Transcript 條件機率

條件機率
機率概念與應用網路學習研究
說明
在說明條件機率的定義之前，我們先來討論
一個有趣的問題：
1
2
我們知道生男生女的機率各是 ，所以隨機
抽取一個學生，其會是男生或女生的機率也
1
大約是 2 ，但是若在給定此學生是高雄女中
的學生之條件下，那麼這個學生會是女生的
機率便是 1 了。
條件機率
由上一個例子可知道，就算是同樣的一個事
件或是同樣的實驗結果，在給定不同的條件
下，出現的機率也會有所不同。
例如將其給定的條件換成是「此學生為高雄
中學的學生」，那麼這個學生是女生的機率
就微乎其微了。
註：高雄中學設有音樂班，男女兼收。
條件機率
條件機率的定義
在看過實際的例子以後，接下來我們便給出條件
機率的定義，若 A、B 為樣本空間裡的兩個事件
，則 P(A|B) 是代表給定 B 事件發生之下， A
事件所發生的機率，且定義：
P( A | B )

條件機率
P( A  B )
P (B )
條件機率的性質
若A、B、C為樣本空間中的三個事件，
且P(C)  0 ，則：
1.P(C|C) = 1
2. 0  P(A|C)  1
c
c
3.P(A |C) = 1 - P(A|C) ；其中A 表A的餘集
4.若 A  B， P(A|C)  P(B|C)
條件機率
除了上述的定義和性質以外，條件機率也可用來
求非條件下的機率，我們由定義可推得：
P(A B)  P( A | B )  P(B)
因此只要知道 P(A|B) 和 P(B) 也可導出 P(A  B)
同理， P(B A)  P(BA)P(A)，再由上式可得：
P(AB) 
P(BA)P(A)
P(B)
條件機率
例題演練
1.假設生男生女的機會皆為 1/2，若一家庭中有兩
個小孩，則分別求給定下列條件下，兩個小孩皆
為男孩的條件機率：
(a)給定較大的小孩是男孩下；
(b)給定至少有一男孩下。
條件機率
詳解
令 A 為較小的小孩為男孩的事件。
B 為較大的小孩為男孩的事件。
A  B 為至少有一小孩為男孩之事件。
A  B 為兩個小孩皆為男孩之事件。
(a)則給定較大的小孩為男孩下，兩個小孩皆為
男孩的機率是：
P( A  B) 1 / 4 1
P( A  B B) 


P( B)
1/ 2 2
條件機率
(b)給定至少有一小孩為男孩之下，兩個小孩
皆為男孩的機率是：
P(A  B) 1/4 1
P(A  B A  B) 


P(A  B) 3/4 3
條件機率
例題演練
2.
某燈泡公司有北、中、南三廠，產量比率
分別為30﹪、30﹪、40﹪，而各廠產品之不良
率分別為 1.2﹪、0.9﹪、0.8﹪，現在將各廠
之產品堆放在一起，並從中任意挑選一個，經
過檢驗為不合格，請問此不良品來自北廠的機
率是多少？
條件機率
詳解
令 A 表來自北廠且為不良品的事件
B 表來自中廠且為不良品的事件
C 表來自南廠且為不良品的事件
所以
P(A) =
30 1.2

100 100
P(C) =
40 0.8

。
100 100
, P(B) =
條件機率
30 0.9

100 100
,
所求為給定產品為不良品之下，其來自北廠的機率：
P(產品來自北廠|產品為不良品)


P(產品來自北廠 產品為不良品)
P(產品為不良品)
P(A)
P(A) P(B)  P(C)

30 1.2

100 100
30 1.2 30 0.9 40 0.8





100 100 100 100 100 100
條件機率
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