA 為長方形。
O1H ＝ O 1 A － HA ＝ O 1 A － O 2 B
＝8－3＝5
解 在直角三角形O1O2H中：
O 2H 
O1O2
2
 O1H
∴ AB ＝ O 2 H＝12。
2

13  5  12
2
2
如右圖，直線L 與兩圓分別切
於A、B 兩點，已知 O 1 A ＝5，
O 2 B ＝2， AB ＝6，試求 O1O 2
作 O2H 於H
O1A
∴四邊形HO2BA為長方形
O＝
1H －
O1A
＝
HA
－O1A
O2 B
＝5－2＝3
O＝
2H ＝6
AB
O1＝
O2
O1H
2
 O2H
2

3 6 3 5
2
2
9 求內公切線長
搭配習作P.29基礎題11
如右圖，直線L 與兩圓分別切於A、
B兩點，已知 O 1＝10，
＝5，
A
O 2B
O1O
2
＝25，試求
。
AB
證明 如右圖，作 O1H  O 2 B 於H，
∴∠O1HO2＝90°，
又∠O1BA ＝ ∠HBA ＝90°，
∴四邊形ABHO1為長方形，
證明 O 2 H ＝ O 2 B ＋ BH
＝O 2 B ＋ AO 1 ＝5＋10＝15
在直角三角形O1O2H 中：
O 1H 
O1O2
2
 O2H
∴ AB ＝ O1H ＝20。
2

25  15  20
2
2
如右圖，直線L 與兩圓分別切於A、
B兩點，已知 O 1 A ＝5，O 2 B ＝3，
AB ＝10，試求 O1O 2。
作 O2H  O1A 於H
∴四邊形ABO2H 為長方形
O2H＝ AB ＝10
O1H＝O1A ＋ AH ＝ O1A＋ O2B ＝5＋3＝8
O1O2 ＝
O1H
2
 O2H
2

8  10  2 41
2
2
1. 點與圓的位置關係：
(1)若點在圓內，則點到圓心的距離小於半徑。
(2)若點在圓上，則點到圓心的距離等於半徑。
(3)若點在圓外，則點到圓心的距離大於半徑。
2. 直線與圓的位置關係：
(1) 若直線與圓不相交，則圓心到直線的距離大於半徑。
(2) 若直線與圓只交於一點，則圓心到直線的距離等於半徑。
(3) 若直線與圓交於兩點，則圓心到直線的距離小於半徑。
3. 切線：
(1)圓心與切點的連線必垂直於過此切點的切線。
(2)圓心到切線的距離等於圓的半徑。
(3)圓外一點到此圓的兩切線長相等。
4.圓外切四邊形與內切圓：
如圖2-28，四邊形ABCD的四邊分
別與圓O相切，則四邊形ABCD稱
為圓O的外切四邊形，圓O稱為四
邊形ABCD的內切圓。
圖2-28
5. 弦心距：
(1) 一弦的弦心距垂直平分此弦。
(2) 在同一圓中，弦心距相等，則其所對應的弦相等；
反之亦然。
(3) 在同一圓中，弦心距愈短，則其所對應的弦愈長；
反之亦然。
6. 連心線：
(1) 同時通過兩圓圓心的直線稱為連心線。
(2) 兩圓圓心間的距離稱為連心線長。
(3) 兩圓外切或內切時，連心線必通過切點。
7. 兩圓的位置關係：
兩圓的位置關係有外離、外切、交於兩點、內切、
內離等情形。
8. 公切線：
同時和兩圓相切的直線稱為此兩圓的公切線。
9. 兩圓位置關係與公切線數量：
如果圓O1半徑為r1，圓O2半徑為r2，且r1＞r2，圓
O1與圓O2的連心線長為 O1O 2，則：
兩圓的
位置關係
係（r1＞r2）
公切線
數量
外離
O1＞r
O 2 1＋r2
4條
外切
=r21＋r2
O1O
3條
圖示
、r
O1O
2 1、r2的關
兩圓的
位置關係
交於兩點
圖示
、r
O1O
2 1、r2的關係
（r1＞r2）
r1－r2＜O1O
＜2 r1＋r2
公切線
數量
2條
兩圓的
位置關係
圖示
O1O
2 、r 的
、r
1
2
關係
（r1＞r2）
公切線
數量
內切
O1O 2 =r1 －r2
1條
內離
＜r1 －r2
1條
O1O 2
2-1 自我評量
1.如右圖，四邊形OABC 中，∠A 和∠C 均為直角， OA＝24，
AB ＝7，BC ＝15，回答下列問題：
(1)試求 OC 。
(2)若以O 點為圓心， OA 為半徑畫圓，則A
、B、C三點會分別落在圓內、圓上或圓外？
(1)連接 OB， OB＝ OA 2  AB 2  24 2  7 2  25
2
2
2
2
OC ＝
OB  BC  25  15  20
(2) OA ＝半徑，∴A 點在圓上
OB ＝25＞半徑，∴B 點在圓外
OC ＝20＜半徑，∴C 點在圓內
2. 若圓O的直徑為10，圓心到三條直線L1、L2、L3 的距離
分別為3、5、7，回答下列問題：
(1) 這三條直線中，哪一條是切線？哪一條是割線？
(2) 已知直線M恰好與圓O交於一點，試求圓心O到M的
距離。
(1) 圓O的直徑為10，∴半徑＝5
又圓心到L1的距離為3＜半徑
圓心到L2的距離為5＝半徑
圓心到L3的距離為7＞半徑
故L2為切線，L1為割線
2. 若圓O的直徑為10，圓心到三條直線L1、L2、L3 的距離
分別為3、5、7，回答下列問題：
(1) 這三條直線中，哪一條是切線？哪一條是割線？
(2) 已知直線M恰好與圓O交於一點，試求圓心O到M的
距離。
(2) M與圓O只交於一點
故M為切線，M 到圓心的距離＝半徑＝5
3.如右圖，AP 與圓O 切於A 點，已知圓O的半徑為6，
PO ＝12，試求 PA 及△OPA 的面積。
連接 OA ， PA ＝ OP 2  OA 2  12 2  6 2  6 3
1． 6 3．6＝ 18 3
△OPA＝ 1
．
．
＝
2 PA OA
2
答：PA＝ 6 3 ， △OPA ＝ 18 3。
4. 如右圖，等腰梯形ABCD 為圓O 的外切四邊形，若
AD
// BC ， AD ＝3， BC ＝5，試求
圓O 的半徑。
ABCD為圓O的外切四邊形
∴ AB＋ CD＝ AD＋ BC＝3＋5＝8
又ABCD 為等腰梯形
∴ AB＝ CD＝4
作 DE  BC 於E 點，∴ CE＝1
2
2
2
2
DE ＝ CD  CE
 4  1  15
1
15
圓O 的半徑＝ 2 DE ＝ 2
5.如右圖， AB 為圓O上的一弦， OP 為 AB 的弦心距，
若圓O的半徑為10， AB ＝16，試求 OP 。
1
PB＝ 2 AB ＝8
連接 OB
OP＝ OB
2
 PB
2

10  8  6
2
2
答：6。
6.若半徑分別為7、5 的兩圓交於兩點，試問此兩圓的連
心線長可以是下列哪些長度？（請圈起來）
1 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 、10、11、12、13
∵兩圓交於兩點
∴7－5＜連心線長＜7＋5
2＜連心線長＜12
7.在坐標平面上，圓O1與圓O2的半徑分別為6、4，其
圓心坐標分別為O1（6,－3）和O2（0,5），則圓O1
和圓O2的位置關係為何？
O1O2 ＝ ( 6  0)  ( 3 5)
2
2
 10
圓O1與圓O2的半徑和＝6＋4＝10＝ O1O2
∴圓O1與圓O2外切
8.如右圖，圓O1和圓O2兩圓外切，直線L 與圓O1和圓O2
分別切於A、B兩點，且圓O1半徑為5，圓O2半徑為3，
試求
。
AB
作O2D  O1A 於D
∴ABO2D 為長方形
O1D ＝O1A － DA ＝ O1A － O2B ＝5－3＝2
AB ＝ O2D ＝
O1O2
2
 O1D
2

8  2  2 15
2
2