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棱柱、棱锥的侧面积与体积
要点·疑点·考点
课 前 热 身
能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
一、棱柱
1.设直棱柱的底面周长为c,高是h,侧面积为S 柱 ,
则S柱=ch
2.设斜棱柱的直截面的周长为c,侧棱长为l,侧面
积为S斜,则S斜=cl
3.设棱柱底面积为S,高为h则体积V=S
二、棱锥
1.设正棱锥的底面周长为c,斜高为h′,则它
1
的侧面积S锥侧= ch
2
1
2.设棱锥底面积为S,高为h,则其体积V= Sh
3
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课 前 热 身
1.设棱锥的底面面积为8cm2,那么这个棱锥的中截面
(过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( C )
(A)4cm2
(B)2 2 cm2
(C)2cm2
(D) 2cm2
2.若一个锥体被平行于底面的平面所截,若截面面积
是底面面积的四分之一,则锥体被截面截得的一个小
锥与原棱锥体积之比为(
C
)
(A)1 : 4
(B) 1 : 3
(C) 1 : 8
(D) 1 : 7
3.设长方体三条棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱的
长度之和为24,一条对角线长度为5 ,体积为2,则
1 1 1
  等于(
a b c
1
1
(A)
4
11
(C)
2
A
)
4
(B)
11
2
(D)
11
4.斜三棱柱的一个侧面的面积为S,另一条侧棱到这个
侧面的距离是a,则这个三棱柱的体积是( C )
(A) 1 Sa
3
(C) 1 Sa
2
(B) 1 Sa
4
2
(D) Sa
3
5.在侧棱长为23,每个侧面的顶角均为40°的正三棱
锥P-ABC中,过A作截面分别交PB 、 PC于E 、 F,则
△AEF的最小周长是( A )
(A) 6
(B) 2 3
(C) 36
(D)
6
3
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能力·思维·方法
1.若一个斜棱柱A1B1C1—ABC的底面是等腰△ABC,
它的三边边长分别是AB=AC=10cm,BC=12cm,棱
柱的顶点A1 与A、 B 、 C三点等距,且侧棱AA1=13cm
,求此棱柱的全面积.
【解题回顾】求斜棱柱全面积的基本方法是求出各个侧面的面
积与底面积.本题求侧面积时也可以用直截面BCD的周长去乘
AA1而得到.
2.已知E,F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1
的棱A1A,CC1的中点,求四棱锥C1—B1EDF的体积.
【解题回顾】求多面体的体积的方法主要是:直
接法
(解法1)、分割法
(解法2)、补形法(解法3).
3.在三棱锥P-ABC中,PA 、 PB 、 PC两两成60°角,
PA=a,PB=b,PC=c,求三棱锥P-ABC的体积.
【解题回顾】(1)把A、B、C 中的任一个点作为顶点(其余三
点构成的三角形作为底面)是解题的关键,这说明改变几何
体的放置方式或改变对几何体的观察角度在解题中是十分重
要的.
(2)当a=b=c时,得到正四面体的体积是212a3.
(3) 若 在 PA 、 PB 、 PC 上 各 任 取 一 点 M 、 N 、 R , 设
PM=m,PN=n,PR=r,
则
VP - MNR mnr
容
易
证
VP - ABC abc
,这一结论与PA、PB、PC成多大的角无关.
明
4. 如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,BD∥
AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F为CD中点.
(1)求证:EF⊥面BCD;
(2)求多面体ABCDE的体积;
(3)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值.
【解题回顾】对于不规则几何体一定要能
识别其本质,本题的多面体实际上是倒着
的四棱锥.
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延伸·拓展
5.如图(甲),从三棱锥P-ABC的顶点P沿着三条侧棱PA
、PB、PC剪开成平面图形,得到 △P1P2P3(如图(乙))
,且P1P2=P2P3.
(1)在三棱锥P-ABC中,求证:PA⊥BC.
(2)若P1P2=26,P1P3=20,求三棱锥P-ABC的体积.
【 解 题 回 顾 】 本 例 的 (1) 来 源 于 课 本 , 后 成 为 1993 年 全
国 6 省 的 高 考 题 .(2) 来 源 于 1987 年 全 国 理 科 题 , 即 将 锥
体分割成两个有公共底,高在同一线段上的两个锥体.
因此本例实际上是将两年高考题有机地结合在一起.
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误解分析
1.求斜棱柱的全面积,除直截面周长乘侧棱长这个公式外,大
多采用逐一求出各表面面积,然后作和的方法,因此不要盲目
套什么公式,或在相加时,漏了上、下底面积
2.求三棱锥的体积非常灵活,有直接法、割补法、颠倒顶点法
等,不管用何种方法,一定要看清字母位置,更不能漏乘1/3.
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