資優數學教學設計

百齡國中 演講者 ： 李信仲 100

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• • • 興趣與能力 命題設計 教學設計 1 資優 2 補救

前言

綱要

•教學的想法 •數學能力與創造力 •教材編輯(一) ：基礎教材 •教材編輯(二) ：充實教材 • •教材編輯(三) ：獨立研究 培養思考能力的命題

教學的想法

知識 創意 應用 思考

數學能力與創造力

Krutetskii(1976)的數學能力因子 •概括數學材料的能力：一般化的能力 •數學材料的形式化能力：分析抽象的能力 •運用數字和其它符號運算的能力：運算能力 •連續有節奏的邏輯推理能力：垂直思考 •縮短推理的能力：簡潔流暢的思考 •逆轉心理過程的能力：從正向思維轉向逆向 思維的能力 ， 檢測反例

Krutetskii(1976)的數學能力因子 •思維的靈活性：彈性思考、創造性思考、 水平式思考，豐富的思考策略 •數學記憶：對概括內容、形式化結構和 邏輯模式的記憶 •形成空間概念的能力 •資訊管理的能力：有效的訊息處理、資 料組織整理或轉換(表徵)的能力

Krutetskii(1976)的數學能力因子 實例

概括數學材料的能力範例(一)

•假設一個騎自行車的人用一定的時間 到達指定的地點。若他以每小時15公 里的速率前進，將提前一小時到達指 定地點。若他以每小時10公里的速率 前進，將延遲一小時到達目的地。他 用什麼速率前進才能準時到達目的地？

逆轉心理過程的能力範例(一)

• 有一個四邊形ABCD，若將此四邊形 切一刀之後可以重新組合成一個 長︰寬＝2︰1的長方形。 1.

請畫出四邊形ABCD 。 2.

切一刀之後重新組合成一個 長︰寬＝2 ︰1的長方形。

概括 、思維的靈活性、數學記憶 縮短推理的能力範例(一) •有A、B兩水池，A水池蓄水720立方公 尺，B水池蓄水840立方公尺，早上6點 開始以每小時48立方公尺的速度抽A水 池的水。早上8點開始以每小時72立方 公尺的速度抽B水池的水。問什麼時候 兩水池剩下的水量相等？

思維的靈活性範例(一)

•四個班級共有學生144名，一班和二 班共有72名，一班和三班共有77名， 二班和三班共有75名，問四班有學生 多少名？

思維的靈活性範例(二)

•下面的圖形是由同樣大小的長方形磁磚組 成的，已知磁磚的寬是12cm，求陰影部分 的面積是多少？

連續有節奏的邏輯推理能力範例(一)  水桶中裝水，插入 A、B、C 三根竹 竿。露出水面的部分，A 竹竿是 1 3 ，B 竹竿是 1 4 ，C 竹竿是 1 5 ，三根竹竿的長 度加起來是 147cm，問水深及三根竹 竿的長度各是多少？

連續有節奏的邏輯推理能力範例(二) •如何用7升和11升的兩種容器，量出13 升的水？(有一個可以裝40升的大容器)

連續有節奏的邏輯推理能力範例(三) •三個賭徒阿和、阿仁和阿洲在大湖邊 賭錢。開始的時候，他們所有的錢數 比依序為7：6：5。賭完之後，他們錢 的比依序變為6：5：4。其中 ， 有一個 人贏了12元，請問：此人原來有多少 錢？

連續有節奏的邏輯推理能力範例(四) • 有三個人，每個人都有兩份工作且沒有 兩個人有相同的工作。 建築工 偶而會嘲 笑 音樂家 體力差， 音樂家 常和 清潔工 及 小華去爬山。 畫家 向 老師 借了一本書， 建築工 在追求 畫家 的妹妹。小明欠 清潔 工 12萬元。小中打桌球常贏小明與 畫家 。 他們之中有一個是 律師 。試問三個人的 工作分別為那些﹖

範例(四)

︰

解題分析一 •三個人的名字﹕ 小華、小明、小中 •六種職業﹕ 建築工、音樂家、清潔工、 畫家、老師、律師。

範例(四)

︰

解題分析二 • 條件﹕ 1) 有三個人，每個人都有兩份工作且沒有 兩個人有相同的工作。 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 建築工常嘲笑音樂家體力差 音樂家和清潔工和小華去爬山 畫家向老師借了一本書， 建築工在追求畫家的妹妹。 小明欠清潔工12萬元。 小中打桌球常贏 小明與畫家。 他們之中有一個是律師。

範例(四)

︰

解題分析三 人名 職業 建築工 音樂家 小華 清潔工 畫家 老師 律師 小明 小中

資訊管理的能力：

•接力賽跑的跑道分為四段，如果第一段 和第二段合在一起是100公尺，第二段 和第三段共長200公尺，第三段和第四 段共長300公尺，第四段和第一段共長 400公尺，求跑道的總長。 (題目的合 理性)

創造力是甚麼

•新穎：原創的、出人意表的 •適當：有用的、能配合工作的限制 而進行調整 (Lubart，1994；Ochse，1990；Sternberg，1988a)

精緻

創造力是甚麼

新奇獨特 合適可用 重要

實例

適當：有用的、能配合工作的限制 而進行調整 •如下圖，把長13cm，寬9cm的長方形磁 磚以1cm的間隔排成正方形。最少需要 幾塊磁磚？

適當：有用的、能配合工作的限制 而進行調整 •王老先生有塊正方形土地，如 圖；其中陰影的正方形部份是 王老先生的家園，他有四個兒 子，他希望把剩下的土地平均 分給四個兒子，他的原則是每 人分到的道路長度要一樣每人 分到的面積要一樣，而且必須 是一整塊請你幫王老先生分出 四塊他所希望的土地

陶倫斯創造思考測驗

(TTCT) •流暢性：反應的數量，想得愈多愈好。 •變通性：反應的類別，使用全新的觀點， 重新出發。 •獨創性：反應的罕見度，與眾不同的表現。 •敏覺性：反應的速度。 •精密性：反應的周詳程度，標準的再提昇 與超越。

教材編輯的想法

•知識的學習過程中融入： –數學能力 –創造力 –應用能力

教材編輯(一) ：基礎教材 •強調知識的完整性,以課程綱要為依據,配合一般 學生的學習課程。 1.基本概念的建立 2. 深層學習的題材

基礎教材編寫要項

※老師的話 ※課程目標與範例 ※ 練 習 1.基本能力題 2.進階題 3.思考題 題 ※動 動 腦 . ※診 斷 測 驗

基礎教材：舉例

• 三 角 形 的 內 角 與 外 角

教材編輯(二) ：充實教材

※依學生程度設計教材,可以包括： 邏輯思考； 解題方法； 統整復習； 數學史； 數學遊戲等

充實教材(邏輯思考) ：舉例

• 邏輯推裡

充實教材(解題方法) ：舉例

解題的想法

解題的相關資訊

1. 從已知條件中，我們由 ∠ABD＝90°與∠DBC＝ 30°聯想到若三角形三個 內角分別為30°-60°-90° 時，其對應邊的比則為 1： √ 3 ：2。 2.

因為D為的中點，可用到 的性質為：三角形兩邊 中點的連線必平行第三 邊，且為第三邊邊長的 一半。

解題的相關資訊

3. 因為D為的中點，若將 ΔABD與ΔBDC切割後重 新組合，則與可以疊合， 拼 成 新 的 圖 形 4. ΔABD為直角三角形， 可能利用到商高定理

解題思路分析

《解一》 嘗試利用三角形兩邊中點連 線性質進行解題：取上的中 點，並與D點連接，可得一與 平行的線段，進而得到一個 內角分別為30°-60°-90°的直 角三角形。

解題思路分析

《解二》 如右圖，利用圖形的重新 組合，可以得到一個內角 分別為30°-60°-90°的直 角三角形。再利用 30 ° 60°-90°的直角三角形所 具有的特性來進行解題。

思考動動腦

•是否可以在邊上取中點，再利用三角形兩 邊中點的連線性質來進行解題呢？

充實教材(統整復習) ：舉例

• 第七章應用題.doc

• 幾何第一章.doc

充實教材(數學遊戲) ：舉例 假面數學 文字算術.doc

充實教材(數學遊戲) ：舉例

• 猜一 猜你在想什麼.doc

充實教材(數學遊戲) ：舉例 幽浮回家去 • 幽浮回家去 許文化李信仲 .doc

充實教材(數學史) ：舉例

• 數學史教案

教材編輯(三) ：獨立研究 • 獨立研究探索課程一_課程內容之延伸研究 _.pdf

培養思考能力的命題 命題舉例

命題舉例

(

一

)

：由淺入深

命題舉例

(

二

)

：由淺入深

命題舉例

(

三

)

：多元思考

命題舉例

(

四

)

：

知識的應用 •複製以下的臉譜 •(對稱的應用)

命題舉例

(

五

)

：

尋找規律

命題舉例

(

六

)

：

循循善誘 • 用12根火柴圍成一個十字形如圖， 面積為５，請你重新排列使其圍成 面積為4 、 3 、 2 、 1 的圖形 。 面積： 5

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