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在第二章我們學過角平分線、垂直平分線的尺規作
圖，而這一個主題，我們將利用三角形的全等性質，來
進一步探討一些重要的相關性質。
如圖㈠，直線 AP 為∠EAF 的角平分線，若 D 為直
線 AP 上任意一點，作CD⊥AE，BD⊥AF，那麼 CD 是否
會等於 BD 呢？
說明：在△ACD 和△ABD 中，
因為直線 AP 為∠EAF 的角平分線，所以∠1＝∠2，
又 ∠ACD＝∠ABD＝90°，(CD⊥AE，BD⊥AF)
AD＝AD，(公共邊)
根據 AAS 全等性質，可知△ACD  △ABD，
所以 CD＝BD。
因為 D 是角平分線上的任一點，而且 CD⊥AE、
BD⊥AF，因此 CD 為 D 點到 AE 的距離，BD 為 D 點到 AF
的距離。由上面可知：
角平分線上任一點到此角兩邊的距離相等。
如右圖，已知 P 是∠BAC 內一點，PB⊥AB、
PC⊥AC，且 PB＝PC，則 P 點是否會在
∠BAC 的角平分線上？(請在下面敘述的空格
中，填入適當的內容)
解：連接 AP，如右圖，
在△ABP 與△ACP 中，
∠ABP＝ ∠ACP ＝90°，(PB⊥AB、PC⊥AC)
AP＝AP，(公共邊)
PB＝PC，(已知)
所以根據 RHS 全等性質，
可知△ABP  △ACP，
所以∠BAP＝ ∠CAP ，(對應角相等)
因此 AP 平分 ∠BAC ，即 P 點會在∠BAC 的角平分線上。
若一點到某角的兩邊距離相等，則此點會在該角的角平
分線上。
如右圖，AD 為∠BAC 的角平分線，且
DE⊥AB、DF⊥AC，△ABC 的面積為 21，
AB＝6，AC＝8，則 DE＝？
設 DE＝DF＝x，
由△ABC 的面積＝△ABD 的面積＋△ACD 的面積，
得 21  1  AB  DE  1  AC  DF ，
21 
2
1
2
 6x 
1
 8x
，7x＝21，
所以 x＝3，故 DE＝3。
2
2
如右圖，△ABC 中，DE⊥AB、DF⊥AC，
且 DE＝DF，∠BAD＝42°，∠C＝60°，
求∠B＝？
因為 DE⊥AB、DF⊥AC，且 DE＝DF，
根據角平分線的判別性質，可知 AD 是∠BAC 的角平分線，
所以∠CAD＝∠BAD＝42°，
因此∠B＝180°－∠C－∠BAC＝180°－60°－(42°＋42°)＝36°
如圖㈡，直線 L 為 AB 的垂直平分線，C 是直線 L
上任一點。那麼 AC 是否等於 BC 呢？
說明：在△ACD 和△BCD 中，
因為直線 L 為 AB 的垂直平分線，
所以 AD＝BD，∠CDA＝∠CDB＝90°，
又 CD＝CD，(公共邊)
根據 SAS 全等性質，可知△ACD  △BCD，
所以 AC＝BC。
由上面得知，如果 C 是垂直平分線上的任一點，則
AC＝BC。也就是說，垂直平分線上的任一點到線段兩端
點的距離會相等。
一線段的垂直平分線上任一點到此線段的兩端點距離相
等。
如右圖，已知 P 是 AB 外一點，且 PA＝PB，
則 P 點是否會在 AB 的垂直平分線上？
(請在下面敘述的空格中，填入適當的內容)
解：過 P 點作 PM⊥AB，交 AB 於 M 點，如下圖，
在△APM 與△BPM 中，
90 度，(由作圖得知)
∠AMP＝∠BMP＝
PA＝ PB ，(已知)
PM＝PM，(公共邊)
所以根據 RHS 全等性質，
可知△APM  △BPM，
所以 AM＝BM，(對應邊相等)
因此 PM 為 AB 的垂直平分線，
即 P 點會在 AB 的垂直平分線上。
若一點到某線段兩端點的距離相等，則此點會在該線段
的垂直平分線上。
如右圖，已知 PA＝PB。如果先作 AB 的中點 D，連接
PD，則是否可以得到 PD⊥AB 的結論？
在△APD 與△BPD 中，
因為 PA＝PB，AD＝BD，PD＝PD，
由 SSS 全等性質可知△APD △BPD，
因此∠PDA＝∠PDB，又∠PDA＋∠PDB＝180°，
所以∠PDA＝∠PDB＝90°，故 PD⊥AB。
如右圖，直線 L 為 BC 的中垂線，若
△AEC 的周長為 26，BD＝8，則△ABC
的周長為多少？
因為直線 L 為 BC 的中垂線，
所以 BE＝CE，
又 BD＝CD，
所以 BC＝2×BD＝2×8＝16，
故△ABC 的周長 ＝AB＋AC＋BC
＝AE＋BE＋AC＋BC
＝AE＋CE＋AC＋BC＝26＋16＝42。
如右圖，△ABC 中，∠A＝90°，DE⊥BC，
且 BE＝CE，若 AB＝5、BD＝ 13 ，
2
則△ABE 的周長為多少？
因為 BE＝CE，DE⊥BC，
根據垂直平分線的判別性質，可知 DE 為 BC 的垂直平分線，
13
即 D 為 BC 的中點，因此 BC＝2×BD＝2×
＝13，
2
因為△ABC 為直角三角形，∠A＝90°，
所以 AC＝ BC  AB  13  5  12 ，
因此△ABE 的周長 ＝AB＋AE＋BE＝AB＋AE＋CE
＝AB＋AC＝5＋12
＝17。
2
2
2
2
一個三角形如果有兩邊等長，則這個三角形就是等
腰三角形。在 2-2 節線對稱圖形時，曾經學過等腰三角形
的一些性質，接下來，我們將利用三角形的全等性質來
進一步說明這些性質。
小學曾經利用摺紙的方法，得到「等腰三角形兩底
角相等」的性質，現在我們也可以利用三角形的全等性
質得到相同的結果。
如圖㈢，△ABC 為等腰三角形，其中 AB＝AC，則
∠B ＝∠C。
說明：作∠A 的角平分線交 BC 於 D 點，如圖㈣。
在△ABD 和△ACD 中，
AB＝AC，(已知)
∠BAD＝∠CAD，(AD 為∠A 的角平分線)
AD＝AD，(公共邊)
根據 SAS 全等性質，可知△BAD  △CAD，
所以∠B＝∠C。
由上面說明過程可以知道△BAD  △CAD，因此我們也可
以進一步得到︰
⑴ BD＝CD，所以 AD 平分 BC。
⑵ ∠BDA＝∠CDA，而∠BDA＋∠CDA＝180°，
所以∠BDA＝∠CDA＝90°，即 AD⊥BC。
因此 AD 會垂直且平分 BC。
由以上可知，等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊。
如右圖，若△ABC 中，∠B＝∠C。
請說明 AB＝AC。(請在下面敘述的
空格中，填入適當的內容)
解：作∠A 的角平分線交 BC 於 F 點，如下圖。
在△BAF 和△CAF 中，
∠B＝ ∠C ，(已知)
∠BAF＝ ∠CAF ，(AF 平分∠BAC)
AF＝AF，(公共邊)
根據 全等性質 AAS ，可知△BAF  △CAF，
所以 AB＝AC。
若三角形的兩個內角相等，則此三角形必為等腰三角形。
由前面我們知道，等腰三角形的頂角平分線會垂直平
分底邊。但是，反過來說：等腰三角形底邊的垂直平分線
是否會通過頂點且平分頂角呢？
如圖㈤，已知等腰△ABC 中，AB＝AC，且 D 為 BC
的垂直平分線上一點，請依序回答下列問題。
⑴ 請問 A 點是否會在 BC 的垂直平分線上？
會。因為 AB＝AC，根據垂直平分線的
判別性質，所以 A 點會在的垂直平分
線上。
⑵ 設 AD 為底邊 BC 的垂直平分線，則∠BAD 是否等於
∠CAD？
是。因為△ABD 和△ACD 中，∠B＝∠C，
∠ADB＝∠ADC＝90°，
根據三角形的內角和定理，可知∠BAD＝∠CAD。
由問題探索 1，我們可以得到，等腰三角形底邊的垂直
平分線會通過頂點，且平分頂角。
由以上可知：
⑴ 等腰三角形的兩個底角會相等。
⑵ 等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊。
⑶ 等腰三角形底邊的垂直平分線會通過頂點，且平分頂角。
如右圖，△ABC 中，已知 D 為 BC 上一點，
若 AB＝AD＝CD，且∠C＝32°，則：
⑴ ∠B＝？
⑵ ∠BAD＝？
⑴ △ACD 中，因為 AD＝CD，(已知)
根據等腰三角形的性質，得知∠1＝∠C＝32°，
根據三角形的外角定理，得知∠2＝∠1＋∠C＝64°，
△ABD 中，AB＝AD，(已知)
所以由等腰三角形的性質，得到∠B＝∠2＝64°。
⑵ 在△ABD 中，可利用三角形的內角和定理，
得知∠BAD＝180°－∠B－∠2＝180°－64°－64°＝52°
如右圖，△ABC 中，BD＝BE，CD＝CF，
若∠B＝70°，∠C＝40°，
則∠EDF＝？
因為 BD＝BE，得到∠1＝∠2，
所以∠1＋∠2＝180°－∠B，
因此∠2＝(180°－∠B)÷2＝(180°－70°)÷2＝55°，
因為 CD＝CF，得到∠3＝∠4，
所以∠3＋∠4＝180°－∠C，
因此∠3＝(180°－∠C)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°，
故∠EDF＝180°－∠2－∠3＝180°－55°－70°＝55°
如右圖，等腰△ABC 中，已知 AB＝AC，
AD 平分∠BAC，CE 平分∠ACB，
若∠B＝60°，AB＝6，則：
⑴ ∠AEC＝？
⑵ △ABC 的面積是多少？
⑴ 等腰△ABC 中，因為 AB＝AC，
所以∠ACB＝∠B＝60°，因此∠BAC＝60°，
因為 AD 平分∠BAC，CE 平分∠ACB，
1
所以∠2＝∠4＝ ×60°＝30°，
2
因此∠AEC＝180°－∠2－∠4＝180°－30°－30°＝120°
⑵ 根據等腰三角形頂角的平分線會垂直平分底邊，
得知 AD⊥BC，BD＝CD，
又由⑴得知△ABC 的三個角都是 60°，
1
1
所以△ABC 為正三角形，得 BD＝ 2 ×BC＝ 2 ×6＝3，
因此 AD＝ AB 2  BD 2  6 2  3 2  3 3 ，
1
所以△ABC 的面積＝
×BC×AD＝ 1 ×6× 3 3  9 3 。
2
2
如右圖，等腰△ABC 中，已知 AB＝AC，
AD 垂直平分 BC，CE 平分∠ACB。
若∠B＝50°，則∠AEC＝？
等腰△ABC 中，AB＝AC，∠B＝50°，
所以∠C＝50°，∠BAC＝180°－50°×2＝80°，
因為 CE 平分∠ACB，
1
1
所以∠1＝∠2＝ ×∠ACB＝ ×50°＝25°，
2
2
因為 AD 垂直平分 BC，所以 AD 會平分等腰三角形的頂角，
即平分∠BAC，
1
1
因此∠3＝ 2 ∠BAC＝ 2×80°＝40°，
故∠AEC＝180°－∠1－∠3＝180°－25°－40°＝115°。
角平分線上任一點到此角兩邊的距離相等。
例 已知AP 平分∠BAC，且 BP⊥AB，CP⊥AC，
則 BP＝CP。
若一點到某角的兩邊距離相等，則此點會在該角的
角平分線上。
例 若 BP⊥AB、CP⊥AC，且 BP＝CP，
則AP 會平分∠BAC。
一線段的垂直平分線上任一點到此線段的兩端點距
離相等。
例 如右圖，已知 L 垂直平分 AB，P 點在 L 上，
則 AP＝BP。
若一點到某線段兩端點的距離相等，則此點會在該
線段的垂直平分線上。
例 如右圖，若 AP＝BP，則 P 點會在 AB 的垂直平
分線上。
⑴ 等腰三角形的兩個底角會相等。
⑵ 等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊。
⑶ 等腰三角形底邊的垂直平分線會通過頂點，且平
分頂角。
例 如右圖，△ABC 中，已知 AB＝AC：
① 則∠B＝∠C。
② 若 AD 平分∠BAC，
則 AD⊥BC 且 BD＝CD。
③ 若 AD⊥BC 且 BD＝CD，
則 AD 平分∠BAC。
若三角形的兩個內角相等，則此三角形必為等腰三
角形。
例 如右圖，若∠B＝∠C，則 AB＝AC。
右圖△ABC 中，∠ACB＝90°，BD 為∠ABC 的角平分
線，若 AB＝16，CD＝3，則△ABD 的面積為多少？
作 DE⊥AB，且交 AB 於 E 點，
因為 BD 為∠ABC 的角平分線，
所以 DE＝CD＝3， 1
因此△ABD 面積＝ 2 ×AB×DE
＝
1
2
×16×3＝24。
如右圖，△BCD 中，直線 L 為 CD 的垂直平分線，
交 BD 於 A 點，若∠ACB＝90°，BC＝4，BD＝8，則
AD＝？
因為 L 為 CD 的垂直平分線，所以 AD＝AC，
設 AD＝AC＝x，則 AB＝8－x，
直角△ABC 中，AB2＝AC2＋BC2，
所以(8－x)2＝x2＋42，
64－16x＋x2＝x2＋16，得到 x＝3，
故 AD＝3。
如右圖，已知 B、C、D 三點在同一直線上，
AB＝AC，EC＝ED，若∠A＋∠E＝160°，
求∠ACE＝？
因為 AB＝AC，EC＝ED，得到
∠B＝∠1，∠2＝∠D，
又∠A＋∠E＝160°，
所以∠A＋∠B＋∠1＋∠E＋∠2＋∠D＝360°，
160°＋(∠B＋∠1)＋(∠2＋∠D)＝360°，
2∠1＋2∠2＝200°，得到∠1＋∠2＝100°，
所以∠ACE＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－100°＝80°。