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一、中考动态
纵观近年全国中考试题，操作型问题已逐渐成为中
考热点之一。
1、三年中考数据分析表（不完全统计）：
年 份
试卷数
2005年
72份
有操作问题的试卷
数
23题
操作问题的试卷所占比
例
33％
2006年
94份
46题
49％
2007年
96份
63题
65％
2、为什么实验操作题如此备受青睐？
随着新课程的实施，考试内容不仅仅关注“基
础知识与基本技能”，还把“数学活动过程”、
“数学思考”和“解决问题”作为考查的主要方面。
数学学业考查，非常关注以下四个方面：
（1）能否通过不同的方式探索研究对象的有关性质——包括观察、折叠、
变换、图形的分解与组合、逻辑推演等。
（2）能否在自己的头脑里进行数学实验——借助图形、想象和逻辑推演
从事几何对象的各种“操作”。
（3）能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并证明猜
想的正确性。
（4）能否积极有效地观察所探索的对象——通过对若干具体情况的观察
而发现存在于探索对象背后的数学现象。
由此可见，数学试题在“知识立意”、“能力立意”
基础上加入“过程立意”。
操作问题能让学生经历观察、操作、实验、猜想、
验证的探究过程，可以有效地培养学生的动手能力，
发展学生的空间观念，和理性精神，为考查学生观察、
实验、归纳、探索、推理论证能力提供了平台。
操作问题“易入手，难深入”的特点为考查不同层
次的学生的学习风格、学习状况和思维水平提供了平
台。
二、问题分类解析
（一）基本作图和格点作图
尺规作图统领作图题的局面，近年有所改变。其他
工具作图、格点作图问题，提供了一个问题情景，要求
学生自主选择所学知识解决问题，具有很大的思考空间，
能够有效地考查学生的实践能力和解决问题的能力。
例1 作∠AOB的平分线。
（1）给你一把带有刻度的直尺，你能作出图1中∠AOB的
平分线吗？请写出三种方法。并以其中一种作法为例，说
明理由。
（2）如果只有一把没有刻度的直尺，你又如何作图2中
∠AOB的平分线呢？
（3）如图3，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正
方形，∠AOB画在方格纸上，请作出∠AOB的平分线。
A
O
B
图1
A
O
B
图2
图3
思路点拨：
（1）中的有刻度直尺可以量、可以作直线的平行线。所以
可以用全等三角形、等腰三角形的知识解决问题。（如图4、
5、6）
（2）中的直尺没有刻度，故只能作平行线，所以作OA、
OB的平行线交于点P，作射线OP即可。因为OMPN是菱形。
（如图7）
B
B
N A
M
R
P
图4
B
M
M
O
B
P
M
N
P
P
O
S
图5
N A
O
A
图6
O
N
图7
A
（3）在图8中OA＝OB，可以找到P1、P2、P3到A、B
的距离相等，由全等的知识可知作射线OP，则OP平分
∠AOB。
图8
例2正方形网格中，小格的顶点叫做格点。小华
按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的
实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一
条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角
形。小华在左边的正方形网格中作出了Rt⊿ABC
。请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网
格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的
直角三角形互不全等。
例3.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都
是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点
分别按下列要求画三角形：
（1）使三角形的三边长分别为3、2 2、5 （在图
（1）中画一个即可）；
（2）使三角形为钝角三角形且面积为4（在图
（2）中画一个即可）。
二、展开与折叠
折叠和展开是认识、研究立体图形的一个重要
方法。折叠和展开是一个互逆的操作过程过程，解
决这类问题可以直接操作，也可以通过头脑想象操
作的过程（思维实验），从而解决问题。
例4.如图，是一个正方体的展开图，每个面内
都标注了字母，则展开前与面E相对的是
（
）．
（A）面A
（B）面B
（C）面C
（D）面D
例5.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿
着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展
开后得到的平面图形是（ ）．
（A）矩形
（B）三角形
（C）梯形
（D）菱形
例6 图①是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而
成的，过点 A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，
MN与CC2交于点G,且图①被直线
MN
分成面积相等的
1
1
上、下两部分。（1）求 MB  NB的值；（2）求MB
、NB的长；（3）将图①沿虚线折成一个无盖的正
方体纸盒（图②）后，求两点M、N间的距离。
E
C
D
A
B
B1
F
C2
D2
A1
M
D1
图①
C1
A
C
D
B
N
G
A1
D1
图②
B1
M
C1
C
N
B
图②中BN等于图①中的EN的长，
所以
C1
M
B1
3 5
BN＝EN＝ 2
＝ B1 M ，所以 MN＝1。
三、几何变换
翻折、平移和旋转是基本的全等变换，题目条件的
给出简单，但隐含的信息较多，解决这类问题，要帮助
学生理清基本关系，抓住问题的本质，归纳一般的规律。
解题时需要我们把计算、推理与合情想象有机结合起来。
例7.如图，矩形A1BlC1D1沿EF折叠，使B1点落在A1D1边上的B
处；沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点，
（1）求证：四边形BEFG是平行四边形；
（2）连结B1B；判断△B1BG的形状，并写出判断过程。
例8.如图20，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B
为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的
任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在
圆的切线，交边DC于点F，G为切点：
（1）当∠DEF＝45º时，求证：点G为线段EF的中点；
（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并
写出函数的定义域；
（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D／EF，如图，当EF
＝时，讨论△AD／D与△ED／F是否相似，如果相似，请
加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出
理由。
E
A
D
M
D/
B
F
C
E
A
D
M
D/
B
F
C
1
当 AE＝ x  2 时，∠ADD／＝∠DFE＝∠D／FE。AE
＝ED＝ED／，∠AD／D＝∠ED／F＝90°也可以通过证明
1
DD / FD /
／
／
x  时，

。故△AD
D∽△ED
F；当
AE＝
3
DA
FE
类似地研究。
例9.已知矩形ABCD的长AB=4,宽AD=3,按如图放置在直线
AP上,然后不滑动地转动,当它转动一周时( A到A/),顶点A所
经过的路线长等于
。
例10.如图，正三角形ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心，
且点B在扇形内，要使扇形ODE绕点O无论怎样转动， 1
△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的，扇
3
形的圆心角应为多少度？说明你的理由．
四、图形割补
分割图形和图形的重新组合问题由于
解题策略多样，方法多样，剪裁线的不定
性，使得组合图形变得多姿多彩，分割和
组合其实是思考的结果，理性的思考是解
题的关键。解决问题的方法有实验法、分
析法、类比法、联想法和验证法。
例11.已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠A=360，
仿照图（1），请你再设计两种不同的分法，将
△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等
腰三角形，（图（2）、图（3）供画图用，作图
工具不限，不要求写出画法，不要求证明；要求
标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）
A
A
A
360
360
360
1080
360 360
B
360
360 1080 720 720
图（1）
C
B
C
图（2）
B
C
图（3）
A
B
C
B
C
A
A
B
A
A
C
B
C
B
C
例12.如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割
成两个全等图形，例如图1。请在下图中，沿着虚
线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图
形分割成两个全等图形。
例13.现有一块形如母子正方形的板材，木工师傅
想先把它分割成几块，然后适当拼接，制成某种
特殊形状的板面（要求板材不能有剩余，拼接时
不重叠、无空隙），请你按下列要求，帮助木工
师傅分别设计一种方案：
（1）板面形状为非正方形的中心对称图形；
（2）板面形状为等腰梯形；
（3）板面形状为正方形。
请在方格纸中的图形上画出分割线，在相应的下
边的方格纸上面拼接后的图形。
（1）
（2）
（3）
五、图案设计
完成方案和图案设计问题的关键是看清要
求，大胆思索，仔细验证。
例14.请你在下面3个网格（两相邻格点的距离均
为1个单位长度）内，分别设计1个图案，要求:
在⑴中所设计的图案是面积等于 的轴对称图形；
3
在⑵中所设计的图案是面积等于2
的中心对称
3
图形；在⑶中所设计的图案既是轴对称图形又是
中心对称图形，并且面积等于3
．将你设计的
3
图案用铅笔涂黑．
⑴
⑵
⑶
例15 在一次实践活动中，某课题学习小组用测角
器、皮尺测量旗杆高度，他们设计了如下方案：
（1）在测点A处安置了测角仪器，测得旗杆的顶
部M的仰角∠MCE＝  ；
（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝ m；
（3）量出测角仪器的高度AC＝ h 。根据上述条
件测量数据，即可求出旗杆的高度MN。
M
C
A
E
N
例15 在一次实践活动中，某课题学习小组用测角
器、皮尺测量旗杆高度，他们设计了如下方案：
（1）在测点A处安置了测角仪器，测得旗杆的顶
部M的仰角∠MCE＝  ；
（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝ m；
（3）量出测角仪器的高度AC＝ h 。根据上述条
件测量数据，即可求出旗杆的高度MN。
M
C
A
E
N
如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量
某小山高度的方案：
（1）在图35中画出测量小山高度MN的示意图（添上适当
的字母）；
（2）写出你设计的方案。
M
N
M
C
D
A
B
E
N
量出 AB＝m，∠MCD＝  ，∠MDE＝  ，AC＝n，
可以求出 MN 
m tan  tan 
n。
tan   tan 
M
C
E
D
B
N
A
量出 AB＝BC＝m，∠MBD＝  ，∠MCE＝  ，可求
出
2m tan   m tan 
MN＝ tan   tan 
。
六、操作探究
操作探究题通过提供实验操作的情境，让学
生探索图形变化过程中，线段、角、三角形的位
置或数量之间的关系。这类问题已成为几何综合
的一个亮点和方向，它能考查学生综合应用代数、
几何知识解决问题的能力，能考查学生对方程、
函数、数形结合等数学思想的领悟情况。这里操
作是理解题意的重要措施，正确作图是解题的关
键，认真分析、大胆猜想、小心求证是解题的核
心。
例16 操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，
将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的
中点P处。将三角板绕P点旋转，三角板的两直角
边分别交射线AC，CB于D、E两点。图38、39、40
是旋转三角板得到的图形中的3种。
探究：
（1）三角板绕P点旋转，观察线段PD和PE之间有
什么大小关系？它们的大小关系是
，
并以图39为例，加以证明。
A
A
P
P
D
A
A
M
P
D
C
E
B
C
E B
C
D
B
E
C
B
（2）三角板绕P点旋转。△PBE是否能成为等腰
三角形？若能，指出所有情况（即求出CE的长）；
若不能，请说明理由。
（3）若将三角板放在斜边AB上的M处，且AM：MB
＝1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间
又有什么关系？请直接写出结论，不必证明（图
4供操作用）。结论为
。
A
P
E B
A
M
P
C
D
B
E
C
B