Transcript 1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的
表面积
一．直棱柱的表面积
1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c
和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.
一．直棱柱的表面积
1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c
和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.
2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下
底面面积的和.
3.斜棱柱的侧面积，可以先求出每个侧面
的面积，然后求和，也可以用直截面周长
与侧棱长的乘积来求. 其中直截面就是和
棱垂直的截面.
如果斜棱柱的侧棱长为l，直截面的周长
为c’，则其侧面积的计算公式就是
S侧=c’·l.
二.正棱锥的表面积
1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜
高乘积的一半，即S正棱锥侧= 1 na·h’. 其中
2
a为底面正多边形的边长，底面周长为c，
斜高为h’，
h
a
h'
二.正棱锥的表面积
h
a
h'
二.正棱锥的表面积
1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜
高乘积的一半，即S正棱锥侧= 1 na·h’. 其中
2
a为底面正多边形的边长，底面周长为c，
斜高为h’，
h
a
h'
如上图，以正四棱锥为例简单推导计
算公式。由于正四棱锥的侧面展开图是一
些全等的等腰三角形，底面是正多边形，
若设它的底面边长为a，底面周长为4a，
斜高为h’，容易得到正四棱锥的侧面积计
1
1
算公式为S正四棱锥侧
=
·4a·h’=
ch’，
2
2
对于正n棱锥，其侧面积计算公式为
1
S正棱锥侧= 2 c·h’.
2．正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积
与底面积之和.
三. 正棱台的表面积
1
1．正棱台的侧面积是S= 2 (c+c’)·h’，其
中上底面的周长为c’，下底面的周长为c，
斜高为h’.
a'
h
a
h'
三. 正棱台的表面积
1
1．正棱台的侧面积是S= 2 (c+c’)·h’，其
中上底面的周长为c’，下底面的周长为c，
斜高为h’.
a'
h
a
h'
2．正棱台可以看作是用平行正棱锥底面
的平面截得的，因此正棱台的侧面展开图
是一些等腰梯形，
设正棱台上、下底面周长为c’，c，斜高
为h’，可得正棱台的侧面积
1
S正棱台侧= (c+c’)·h’。
2
3．正棱台的表面积等于它的侧面积与底
面积之和。
四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积
（1）将圆柱沿一条母线剪开后，展开图
是一个矩形，这个矩形的一边为母线，
另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱
底面半径为r，母线长为l，则侧面积
S圆柱侧=2πrl.
O`
O
（2）将圆锥沿一条母线剪开，展开在一
个平面上，其展开图是一个扇形，扇形
的半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥
底面圆的圆周，因此该扇形的圆心角
θ=
2 r
，r为圆锥底面半径，l为圆锥
l
的母线长，根据扇形面积公式可得：
1
S圆锥侧= ·2πr·l=πrl，其中l为圆锥母线长，
2
r为底面圆半径。
S

c=2  r
l
O
r
A
（3）圆台可以看成是用一个平行底面的
平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图
是一个扇环，设圆台上、下底半径为r、R，
母线长为l，
1
则S圆台侧=π(r+R)l= (c1+c2)l，其中r，R
2
分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为
上、下底面圆周长，l为圆台的母线。
S
c1
c2
O1
r
l
R
O2
五.球的表面积
球面面积（也就是球的表面积）等于它
的大圆面积的4倍，
即S球=4πR2，其中R为球的半径.
例1. 一个长方体的长、宽、高分别为5、
4、3，求它的表面积。
解：长方体的表面积
S=2(5×4+4×3+5×3)=94.
例2. 已知正四棱锥底面正方形长为4cm，
高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧
面积及全面积.（单位：cm2，精确到0.01 ）
P
解：正棱锥的高PO，斜
高PE，底面边心距OE
组成直角三角形。
因为OE=2，
∠OPE=30°，
D
C
E
O
A
B
所以斜高
OE
2
PE 

4
sin 30 0.5
因此S侧=
1
2
ch’=32(cm2)
P
S全=S侧+S底=48(cm2)
D
C
E
O
A
B
例3. 如图所示是一个容器的盖子，它是用
一个正四棱台和一个球焊接而成的。球的
半径为R，正四棱台的两底面边长分别为
3R和2.5R，斜高为0.6R；
（1）求这个容器盖子的表面积；
（2）若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂
料每0.4kg可以涂1m2，计算100个这样的盖
子涂色需涂料多少千克(精确到0.1kg)。
解：（1）因为
1
S正四棱台=4× ×(2.5R+3R)×0.6R
2
+(2.5R)2+(3R)2
=21.85R2.
S球=4πR2.
因此，这个盖子的全面
积为S全=(21.85+4π)R2.
（2）取R=2，π=3.14，得
S全=137.67cm2.
又 (137.67×100)÷10000×0.4≈0.6(kg)，
因此涂100个这样的盖子共需涂料0.6kg.
例4. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截
面，它们的面积分别为49πcm2和400π cm2,
求球的表面积.
解：由截面圆的面积分别
是49πcm2和400π cm2,
解得AO1=20cm，
BO2=7cm.
设OO1=x, 则OO2=x+9.
O2
O1
O
B
A
所以R2=x2+202=(x+9)2+72.
解得x=15(cm).
所以圆的半径R=25(cm).
所以S球=4πR2=2500π(cm2)
O2
O1
O
B
A
练习题：
1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全
等的小正方体，则表面积增加了（ B ）
（A）6a2
（B）12a2
（C）18a2
（D）24a2
2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是
正四面体的顶点，则正方体的表面积与此
正四面体的表面积的比值为（ B ）
（A） 2
（B） 3
6
（C）
2
（D） 3
3
3. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，
底面边长为a，该三棱锥的全面积是
（ A ）
3 3 2
（A） 4 a
3 2
（B） 4 a
3

3
（C）
a2
2
（D）( 3 
2
3 2
)a
4
4. 球内接正方体的表面积与球的表面积
的比为（ A ）
（A）2：π
（B）3：π
（C）4：π
（D）6：π
5. 已知正六棱台的上、下底面边长分别
是2 和4，高是2，则这个棱台的侧面积等
于
18 7
。