等积变形中的面积重叠问题
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等积变形中的面积重叠问题
首都师范大学数学科学学院
(100048)
周春荔
在图形问题中,已知图形面积经常出现重叠部分,
巧妙地运用面积重叠部分,对我们解题是有益的，
并往往产生妙趣横生、引人入胜的效果。
（I）两个面积相等的图形叠放在一起，则这两个图
形在重叠之外的部分的面积相等。
（I）的图示
覆盖中有重叠，数量关系有趣
（II）设k个小图形面积
之和为S，将这k个小图
形放入一个面积恰为S
的大图形内（这k个小
图形没有同时3个重叠
的部分），则在面积为
S的大图形内未被盖住
部分面积之和，等于k
个小图形重叠部分的面
积。
（II）的图示
例1. △ABC的面积为1,中线BM, CN
相交于G. 求△BGC的面积.
注意看图！
陈省身爷爷说：数学好玩！
解: △ABM与△CAN的面积都等于0.5.
其面积和等于△ABC的面积1. 因此，没
盖住的△BCG
的面积就等于重叠部分ANGM的面积.
连接AG，设△AGN面积为x, △AGM面
积为y. 则
1
1
2x y
2
, x 2y
2
.
于是得x+y=1/3。
即ANGM的面积等于1/3，也就是
△BGC的面积等于1/3.
仰望天空，脚踏实地。
例2. 如图梯形ABCD 中，
AB//DC.绿色三角形的
看图：
面积是14平方厘米，红
色部分的面积是29.5平
方厘米。问：黄色三角
形的面积是多少平方厘
米？
答：黄色三角形的面
积是15.5平方厘米。
答：涂红色两块图形的面积大。
例3.右图所示为一个长方
形. AE:ED=9:5,
BF:FC=7:4.
问：涂红色的两块图形
的面积与涂蓝色的两块
图形的面积相比较，哪
个大?
请说明理由.
美丽花瓣中的数学问题
例4. 右图是一个对称的
图形（由分别与一个大
圆相切的四个共点的小
的等圆组成），问黑色
部分面积大还是阴影部
分面积大？
答：一样大。
理由：因为是对称图形，四个小圆半径相等，
且恰好是大圆半径的一半。这样，每个小圆
面积等于大圆面积的1/4，四个小圆面积之和
正好等于大圆面积。
阴影部分是四个小圆相重迭的部分，而黑色
部份则是由于重迭而空余出来的部分，所以
这两部份面积相等。
数学思维是美妙的
右图是一个园林的规
划图，其中，正方形
的3/4是草地；圆的
6/7是竹林；竹林比
草地多占地450平方
米.问：水池占地多
少平方米?
答：水池占地150平方米。
解：把水池的面积作为1个单位，那么草地的面积
便是3个单位，而竹林面积是6个单位。（这是由于
把正方形面积分作4等分时，草地占3份而水池占l份；
同理，把圆面积分成7等份时，竹林占6份而水池占
1份）。从而竹林比草地多出的面积，是6－3＝3个
单位。3个单位的面积是450平方米，可见1个单位
的面积是450÷3＝150平方米，这就回答了题中所
问的问题。
六角形的花瓣，美妙的思维，简洁的答案
例6．如图所示, 在面积为S
平方厘米的圆O中, 有一个
内接的正六边形ABCDEF,
其面积为S0。阴影部分是
以该正六边形的3个顶点B、
D、F为圆心，正六边形边
长为半径的圆弧围成，求阴
影部分的面积等于多少平方
厘米?
想一想，你观察到其中的奥妙了吗？
提示：分别以B、D、F为圆心，正六边形边
长为半径的圆扇形，其面积都是圆O面积的
1/3。三个扇形总面积等于圆O的面积S，并
且重叠覆盖在圆O内部。阴影花瓣为重叠部
分，面积为S0的六边形外的六个弓形是未被
盖住的部分。根据面积重叠原理Ⅱ，阴影花
瓣部分的面积等于S-S0平方厘米。
想一想，试变条件作推广。
思考：如图所示, 在面积为
S平方厘米的圆O中,有一个内
接的正六边形ABCDEF,其面
积为S0。阴影部分是以该正
六边形的6个顶点为圆心，正
六边形边长为半径的圆弧围
成，求阴影部分的面积等于多
少平方厘米?
（答: 等于2S-2S0平方厘米）。
例7．点E和F分别是正方
形ABCD的边BC和CD的
中点。线段AE和BF交于
点K。问三角形AKF与四
边形KECF的面积哪个大？
答：三角形AKF的面积
大。
提示：△PBM、△QMN、△RNC面积之和与长方形
EBCF的面积相等，都等于60平方厘米。所以没重叠
的部分面积相等。易知等于15平方厘米。
例8. 长方形ABCD的面
积为120平方厘米.EF是一
组对边AB、CD的中点连
线. M、N是BC边上两点，
P、Q、R为AD边上的点。
试求图中4块阴影面积的总
和是多少平方厘米？
例9．如图所示长方形ABCD的面积为120平方
厘米. 四边形OEFG的面积是9平方厘米。试求
图中3块阴影图形的总面积。
提示：△AFC、△DBF
面积之和为60平方厘米.
中间有重叠部分四边形
OEFG的面积是9平方
厘米。所以图中非阴影
部分面积为60-9=51平
方厘米。因此图中3块
阴影图形的总面积为69
平方厘米。
数学是锻炼思维的健美操
例10. 如图，圆O中直
径AB与CD互相垂直.
AB=10厘米。以C为圆
心，CA为半径画
得 AEB . 则月牙形（阴
影部分）的面积是 平
方厘米.
答：月牙形的面积是25平方厘米.
1
52
2
理由：半圆的面积=
平方厘米。
△ABC的面积=25平方厘米. 所以AC2=50.
扇形 C AEBC 的面积= 半圆ABD的面积。
根据面积重叠原理（I）可知：
月牙形（阴影部分）的面积=△ABC的面积
=25平方厘米.
数学是理性思维的演练场
例11.如图正方形面
积为16平方厘米.A
点在矩形DEGF的边
EF上,G点在BC上.
若FG与AB交于点P,
求△PAF与△PBG
面积之差是多少平方
厘米?
答： △PAF与△PBG 面积之差是
2.16平方厘米
提示: 连接AG.易知正方形ABCD边长为
4厘米. △ADG面积为8平方厘米.
也就是矩形DEGF的面积为16平方厘米.
16
所以 DE 5 3.2 厘米.
可以求得AE=2.4厘米, CG=3厘米.
由重叠原理, 知S① + S③ = S② + S④.
所以 S① - S② = S④ - S③.
而 S④=6平方厘米, S③=3.84平方厘米.
所以 S① - S② = S④ - S③=6-3.84=2.16平
方厘米.
例12．如右图所示, 是一个正方形，几块
阴影部分的面积如图所示，则四边形的面
积为____。
答.24.
解：假设是“房间”，是“地
毯”.
因为△AND面积=△CDM面积
=0.5×ABCD的面积，如果这
两个地毯不重叠，它们完全可
以覆盖房间.因此，重叠部分
的面积即等于未被覆盖表面的
面积，即DPQR面积= △APM
面积+？面积+ △CRN面积，
所以，
“？面积”=51-15-12=24.
数学是个好东西，社会主义需要数学
例13. 在面积是1的正方
形ABCD中, 如图, E为BC
上一点,BE=2CE , F为CD
上一点, CF=2DF，连接
AE，AF分别交BD于M，
N. 试求两个阴影三角形
面积的和.
1
解：易知，△ABE的面积= 3 ，△ADF的面积=
1
.
6
1
△ABD的面积= 2 . 显然，△ABE的面积与△ADF的面积
之和等于△ABD的面积，由覆盖重叠原理可知，两个阴影
部分三角形面积的和，等于△AMN的面积.
因此，要求两个阴影三角形面积的和，只需求出△AMN
的面积即可.而要求△AMN的面积，只需计算出MN：BD就可以了.
1
为此，连接BF，DE.△ABF的面积与△ADE 的面积都等于2 .
1
BM SABE 3 2
，所以 BM 2 .
由于
MD SADE 1 3
BD 5
2
所以 BD 4 . 。因此 BD 1 5 4 20 .
所以 SAMN SABD 20 2 20 40 .
阴影三角形面积的和= 40 .
DN
1
MN
7
2
1
7
7
1
7
1
DN S ADF 6 1 ，
BN S ABF 1 3
2
7
也就是，题图中两个
数学是打开科学大门的钥匙
例14. 如图，半径为5厘米
的大圆内有半径为3厘米
和4厘米的两个小圆.两个
小圆与大圆都只有一个公
共点，分别是P和Q. 如果
两个小圆相交部分的面积
为15平方厘米，阴影（甲）
的面积为7平方厘米，则
阴影（乙）的面积为多少
平方厘米.
答：阴影（乙）的面积为8平方厘米.
解：大圆面积是 25 平方厘米，两个小圆面积
和为 32 42 9 16 25 ，
即大圆面积等于内部的两个小圆面积之和，
所以，两个小圆相交重叠部分的面积（15）
等于阴影（甲）、（乙）面积之和，由于阴
影（甲）的面积为7平方厘米，因此阴影（乙）
的面积为15-7=8平方厘米.
例15. P是长方形ABCD内一点，三角形
PAB的面积等于5，三角形PBC的面积等
于13.问三角形PBD的面积是多少？
看一看，想一想，思维长翅膀
例16. 如图，已知凸四边
形ABCD中，边AB和
CD的中点为M和N，
BC与AD的中点为P和Q，
AN、CM、BQ、DP的
交成四边形WXYZ.证明：
四边形WXYZ
的面积等于四个小三角
形的面积之和.
证明，就是精准简练的实话实说
例17.如右图，已知凸
四边形ABCD中，边AB
和CD的中点为K和M，
BM与CK的交点为P，
AM与DK的交点为Q.证
明三角形BPC与三角形
AQD的面积之和等于四
边形MQKP的面积.
请先积极、独立地思考
例18.ABCD为任意四边形，
M, N分别为
AD, BC中点，MB交AN于
P; MC交DN于Q. 若四边形
ABCD的面积为150，四边
形MPNQ的面积是50，求：
四个三角形APM，DQM，
BPN和CQN的面积和是多
少?
(第8届华杯赛总决赛一试试题)
遇到困难可看下面的解答
图中辅助线是本题最简单的证法
例19. 凸四边形ABCD的两组
对边中点连线EF, GH相交
于O.求证: 两块红色四边形
的总面积=四边形ABCD面
积的一半。
如何证，自己想，试试你的分析能力
例20. 凸四边形ABCD的
两组对边中点连线EF,
GH相交于O.连接AH，
CG分别交EF与M，N. 则
（1） SMOH SNOG SAEM SCFN .
（2） S AMOG SCNOH SBGNF SDHME .
答：三角形PQR的面积是1/7。
1
1
1
AF AB, BD BC , CE CA.
3
3
3
例21.如图 ABC 中，若
S ABC 1 ，求 PQR 的面积.
这样添线〉
答：三角形PQR的面积是81/560
例22.如图 ABC
1
1
1
AB, BD BC , CE CA.
2
3
6
中，
若 S ABC 1 ，求 PQR 的面积.
AF
注意：分步解题，步
步细心，最后综合，
可得解答。
此题设计精巧，试试你的身手
例23. 过△ABC内部的一
点O引平行于各边的线
段AA1，BB1，CC1分
△ABC为四个三角形和
三个四边形，如图所示.
证明：分别以A，B，C
为顶点的三个阴影三角
形的面积之和等于第四
个阴影三角形的面积.
独立解答此题，理应没有问题
例24. 如图所示，平行四
边形ABCD的面积为24
平方厘米.△ADM与
△BCN的面积之和为
7.8平方厘米，求阴影
四边形FMON的面积是
多少平方厘米？
(第13届华杯赛决赛试题)
答：六边形A1B1C1D1E1F1的面积是670平方厘米
例25.一个六边形ABCDEF
的面积是2010平方厘米。
已知△ABC，△BCD，
△CDE，△DEF，△EFA，
△FAB的面积都等于335平
方厘米。又图中6个阴影三
角形面积之和为670平方厘
米。则六边形
A1B1C1D1E1F1的面积是
平方厘米。
(第15届华杯赛决赛小学A卷试题13)
答：S
S A1B1C1D1E1F1
ABCDEF
例26. 右图中, △ABC，△BCD，
△CDE， △DEF，△EFA，
△FAB的面积之和等于六边形
ABCDEF的面积. 又图中的6个
阴影三角形面积之和等于六边
形ABCDEF的面积的. 求六边
形A1B1C1D1E1F1的面积与六边
形ABCDEF的面积之比.
(第15届华杯赛决赛小学A卷试题13)
1
.
3
答：41cm2.
例27. 梯形ABCD的面
积是100cm2, AE=BF，
CE与BF相交于O，若
SDOE SCOF 18 cm2,
则 SDAE SEOF SFBC
cm2.
（2009“数学解题能力展示” 初一年级初试8题）
试试你的分析问题的能力
（第26届莫斯科数学竞赛试题，1963）
要仔细分析图形中的数量关系
历史名题，值得学习
希波克拉底的“月形”定
理
例29．如图所示，在
以AB为直径的半圆上
取一点C，分别以AC和
BC为直径在ABC外作
半圆AEC和BFC.请你
证明图中两个弯月型
（阴影部分）AEC和
BFC的面积等于直角
ABC的面积。
图形的精巧，思维的简洁，构成数学的美
例30．在长方形ABCD
中，BF=AE=3厘米，
DE=6厘米。三角形
GEC的面积是20平方厘
米，三角形GFD的面积
是16平方厘米。那么，
长方形ABCD的面积是
多少平方厘米？
（第九届华杯赛总决赛二试初一组第2题）
答：长方形ABCD的面积是54平方厘米
祝同学们暑假快乐，身体健康！
再
见