Transcript 第五冊3-2電子書

剪下來疊疊看兩個圖形是否會重合，是我們學習幾
何常用的方法，能夠完全重合的兩個幾何圖形叫作
全等圖形。當我們把兩個三角形疊合時，如果能使
它們所有的頂點、邊和角都完全重合，我們就說這
兩個三角形全等，此時重合的頂點叫作對應點，重
合的邊叫作對應邊，重合的角叫作對應角。
將附件(五)中的△ABC 剪下來，疊疊看這個三角形
可與下列哪些三角形重合。 甲乙丙丁戊。
甲
乙
丙
丁
戊
若△ABC 與△DEF 能夠完全重
A
D
合，則稱△ABC 與△DEF 全
等，簡記作△ABC  △DEF
B
C
F
E
（ 讀作全等於）
。此時若 A 與
D、B 與 E、C 與 F 是三組對應點，則 AB 與 DE、BC 與
EF、AC 與 DF 是對應邊，都能完全重合；∠A 與∠D、
∠B 與∠E、∠C 與∠F 是對應角，也都能完全重合。
因此我們就有：
(1) 對應邊等長： AB ＝ DE ， BC ＝ EF ， AC ＝ DF
(2) 對應角相等：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
我們常用相同的記號來表示圖形中等長的線段與相等
角度的角。例如：在△ABC 和△DEF 中，我們可以用
下面的圖示來表示 AB ＝ DE ， BC ＝ EF ，∠B＝∠E。
A
D
A
D
C
F
或
B
C
F
E
B
E
某公園南北兩端各有一個三角形花圃，怎樣才能確
認這兩個花圃的形狀和大小是否相同呢？我們無法
用前面剪下疊合的方式來檢驗，有沒有其他的方法
呢？能不能只要這兩個三角形的某些邊或某些角對
應相等就可以確認呢？
為了容易記錄已知的條件，我們用記號 S 來代表
邊（Side），用記號 A 來代表角（Angle）。
我們先來研究一下，如果一個三角形的三個邊長分別
等於另一個三角形的三個邊長，那麼這兩個三角形是
否一定全等？
在一張白紙上畫出一個△ABC，設其三邊的長度分別為
BC ＝a， AC ＝b， AB ＝c，如下圖。
A
a
B
A
B
C
A
b
c
C
C
B
底下我們利用 SSS 尺規作圖，作出三邊為 a、b、c 的
△DEF，再檢驗△ABC 和△DEF 是否全等。
畫出△DEF，使得其三邊的邊長滿足 EF ＝a，DF ＝b，
DE ＝c。
【作法】(1) 畫一直線 L，在 L 上取一線段 EF，
使得 EF ＝a。
D
(2) 分別以 E、F 點為圓心，
c 和 b 長為半徑，
在直線的同側畫兩弧，
E
F
設兩弧相交於 D 點。
(3) 連接 DE 、 DF ，則△DEF 即為所求。
L
剪下原先畫好的△ABC，與△DEF 比較，可以發現這
兩個三角形完全重合在一起。因此我們知道在△ABC
與△DEF 中，若 AB ＝ DE ， AC ＝ DF ， BC ＝ EF ，則
△ABC 與△DEF 完全重合，也就是說△ABC  △DEF。
由上面的討論我們得知：
SSS全等性質：若兩個三角形的三個邊對應相等，
則這兩個三角形全等。
根據 SSS 全等性質，如果我們知道兩個三角形的三個
邊對應相等，就可知道這兩個三角形的三個角也對應
相等。
認識 SSS 全等性質
右圖三角形邊上的數字表示該線段
的長度，請問 △ABC 與下列哪些
三角形全等？並指出∠A 與哪些角
5
對應相等。
D
A
4
5
G
B
6
C
H
4
5
6
4
E
6
F
K
在△ABC、△DFE 和△HGK 中，因為 AC ＝ DE ＝ HK ＝4，
AB ＝ DF ＝ HG ＝5， BC ＝ FE ＝ GK ＝6，
根據 SSS 全等性質，可知△ABC  △DFE  △HGK。
因為∠D 和∠H 是∠A 的對應角，所以∠A＝∠D＝∠H。
A
承上例，如果△PQR 也與△ABC 全等，
4
5
且 PQ ＞ QR ＞ RP ，請問：
B
(1) QR 之長是多少？
5。
(2) △PQR 中的哪一個內角與∠A 對應相等？
∠R。
6
C
認識 SSS 全等性質
如右圖，已知 AB ＝ CD，BC ＝ AD ，
A
D
請問△ABC 與△CDA 是否全等？
若是，寫出對應相等的角。
B
C
在△ABC 與△CDA 中，
已知 AB ＝ CD ， BC ＝ AD ， AC ＝ AC ，
由 SSS 全等性質得知△ABC  △CDA。
因為∠B 和∠D，∠CAB 和∠ACD，∠ACB 和∠CAD
都是對應角，
所以∠B＝∠D，∠CAB＝∠ACD，∠ACB＝∠CAD。
如右圖，已知 CR ＝ ER，AC ＝ AE，
請問△CAR 與△EAR 是否全等？
E
A
R
若是，寫出對應相等的角。
因為 AC ＝ AE ， CR ＝ ER ， AR ＝ AR ，
C
所以△CAR  △EAR（SSS 全等性質)，
故∠EAR＝∠CAR，∠E＝∠C，∠ERA＝∠CRA。
如果一個三角形的兩個邊長和其夾角，分別等於另一
個三角形的兩個邊長和其夾角，那麼這兩個三角形是
否一定全等呢？
在一張白紙上畫出△ABC，設其兩邊的長度及其夾角
分別為 AC ＝b， AB ＝c，∠A＝∠1，如下圖。
A
A
A
B
b
c
C
B
1
C
底下我們利用 SAS 尺規作圖，作出兩邊及其夾角分別為
b、c 及∠1 的△DEF，再檢驗△ABC 與△DEF 是否全等。
畫出△DEF，使得兩個邊長和其夾角分別為 DF ＝b，
DE ＝c，∠D＝∠1。
F
【作法】
(1) 作出∠D＝∠1。
(2) 以 D 點為圓心，
D
E
c 長為半徑畫弧，交∠D 的一邊於 E 點；
以 D 點為圓心，
b 長為半徑畫弧，交∠D 的另一邊於 F 點。
(3) 連接 EF ，則△DEF 即為所求。
剪下原來畫好的△ABC，搬動△ABC 使 A、D 兩點重合，
且 AB 邊疊在 DE 邊上。由於 AB ＝ DE ，故 B 點與 E
點重合；又因為∠A＝∠D，所以 AC 邊也會疊在 DF 邊
上；由於 AC ＝ DF ，故 C 點與 F 點會重合，因此得知
兩個三角形可以完全重合，也就是說△ABC  △DEF。
因此我們知道△ABC 和△DEF 中，若∠A＝∠D，
AB ＝ DE ， AC ＝ DF ，那麼△ABC 和△DEF 就會
全等。此時我們還可知道∠B＝∠E，∠C＝∠F，
BC ＝ EF ，如下圖。
F
C
A
B
D
E
F
C
A
B
D
E
上述的全等條件可用「SAS」來代表，其中兩個 S 是
指兩組對應邊，中間的 A 是指兩邊的夾角。由上面的
討論我們得知：
SAS 全等性質：若兩個三角形的兩邊及其夾角對應
相等，則這兩個三角形全等。
認識 SAS 全等性質
如右圖，在△CAR 與△NER 中，已
C
知 CA ＝ NE ， CR ＝ NR ，∠C＝∠N，
E
R
請問這兩個三角形是否全等？若是， A
N
寫出其他對應相等的邊及對應相等的角。
在△CAR 與△NER 中，已知 CA ＝ NE，CR ＝ NR ，
∠C＝∠N，由 SAS 全等性質得知△CAR  △NER。
因為∠A 和∠E、∠ARC 和∠ERN 是對應角，
AR 和 ER 是對應邊，
所以∠A＝∠E，∠ARC＝∠ERN， AR ＝ ER 。
如右圖，已知 OS ＝ TS，∠ASO＝∠AST，
O
請問△AOS 與△ATS 是否全等？
若是，寫出其他對應相等的邊及
S
A
對應相等的角。
因為 OS ＝ TS ，∠ASO＝∠AST， AS ＝ AS ，
所以△AOS  △ATS（SAS 全等性質）
，
故 OA ＝ TA ，∠O＝∠T，∠OAS＝∠TAS。
T
假設直線 L 為 AB 的中垂線，L 與 AB
P
相交於 D 點，P 為 L 上一點，如右圖。
試問△PAD  △PBD 嗎？
請在下面的（
）內填入適當的理由。
A
答：在△PAD 和△PBD 中，因為
D
L
(1) AD ＝ BD
（
D 為 AB 的中點
）
(2) ∠PDA＝∠PDB
（
PD ⊥ AB
）
(3) PD ＝ PD
（
公用邊
SAS 全等性質
）
所以△PAD  △PBD （
）
B
由於 PA 與 PB 是全等△PAD 與△PBD 的對應邊，所
以 PA ＝ PB 。因此我們有：
中垂線性質：線段中垂線上任意一點與線段兩端點
的距離相等。
L
如右圖，直線 L 為 AB 的中垂線，P、Q
P
兩點都在 L 上。已知 AP ＝8，BQ ＝5，
8
請問 BP 、 AQ 的長度分別是多少？
A
B
BP ＝8， AQ ＝5。
5
Q
如果一個三角形的兩個邊長和其中一邊的對角分別等
於另一個三角形的兩個邊和其中一邊的對角，那麼這
兩個三角形是否一定全等呢？
任意作一銳角∠D，並在其一邊
E
上取一點 E；再以 E 為圓心，適
當的長 a 為半徑畫弧，交∠D 的
另一邊於 F、G 兩點，其中半徑
D
G
F
a 小於 DE 、大於 E 點到∠D 的另
一邊的距離；連接 EF 和 EG ，如右圖。
(1)△DEF 和△DEG 會全等嗎？ 不會。
(2)寫出△DEF 和△DEG 中對應相等的邊和對應相等
的角。DE ＝ DE ，∠EDF＝∠EDG， EF ＝ EG 。
從上頁的問題與討論可以發現：在△DEF 和△DEG 中，
雖然
DE ＝ DE ，∠EDF＝∠EDG， EF ＝ EG
但△DEF 和△DEG 並不全等，亦即：
一個三角形的兩個邊長和其中一邊的對角分別等於另
一個三角形的兩個邊長和其中一邊的對角，那麼這兩個
三角形未必會全等。
因此 SSA 條件並不保證兩個三角形全等。
1. 如果兩個三角形只有兩組對應邊相等，那麼這兩個
三角形是不是一定會全等呢？
不是。
2. 如果兩個三角形只有一組
對應邊和一組對應角相等，
那麼這兩個三角形是不是
一定會全等呢？
不是。
前面提到 SSA 條件並不能保證兩個三角形全等，但
是如果條件中的等角是直角時，結果會是如何呢？
也就是說，若兩個直角三角形的斜邊和一股對應相
等，那麼這兩個直角三角形是否會全等呢？
E
B
在△ABC 和△DEF 中，已知
∠C＝∠F＝90°，AB ＝ DE ，
BC ＝ EF ，如右圖。
C
A
F
我們利用前面學過的全等性質來檢驗這兩個三角形
是否全等。
D
(1) 由勾股定理知道
AC 2＋ BC 2＝ AB 2，
E
B
DF 2＋ EF 2＝ DE 2
因為
AB ＝ DE ，
BC ＝ EF
所以
C
A
F
AC 2＝ DF 2
故
AC ＝ DF
(2) 在△ABC 和△DEF 中，
有 AC ＝ DF ， AB ＝ DE ， BC ＝ EF ，
由 SSS 全等性質得知△ABC  △DEF。
D
因此，若兩個直角三角形的斜邊和一股對應相等，則
這兩個直角三角形會全等。這個結果稱為 RHS 全等性
質，其中 R 代表直角（Right angle），H 代表斜邊
（Hypotenuse），S 代表邊（Side）。
RHS 全等性質：
若兩個直角三角形的斜邊和一股對應相等，則這
兩個直角三角形全等。
認識 RHS 全等性質
A
如右圖，△ABD 與△ACD 中，已知
AB ＝ AC，AD ⊥ BC，試問△ABD 與
△ACD 是否全等？
B
在△ABD 與△ACD 中，
因為 AD ⊥ BC ，
所以△ABD 與△ACD 都是直角三角形。
已知 AB ＝ AC ， AD ＝ AD ，
根據 RHS 全等性質，可知△ABD  △ACD。
D
C
如下圖，已知 AB ＝3，AC ＝6，∠B＝90°；PQ ＝3，
QR ＝6，∠P＝90°，請問這兩個三角形會全等嗎？
若是全等，那麼∠A 與哪個角對應相等？ BC 與哪個
邊對應相等？
P
A
3
B
6
3
C
Q
6
由 RHS 全等性質，可知△ABC  △QPR，
其中∠A＝∠Q， BC ＝ PR 。
R
C
如右圖， PE 、 PF 分別與∠BAC 的
F
P
AB 邊、 AC 邊垂直相交於 E、F 點。
如果 PE ＝ PF ，那麼△PAE 與△PAF
會全等嗎？請在下面的（
A
E
D
B
）內填入適當的理由。
答：在△PAE 與△PAF 中，因為
(1) PE ＝ PF
（
已知
）
(2) ∠PEA＝90°＝∠PFA （ PE ⊥ AB ， PF ⊥ AC ）
(3) AP ＝ AP
（
所以△PAE  △PAF
（
）
公用邊
RHS 全等性質 ）
由於∠PAE 和∠PAF 是全等△PAE 與△PAF 的對應角
，所以∠PAE＝∠PAF，故 P 點在∠BAC 的角平分線上
。由上面的討論我們可以知道：
角平分線判別性質：與一角兩邊等距離的點必在
此角的角平分線上。
如右圖，四邊形 ABCD 中，已知 AD ⊥ AB，
因為 AD ＝ CD ，且∠A＝∠C＝90°，
所以∠CBD＝∠ABD＝25°。
25°
B
3
D
CD ⊥ BC ，∠ABD＝25°， AD ＝ CD ＝3。
請問∠CBD 是多少度？
A
3
C
如果一個三角形的兩個角和其夾邊，分別等於另一個三
角形的兩個角和其夾邊，那麼這兩個三角形是否一定全
等呢？在一張白紙上畫出△ABC，設其兩角及其夾邊分
別為 AB ＝c，∠A＝∠1，∠B＝∠2，如下圖所示。
A
2
1
B
C
A
c
B
底下我們利用ASA尺規作圖，作出兩角及其公用邊分別為
∠1、∠2 和c 的△DEF，再檢驗△ABC和△DEF是否全等。
畫出△DEF，使得兩個角及其夾邊分別為 DE ＝c，
∠D＝∠1，∠E＝∠2。
【作法】
(1) 作一直線 L，並在 L 上取 DE ＝c。
(2) 以 D 為頂點， DE 為一邊，
F
作∠D＝∠1。
(3) 以 E 為頂點， DE 為一邊，
在∠D 的同側作∠E＝∠2。
L
D
E
(4) 設此兩角的另一邊相交於 F 點，則△DEF 即為所求。
因為 AB ＝ DE ＝c，因此可以搬動△ABC
使 A、B 兩點分別與 D、E 兩點重合。
由於∠A＝∠D＝∠1，故 AC 會與 DF 重合；
由於∠B＝∠E＝∠2，故 BC 與 EF 會重合，
此時 C 點會與 F 點重合，
也就是△ABC 與△DEF 可以完全疊合在一起。
因此在△ABC 與△DEF 中，
D
A
如果知道∠A＝∠D，
∠B＝∠E， AB ＝ DE ，
B
C
E
F
那麼△ABC 和△DEF 會全等。
此時我們還知道∠C＝∠F， AC ＝ DF ， BC ＝ EF 。
上述的全等條件我們記成 ASA，其中兩個 A 是指這兩
個三角形中的兩組對應角，兩個 A 中間的 S 是指這兩
個三角形中兩組對應角所夾的對應邊。因此可得：
ASA全等性質：若兩個三角形的兩角及其夾邊對應
相等，則這兩個三角形全等。
如右圖，在△ABC 與△DEF 中，若
D
A
AB ＝ DE ，∠B＝∠E，∠C＝∠F，
請問∠A 和∠D 會相等嗎？ 會。 B
C
F
這兩個三角形是否全等？ 是。
因為三角形三內角和是 180°，
且∠B＝∠E，∠C＝∠F，所以∠A＝∠D，
加上原來的已知條件 AB ＝ DE ，∠B＝∠E，
由 ASA 全等性質得知△ABC  △DEF。
E
上述的全等條件我們記成 AAS，
其中兩個 A 是指兩組對應角，
旁邊的 S 是指其中一個角的對邊。
因此可得：
AAS 全等性質：
若兩個三角形的兩個角和其中一個角的對邊對應
相等，則這兩個三角形全等。
認識 ASA 全等性質
如右圖，已知∠A＝80°，∠C＝60°，
A
AB ＝6，請問下圖中的哪些三角形與
△ABC 全等？在這些三角形中，哪些
80°
6
60°
B
角與∠C 對應相等？哪些邊與 AC 對應相等？
G
D
6
E
40°
40°
H
6
60°
L
80° N
60°
F
K
40°
M
6
C
利用三角形內角和為 180°，
得知∠B＝40°、∠D＝80°、∠H＝80°、∠L＝60°。
因為∠A＝∠D＝∠H＝∠N＝80°，
∠B＝∠F＝∠G＝∠M＝40°，
及 AB ＝ DF ＝ HG ＝ NM ＝6，所以由 ASA 全等性質，
得知△ABC 和△DFE、△HGK、△NML 都全等。
因為∠E、∠K、∠L 是∠C 的對應角，
所以∠E＝∠K＝∠L＝∠C。
因為 DE 、 HK 、 NL 是 AC 的對應邊，
所以 DE ＝ HK ＝ NL ＝ AC 。
承例題 5，請問下圖中的哪些三角形與△ABC 全等？在
這些三角形中，哪些角與∠C 對應相等？哪些邊與 AC
對應相等？
T
X
P
6
80°
6
Q
60°
40°
60°
6
S 80°
40°
R
U
Y
△STU  △ABC，∠U＝∠C， SU ＝AC 。
Z
如右圖， AD 平分∠BAC，P 為 AD 上一點，
PE 、 PF 分別與∠BAC 的 AB 邊、 AC 邊垂
直相交於 E、F 點。請問△PAE  △PAF 嗎？
請在下面的（ ）內填入適當的理由。
C
F
A
（
AD 為角平分線
D
B
E
答：在△PAE 與△PAF 中，因為
(1) ∠PAE＝∠PAF
P
）
(2) ∠PEA＝90°＝∠PFA （ PE ⊥ AB ， PF ⊥ AC ）
(3) AP ＝ AP
（
公用邊
）
所以△PAE  △PAF
（
AAS全等性質
）
因為 PE 與 PF 分別為全等△PAE 與△PAF 的對應
邊，所以 PE ＝ PF 。由於 PE 與 PF 分別為 P 點到
∠BAC 兩邊 AB 與 AC 的距離。
由這個活動我們可以知道：
角平分線性質：角平分線上任一點到其兩邊等距離。
如右圖，△ABC 中，已知 AD 平分∠BAC，
DE ⊥AB，DF ⊥ AC。如果 AB ＝8 公分，
C
F
D
AC ＝7 公分， DE ＝3 公分，那麼：
(1) DF 為多少公分？
A
DF ＝ DE ＝3 公分。
(2) △ABC 的面積為多少平方公分？
所求＝△ABD＋△ACD
E
1
1
＝ 2 × 8 × 3＋ 2 × 7 × 3＝22.5（平方公分）
。
B
若兩個三角形的對應角都相等（此對應相等的條件記為
AAA），則這兩個三角形一定會全等嗎？我們可以發現
兩個正三角形不一定全等（因為邊長不一定相等），但
是它們的三組對應角都相等（皆為60度）。亦即 AAA
條件不保證全等。
1. 全等三角形
若兩個三角形全等，
則對應邊相等，對應角相等。
2. 全等三角形的判別方法
(1) SSS 全等性質：若兩個三角形的三個邊對應相等，
則這兩個三角形全等。
(2) SAS 全等性質：若兩個三角形的兩邊及其夾角對應
相等，則這兩個三角形全等。
(3) RHS 全等性質：若兩個直角三角形的斜邊和一股
對應相等，則這兩個直角三角形全等。
(4) ASA 全等性質：若兩個三角形的兩角及其夾邊
對應相等，則這兩個三角形全等。
(5) AAS 全等性質：若兩個三角形的兩個角和其中
一個角的對邊對應相等，則這兩個三角形全等。
3. 中垂線性質
線段中垂線上任意一點與線段兩端點的距離相等。
4. 角平分線判別性質
與一角兩邊等距離的點必在此角的角平分線上。
5. 角平分線性質
角平分線上任一點到其兩邊等距離。
1. 如右圖，在△GAS 與△OIL 中，
L
S
已知∠G＝∠I，∠A＝∠O，
AS ＝ LO ，請問這兩個三角形
G
是否全等？若是，請問 GS 的對
應邊為何？
因為∠G＝∠I，∠A＝∠O，AS ＝ LO，
所以△GAS△IOL（AAS 全等性質）
，
故 GS 的對應邊為 IL 。
A O
I
2. 在△ABC 與△DEF 中，已知 AB ＝ DE，BC ＝ DF ，
若再加上下列哪一個條件，則這兩個三角形會全
等？ 答： (B)或(E)
(A) ∠A＝∠F
(B) ∠B＝∠D
(C) ∠C＝∠E
(D) ∠B＝∠F
(E) AC ＝ EF
3. 下圖中，已知 AENS 是矩形，且 W 是 AE 的中點，
SW ＝ NW ，請問△SAW 與△NEW 會全等嗎？為什
麼？若是，∠ASW 與哪個角對應相等？
S
N
A
W
E
因為 SW ＝ NW，AS ＝ EN，AW ＝ EW ，
所以△SAW  △NEW（SSS 全等性質）
，
故∠ASW＝∠ENW。
P
4. 如右圖，已知 M 為 AB 的中點，
PM ⊥ AB ，若 PA ＝7，求 PB 的長度。
因為 PM 垂直平分 AB ，
7
A
所以 PM 為 AB 之中垂線，故 PB ＝ PA ＝7。
A
5. 如右圖，已知 DA ⊥ AB，DC ⊥ BC ，
PQ ⊥ AB，PR ⊥ BC，若 DA ＝ DC ，
Q
B
M
D
3
PQ ＝3，求 PR 的長度。
B
因為 DA ＝ DC ， DA ⊥ AB ， DC ⊥ BC ，
所以 BD 為∠ABC 的角平分線。
又 PQ ⊥ AB，PR ⊥ BC，故 PR ＝ PQ ＝3。
P
R
C
本節已結束。
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