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在第四冊已學過「三角形的外角性質」：
三角形的外角為其兩個內對角之和。
如下圖所示，在實驗「三角形內角和為 180°」時，就可以看出
∠C 的外角＝∠A＋∠B
剪下三個內角，頂點對齊，邊與邊拼在一起，
可以發現三內角和是一個平角（180°）。
現在要利用這個熟悉的題材來介紹幾何證明。
如下圖，我們要證明下面的敘述：
在△ABC 中，
若∠ACD 是∠ACB 的外角，則∠ACD＝∠A ＋∠B。
已知條件
結論
為了簡明、清晰，
我們把敘述中的「已知條件」寫在「已知」欄；
「結論」寫在「求證」欄；
而「推理過程」寫在「證明」欄裡。
三角形外角性質的證明
已知：如右圖，∠ACD 是∠ACB 的外角。
求證：∠ACD＝∠A＋∠B。
證明：
推理過程
因為
所以
理由
∠ACD＝180°－∠ACB
（∠BCD 是平角）
∠A＋∠B＝180°－∠ACB
（三角形內角和是 180° ）
∠ACD＝∠A＋∠B
上面的「推理過程」是根據
已學過的幾何性質：三角形內角和為180°。
證明出下面的結論：
「三角形的外角為其兩內對角之和，
並且外角大於其一內對角」。
足球比賽時，球員帶球衝向對方
球門，尋找射門良機。如右圖所示，
在 A點的射門角度∠BAC 與在 A' 點的
射門角度∠BA'C，何者較大？直觀上，
越靠近球門，射門角度會越大，但
「直觀」的認定不一定正確，必須
加以驗證。驗證的方法除了實地去
丈量外，也可利用幾何推理方式。
在例題二的推理中，為了便於觀察，
將球門前的△ABC 倒過來。
三角形外角性質之應用
已知：如右圖，A' 是△ABC 內部一點。
求證：∠BA'C＞∠BAC。
證明：如右圖，作出直線 AA' 與
因為
交於 D 點。
∠3＞∠1 （三角形外角大於其內對角）
∠4＞∠2 （三角形外角大於其內對角）
將上面兩式相加得到
∠3 ＋ ∠4＞∠1 ＋ ∠2
故
∠BA'C ＞∠BAC
例題二的「推理過程」是根據
已學過的幾何性質：三角形的外角大於其內對角。
證明出：愈接近球門，射門的角度就愈大。
如何知道湖的長度 AB？
直接測量 AB 或許有困難，你能想出其它方法嗎？
某人用下面的方法測量湖的長度 AB：
如右圖，取定一點 O，
延長 AO 到 C，使得 OC ＝ 1 OA，
4
再延長 BO 到 D，使 OD ＝ 1 OB，
4
連接 CD，則
AB ＝4 CD。
只要量出 CD 的長，就可以得知湖的長度 AB。
此人使用的方法正確嗎？我們可以透過幾何推理方式來檢驗。
兩相似三角形之證明
已知：如右圖，AC 與 BD 交於 O 點，
OA＝4OC ，OB＝4OD。
求證：(1) △OAB ～ △OCD。
(2) AB＝4CD。
證明：(1) 在△OAB 與△OCD 中
因為 OA：OC＝OB：OD＝4：1
∠AOB＝∠COD
所以 △OAB～△OCD
(2) 由
△OAB～△OCD
推知 AB：CD＝OA：OC＝4：1
即
AB＝4CD
（已知）
（對頂角相等）
（SAS 相似性質）
由例題三可知，此人應用「相似形的性質」去測量湖長度
的方法是正確的。例題三的「推理過程」是根據
(1) 已知條件：OA＝4OC，OB＝4OD。
(2) 已知為正確的幾何性質：對頂角相等，SAS 相似性質。
從例題一 ～ 例題三可以理解到：
幾何推理就是依據「已知條件」及一些「已知為正確
的幾何性質」，步步有據地推導出結論。而這個幾何
推理的過程就是證明。
初步認識「證明」後，我們重拾第四冊中，
部分透過「說理活動」得出的幾何性質當題材，
來學習如何完整地書寫證明。
這些「說理活動」其實就是在說明：
如何根據「已知條件」及一些「已知為正確的幾何性質」，
步步有據地進行推理。
請看下面的活動一 ～ 活動四。
在第四冊 P.127，透過「說理活動」知道「角平分線性質」：
角平分線上任一點，到角的兩邊等距。
已知條件
我們來學習證明上述的幾何性質。
結論
學習證明（角平分線性質）
已知：如右圖，P 是∠AOB 的角平分線上一點，
PC⊥OA，PD⊥OB，C、D 是垂足。
求證：PC＝PD。
分析：想證明 PC ＝PD，可先證明△OPC  △OPD。
哪些已知條件可以證明△OPC  △OPD 呢？
證明：(1) 在△OPC 與△OPD 中
因為 ∠ PCO ＝∠ PDO＝90° （已知）
OP ＝ OP
（公用邊）
∠ POC ＝∠ POD
（已知）
所以 △OPC  △OPD
(2) 由
推知
（ AAS 全等性質）
△OPC  △OPD
PC
＝ PD
（對應邊相等）
〔活動一〕的分析是從
「結論」（求證欄）逆推到
「已知」，這就提供了證明
的方向、步驟，即「證明」
是沿著下列的「分析路徑」
反向推導。
證明一個問題，可事先稍做分析，期望在「已知條件」與「結
論」之間建立一條連繫的「思路」，再沿著這條「思路」從「
已知」開始，逐步推理，導出「結論」，以完成證明。事前的
分析可以幫助你掌握證明的方向及有系統的書寫步驟。
證明「角平分線判別性質」：
與角的兩邊等距離的點，必在此角的平分線上。
已知：如右圖，PC⊥OA，PD⊥OB，PC＝PD。
求證：∠POA＝∠POB ( 即點 P 在∠AOB 的角平分線上）。
證明：(1) 在△OPC 與△OPD中
因為 ∠ PCO ＝∠ PDO＝90°
OP＝OP
PC ＝ PD
所以 △OPC △OPD
(2) 由
（已知）
（公用邊）
（已知）
（ RHS 全等性質）
△OPC △OPD
推知 ∠ POA ＝∠
POB
（對應角相等）
在第四冊 P.119，透過「說理活動」知道「中垂線性質」：
線段之中垂線上的點，到線段兩端點的距離相等。
已知條件
我們來學習證明上述的性質。
結論
學習證明（中垂線性質）
已知：如右圖，AM＝BM，PM⊥AB。
求證：PA＝PB。
分析：想證明 PA＝PB，可先證明△PMA  △PMB。
要證明△PMA  △PMB，請想想看：
(1) 「已知條件」有哪些？ (2) 依據哪一個「全等三角形的判別性質」？
證明：(1) 在△PMA 與△PMB 中
因為
AM ＝ BM
∠PMA＝∠PMB＝90°
PM ＝ PM
所以
(2) 由
推知
△PMA  △PMB
（已知）
（已知）
（公用邊）
（ SAS 全等性質）
△PMA  △PMB
PA
＝ PB
（對應邊相等）
證明「線段之中垂線判別性質」：
與線段兩端點等距離的點，必在此線段的中垂線上。
已知：如右圖，PA＝PB，M 是 AB 的中點，連接 PM。
求證：PM⊥ AB。
分析：要證明 PM⊥ AB ，只需證明△PMA  △PMB。
請想一想△PMA 和△PMB 會不會全等？
證明：(1) 在△PMA 與△PMB 中
PA ＝ PB
因為
（已知）
（M 為 AB 中點）
AM ＝ BM
（公用邊）
PM ＝ PM
所以 △PMA  △PMB
（ SSS 全等性質）
(2) 由
△PMA  △PMB
推知 ∠ PMA ＝∠ PMB＝ 1× 180°＝90 ° （對應角相等）
2
即
PM⊥ AB
在筆記本上畫一個圓，我們
知道兩平行線 L1、L2 處處等距，
試問：L1 與 L2所截的圓弧會不會
相等呢？
弧長的量測較不容易，請想一想，我們學過的「弧長與
圓周角」有何種關係呢？
學習證明（平行弦夾等弧）
已知：AB、CD 是圓 O 的兩弦，AB // BD。
求證：AC ＝BD。
分析：連接 AD，想證明 AC＝BD，
可先檢視這兩個圓弧所對的
圓周角是否相等。
1
ADC （圓周角等於所對圓弧的一半）
證明：因為
2 AC ＝∠
1
BC ＝∠ BAD （圓周角等於所對圓弧的一半）
2
∠ ADC ＝∠ BAD （內錯角相等）
1
所以
AC ＝ 1 BD
2
2
BD
即 弧 AC ＝弧＿＿＿
已知：AB、CD 是圓 O 的兩弦，AB // CD。
求證：AC＝BD。
證明：因為 AB // CD，
所以 弧 AC ＝弧 BD
故
AC ＝ BD
（平行弦夾等弧）
（等弧對等弦）
如右圖，過圓內一點 P，任意作兩條
弦 AB 與 CD，仔細觀察，你是否發現：
(1) △PAC 與△PDB 會相似？
(2) 如果 PA＝4，PB＝6，PD＝3，
你能推知 PC 的長嗎？
學習證明（圓冪定理）
已知：如右圖，圓 O 的兩弦
、
相交於 P 點。
求證：(1) △PAC ～ △PDB。
(2)
×
＝
×
。
分析：要證明：△PAC ～ △PDB，
(1) 請想一想，可引用哪一個相似三角形的判別性質？
(2) 先把「線段乘積」化成「線段的比」：
：
＝
：
再利用「相似三角形對應邊成比例」的性質。
學習證明（圓冪定理）
已知：如右圖，圓 O 的兩弦
、
相交於 P 點。
求證：(1) △PAC ～ △PDB。
×
(2)
＝
×
。
證明：(1) 先證明△PAC ～ △PDB
因為
∠A
＝ ∠D
（BC 所對之圓周角）
∠C
＝ ∠B
（AD 所對之圓周角 ）
所以 △PAC ～ △PDB
(2) 次證明
×
＝
（ AA 相似性質）
×
因為
△PAC ～ △PDB 。
所以
PA ： PD ＝ PC ： PB
（對應邊成比例）
即
PA × PB ＝ PC × PD
（內項之積等於外項之積）
已知：如右圖，通過圓 O 外一點 P，作兩條割線，
分別與圓 O 交於 A、B 及 C、D 兩點。
求證：(1) △PAD ～ △PCB。
(2) PA × PB＝PC × PD。
證明：(1) 先證明△PAD ～ △PCB
∠D ＝ ∠B
因為
（ AC 所對圓周角）
∠P ＝ ∠P
（公用角）
所以 △PAD ～ △PCB
（ AA 相似性質）
(2) 次證明 PA × PB ＝ PC × PD
因為 △PAD ～ △PCB。
所以 PA ： PD ＝ PC ： PB （對應邊成比例）
PA × PB ＝ PC × PD （內項之積等於外項之積）
即
〔活動四〕與隨堂練習的結論統稱為圓冪定理。
1. 幾何推理與證明：
(1) 根據「已知條件」及一些「已知為正確的幾何性質」，步步有據地
推導出結論，稱為幾何推理。
(2) 幾何推理的過程叫做證明。
2. 「證明」之前的「分析」，是想從
「已知條件」到「結論」之間建立
一條相繫的「思路」，以提供證明
的方向及書寫的步驟（分析的內容
不一定要寫在內文裡）。
1. 在右圖中，若∠A＝∠D，∠B＝∠F，試問
還須加上下列選項中的哪一個條件，就可使
得△ABC  △DFE？（答案不只一個）
(A) AB＝DF
(B) AC＝DE
(C) BC＝EF
(D) ∠C＝∠E
(A) (B) (C)
2. 在右圖中，若 AB＝DE，∠A＝∠D，試問
還須加上下列選項中的哪一個條件，就可使
得△ABC  △DEF？（答案不只一個）
(A) BC＝EF
(C) ∠B＝∠E
(B) (C) (D)
(B) AC＝DF
(D) ∠C＝∠F
3. 在右圖中，已知∠1＝∠2，OA＝OB，
試問△OPA  △OPB 成立嗎？
如果是成立，你引用哪一個「三角形
全等性質」？
因為∠1＝∠2，OA＝OB，OP＝OP，
所以△OPA △OPB（SAS 全等性質）
4. 在右圖中，已知 AB＝DC，AC＝DB，
試問△ABC  △DCB 成立嗎？
如果是成立，你引用哪一個「三角形
全等性質」？
因為 AB＝DC，AC＝DB，BC＝BC，
所以 △ ABC △ DCB（SSS 全等性質）
5. 已知：如右圖，
圓 O 與圓 O' 相交於 A、B 兩點。
求證：連心線 OO' 是 AB 的中垂線。
證明：因為
OA ＝ OB
故 O 點在 AB 的中垂線上
（圓 O 的半徑）
因為
（圓 O' 的半徑）
O'A ＝ O'B
故 O' 點在 AB 的中垂線上
（中垂線判別性質）
（中垂線判別性質）
因此連心線 OO' 是 AB 的中垂線
6. 已知：如右圖，∠AOB中，OC＝OD，CP＝DP。
求證：OP 平分∠AOB ( 即∠COP＝∠DOP )。
證明：(1) 在△OPC 與△OPD 中
因為
OC ＝ OD
（已知）
CP
＝ DP
（已知）
OP
＝ OP
（公用邊）
所以 △OPC  △OPD
(2) 由
（ SSS 全等性質）
△OPC  △OPD
推知 ∠ COP＝∠
DOP （對應角相等）
本節已結束。
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離開投影片。
L
已知：如右圖，
1 3
直線L1、L2被直線L所截，
∠1 ＋ ∠2＝180°。
2
求證：L1 // L2。
證明：因為∠3＝180° － ∠1
∠2＝ 180° － ∠ 1 （已知）
所以∠＿＿＝∠＿＿
3
2
L1 // ＿＿＿
L2
＿＿＿
（同位角相等）
L1
L2
在直徑為 a 的圓上依順時針方向取 A、B、C、D
四點，已知
//
，
≠
，且
與
交於 P 點，請問下列哪一個是正確的？
＝
(A)
(B) AP ＝ CP
(C)
(D)
＝a
（
＋
）＝ a
《91.基測(二)第26題》
已知： 與
相交於 O 點， ＝DO，
＝CO。
求證：
//
。
分析：(1) 回想平行線有哪些判別性質。如果要
證明
//
，可以先證明哪些角相等？
(2) 要證明∠B＝∠C，可以先證明
哪兩個三角形全等？
證明：
A
1. 如右圖，
//
為∠ABC的平分線，
。求證：
＝
。
證明：
D
B
2. 承「活動二」的已知條件，
求證：∠APM＝∠BPM。
證明： 由 [活動二] 可知△PMA
故∠APM＝∠BPM。
△PMB，
E
C
L
如右圖，L為
⊥
P在L上，
求證：
證明：
的垂直平分線交
＝
，
。
⊥
於M，
。
P
D
C
A
M
B
如右圖，在圓上取A、B、C、D、E、F
六點，
// ， // ， // ，
已知AB＝60°，CD＝80°，EF＝100°，
求∠A＝？
[解] 70°
C
1. 如右圖，有一圓形游泳池，
隔出
一部分為戲水區，
、
為兩條
等長的拉繩。如果
＝BQ＝6 cm，
＝14 cm，CP＝10 cm，求
A
P
E
D
的長。 22cm。
2. 如右圖，已知圓形劇場地板上的一條
線段AB與舞台的邊緣
如果
求
B
Q
交於P點，
D
B
P
＝4，CP＝36，BP＝24，
的長。 AP＝6。
C
A
2
3。
。
四邊形ABCD中，已知 ＝ ，
試證對角線 、 互相平分。
[解]
//
，
如右圖，某隧道截面是直徑
＝5公尺的半圓
形。若某卡車的車寬
B
F
＝3公尺，且
∠ABC＝90°，
3
則此卡車離地面的高度 A 1 D
E 1 C
最多為幾公尺？
[解] 2公尺。
《90.基測(一)第25題》
A
已知：如右圖，在△ABC中，AD＝BD，
D
AF＝CF，BE＝CE。
求證：AE與DF互相平分。
B
證明：連接DE、EF，在四邊形ADEF中，
F
E
C
因為 AD // EF （ 三角形兩邊中點連線性質 ）
AF // DE （ 三角形兩邊中點連線性質 ）
所以四邊形ADEF是 平行四邊形 ，
可知兩條對角線 AE 與 DE 互相平分。
1. 如右圖，
為圓O的切線，A為切點，
為圓O的割線，交圓O於B、C點。
試證：
B
2＝
×
P
證明：
2. 承上題，若
＝4，
＝5，求
C
O
A
＝？ 6。