Transcript 动态几何问题

第6时
几何动态问题的解法
一棵草的春天
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第6课时
几何动态问题的解法
知
考
基
能
识
点
础
力
归
例
训
训
纳
析
练
练
点动、线动、图形动构成的问题称为几何动态问题．这
类问题的特征是以几何图形为载体，运动变化为主线，集多
个知识点、多种解题思想于一题，它综合性强，能力要求
高．它的特点是：问题背景是特殊图形(或函数图象)，把握好
一般与特殊的关系；在分析过程中，要特别关注图形的特性
(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置)．近几年来动点
问题一直是中考的热点，主要考查探究运动中一些特殊图形
(等腰三角形、直角三角形、平行四边形、梯形)的性质或面积
的最大值．解题策略是：把握运动规律，寻找运动中的特殊
位置，在“动”中求“静”，在“静”中探索“动”的一般
规律.
考查点运动的问题
5 2 17
(2011广东)如图，抛物线 y＝－4x ＋ 4 x＋1 与y轴
交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B.过点B作BC⊥x
轴，垂足为点C(3,0)．
(1)求直线AB的函数关系式；
(2)动点P在线段OC上从原点O出发以每秒一个单位的速
度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线
于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t
的函数关系式，并写出t的取值范围；
(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与
点O、点C的重合的情况)，连接CM、
BN.当t为何值时，四边形BCMN为平行
四边形？问对于所求的t值，平行四边
形BCMN是否为菱形？请说明理由．
分析：(1)先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法
求出直线AB的函数关系式；(2)由于点M、N的横坐标为已
知t，利用函数关系式可求出它们的纵坐标，利用数形结合
思想可知点M、N到x轴的距离．从而建立函数关系；(3)因
为MN∥BC，所以要使四边形BCMN为平行四边形，就必须
满足MN＝BC，利用等量关系建立方程，从而解决问题．
5 2 17
解析：(1)将 x＝0 代入 y＝－ x ＋ x＋1，得 y＝1，
4
4
∴点 A 的坐标为(0,1)．
5 2 17
5
将 x＝3 代入 y＝－ x ＋ x＋1，得 y＝ ，
4
4
2
5
∴点 B 的坐标为(3， ).
2
设直线 AB 的函数关系式为 y＝kx＋b，
1＝b


分别代入点 A、点 B 的坐标得
5
3k＋b＝


2
1
∴直线 AB 的函数关系式为 y＝ x＋1.
2
1

k＝
2
解得

b＝1
(2)因点 P 运动的时间为 t 秒，
1
故点 P、M、N 的横坐标都为 t，将 x＝t 代入 y＝ ＋1.
2
1
1
得 y＝ t＋1∴PM＝ t＋1.
2
2
5 2 17
将 x＝t 代入 y＝－ x ＋ x＋1.
4
4
5 2 17
∴PN＝－ t ＋ t＋1.
4
4
5 2 17
1
∴s＝MN＝PN－PM＝(－ t ＋ t＋1)－( t＋1)
4
4
2
5 2 15
＝－ t ＋ t
4
4
即 s 与 t 的函数关系式为：
5 2 15
s＝－ t ＋ t(0≤t≤3)
4
4
(3)∵MN∥BC
∴若四边形 BCMN 为平行四边形，则还须 MN＝BC.
5
5
15
由(1)、(2)知 BC＝ ，MN＝－ t2 ＋ t.
2
4
4
5
15 5
因而有－ t2 ＋ t＝ ，解得 t1 ＝1，t2 ＝2.
4
4
2
故当 t＝1 或 2 时，四边形 BCMN 为平行四边形.
①当 t1 ＝1 时，
1
3
∵OP＝1，PC＝3－1＝2，PM＝ ×1＋1＝ ，
2
2
2
2
∴MC＝ PC ＋PM ＝
3 2 5
2
2 ＋  ＝ ＝BC.
2
2
故平行四边形 BCMN 是菱形.
②当 t2 ＝2 时，
1
∵OP＝2，PC＝3－2＝1，PM＝ ×2＋1＝2
2
5
∴MC＝ PC ＋PM ＝ 1 ＋2 ＝ 5≠ ＝BC.
2
2
2
2
2
故平行四边形 BCMN 不是菱形.
点评：动点问题往往会把匀速运动相联系，本题是以
抛物线为背景，把点的纵坐标(或横坐标)与点到x轴(或y轴)
的距离联系起来．注意数形结合．
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6
cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿AB边向点B
以1 cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边
向点C以2 cm/s的速度移动．如果P、Q分别从
A、B同时出发，则经过________秒时，PQ有
最小值，并且这个最小值为________．
6 12
5
5 5
考查图形运动的问题
如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，
BC＝4
，另有一等腰梯形DEFG(GF∥DE)的底边DE与BC
2
重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的
中点．
(1)求等腰梯形DEFG的面积．
(2)固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速
度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动
时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′(如图2)．在运动过
程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；
若不能，请说明理由．
(3)设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分
的面积为y，求y与x的函数关系式．
分析：(1)作AM⊥BC于M，交GF于N.易求出等腰梯形
的面积为6；(2)由于在运动过程中，四边形BDG′G都为平
1
行四边形，只要满足BD＝BG＝ AB＝2时，它就是菱形；
2
(3)在运动过程中，重叠部分的图形有两种形状．先是等腰
梯形．后是等腰直角三角形．因此要进行分类．
解析：(1)作 AM⊥BC 于 M，交 GF 于 N，
1
则 AM＝ BC＝2 2，MN＝ 2.
2
1
∵GF 是△ABC 的中位线．∴GF＝ BC＝2 2.
2
1
∴S 梯形 DEFG ＝ ×(2 2＋4 2)× 2＝6.
2
(2)能为菱形．如图 2，由 BG∥DG′，GG′∥BC
∴四边形 BDG′G 是平行四边形．
1
当 BD＝BG＝ AB＝2 时，四边形 BDG′G 为菱形，
2
此时可求得 x＝2
∴当 x＝2 秒时，四边形 BDG′G 为菱形．
(3)分两种情况：①当 0≤x＜2 2时，
过点 G 作 GM′⊥BC 垂足为 M′，如图 3.
∵GM′＝ 2，∴S▱ BDG ′G ＝ 2x
∴重叠部分的面积为：y＝6－ 2x
∴当 0≤x＜2 2时，y 与 x 的函数关系式为
y＝6－ 2x.
②当 2 2≤x≤4 2时，设 FC 与 DG′交于点 P，如图 4.
则∠PDC＝∠PCD＝45°
∴∠CPD＝90°，PC＝PD
1
作 PQ⊥DC 于 Q，则 PQ＝DQ＝QC＝ (4 2－x)
2
∴重叠部分的面积为：
1
1
y＝ (4 2－x)× (4 2－x)
2
2
1
1
＝ (4 2－x)2 ＝ x2 －2 2x＋8
4
4
综上所述①②可知 y 与 x 的函数关系式为：
6－ 2x 0≤x＜2 2
y＝1 2
4x －2 2x＋8 2 2≤x≤4 2.
点评：图形运动往往把两图形在运动过程重叠部分的
面积相结合，此时要观察重叠部分图形的形状是否会发生改
变，若会发生改变．找出运动的位置．再进行分类解决．
一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4 3 ，点E
是折线段A－D－C上的一动点(点E与A不重合)，点P是点A
关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三
角形的点E的位置共有(
C
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
)
2．如图，在钝角△ABC中，
AB＝6 cm，AC＝12 cm动点D从
点A出发到点B止，动点E从点C
出发到点A止．点D运动的速度为
1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.
如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形
与△ABC相似时，运动的时间是(
A
)
A．3秒或4.8秒
B．3秒
C．4.5秒
D．4.5秒或4.8秒
3．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板
MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过
点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q.BP
＝x，CQ＝y，那么y与x之间的函数图象大致是(
D )
二、填空题
4．如图1，⊙O半径为5，弦AB长为8，点P为弦AB上
一动点，连接OP，则线段OP的最小长度是______．
3
5．如图2，∠ACB＝60°，半径为1 cm的⊙O切BC于点
C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切
时，圆心O移动的水平距离是____cm.
3
6．如图a，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且
DM＝2，N是AC上的一个动点，则DN＋MN的最小值是
________．
10
7．如图b，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边
形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A(10,0)，C(0,4)，点
D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的
(2,4)或(3,4)或(8,4)
等腰三角形时，点P的坐标为_________________．
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，
∠A＝90°，点P、Q分别是AB，AC上的一动
点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点．
(1)求证△PDQ是等腰直角三角形；
(2)当点P运动到什么位置时，四边形
APDQ是正方形，并说明理由．
解析：(1)证明：连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，
∠DAQ＝∠B.
∵BP＝AQ，
∴△BPD≌△AQD(SAS)．
∴PD＝QD，∠BDP＝∠ADQ.
∵∠BDP＋∠ADP＝90°，
∴∠ADQ＋∠ADP＝∠PDQ＝90°.
∴△PDQ为等腰直角三角形．
(2)当点 P 运动到 AB 的中点时，四边形 APDQ 是正方形．
理由：由(1)知，△ABD 为等腰直角三角形．
当点 P 为 AB 的中点时，DP⊥AB，即∠APD＝90°，
∵∠A＝90°，∠PDQ＝90°，
∴四边形 APDQ 为矩形．
1
∵DP＝AP＝ AB，
2
∴四边形 APDQ 为正方形．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.
半径为1的圆的圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向
在AC上移动，设移动时间为t(单位：s)．
(S1)当t为何值时，⊙P与AB相切；
(2)作PD⊥AC交AB于点D，如果⊙P和线段BC交于点
E，证明当t＝
16
s时，四边形PDBE为平行四边形．
5
解析：(1)当⊙P 在移动中与 AB 相切时，
设切点为 M，连 PM，则∠AMP＝90°.
AP PM
∴△APM∽△ABC.∴ ＝
.
AB BC
∵AP＝t，AB＝ AC2 ＋BC2＝5，
t 1
5
∴ ＝ .∴t＝ .
5 3
3
(2)∵BC⊥AC，PD⊥AC，
∴BC∥DP.
16
16
当 t＝
s 时，AP＝ .
5
5
16 4
∴PC＝4－ ＝ .
5 5
2
2
∴EC＝ PE －PC ＝
42 3
1 －  ＝ .
5
5
2
3 12
∴BE＝BC－EC＝3－ ＝ .
5 5
PD AP
∵△ADP∽△ABC，∴ ＝ .
BC AC
16
PD 5
12
∴ ＝ ，∴PD＝ .
3
4
5
16
∴PD＝BE.∴当 t＝ s 时，四边形 PDBE 为平行四边形．
5
10.如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B＝60°.从
初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速
度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿
A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同
时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重
叠部分的面积为y平方厘米(这里规定：点和线段是面积为0的
三角形)，解答下列问题：
(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是____秒；
(2)点P、Q从开始运动到停止的过
程中，当△APQ是等边三角形时x的值
是____秒；
(3)求y与x之间的函数关系式．
(1)6 (2)8
32
(3)解：①当 0≤x＜3 时. y＝ x
2
32
②当 3≤x＜6 时．y＝－ x ＋3 3x.
2
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③当 6≤x≤9 时．y＝－ x ＋
x－15 3.
6
2