Transcript 立体几何备考的几点认识（韩映顺）

立体几何备考的几点认识
固原一中 韩映顺
[email protected]
一．《考试说明》的内容和要求
1.空间几何体（文理科通用）
（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并
能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱
柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示
的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．
（3）会用平行投影方法画出简单空间图形的三图视与直观
图，了解空间图形的不同表示形式．
（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式
（不要求记忆公式）．
2. 点、直线、平面之间的位置关系（文理科通用）
（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可
以作为推理依据的公理和定理：
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条
直线在此平面内．
◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们
有且只有一条过该点的公共直线．
◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．
◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这
两个角相等或互补．
（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理
解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．
◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．
理解以下性质定理，并能够证明：
◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直
线平行．
◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行．
◆垂直于同一个平面的两条直线平行．
◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
（3）能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
3．空间向量与立体几何（仅限于理科）
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其
意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数
量积判断向量的共线和垂直．
（4）理解直线的方向向量及平面的法向量．
（5）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关
系．
（6）能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一
些简单定理（包括三垂线定理）．
（7）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与
平面的夹角计算问题，了解空间向量方法在研究简单立体
几何问题中的作用．
4.能力要求
课标对能力的要求有7个，而立体几何至少可
以考察其中6个方面。
（1）空间想象能力 （2）抽象概括能
（3）推理论证能力 （4）运算求解能力
（5）创新意识
(6)应用意识
二．07年以来宁夏立体几何考题结构特点
文科
年
题
分
份
号
值
8
5
已知侧视图求体积
11
5
四面体内接于球，求体积比
18
12
四面体求棱长、探究垂直
12
5
线面关系判断
14
5
已知正六棱柱，求外接球体积
文理近
18
12
长方体截掉一角，画俯视图、求体积、证平行
文理同
8
5
判断正方体中线线、线面关系
文理同
11
5
已知三棱锥三视图求全面积
18
12
三棱锥中证线线垂直、求体积
7
5
已知内接长方体，求球的表面积
15
5
在已知五个几何体中写出正视图为一个三角形的
文理背景同
18
12
己知四棱锥，证面面垂直，求体积
文理背景同
07
08
09
10
•
内容
备注
文理同
探究题
理科
年份
07
08
09
10
题号
分值
内容
备注
8
5
已知侧视图求体积
文理同
12
5
两个棱锥拼柱
18
12
四面体证垂直、求二面角
12
5
14
5
已知正六棱柱，求外接球体积
18
12
求正方体中异面线角、线面角
8
5
判断正方体中线线、线面关系
文理同
11
5
已知三棱锥三视图求全面积
文理同
19
12
正四棱锥中证线线平行、求二面角、探究线面平行
探究题
10
5
已知内接正三棱柱，求球的表面积
14
5
写出正视图为一个三角形的三个几何体
18
12
己知四棱锥，证异面线垂直、求线面角
几何体一条棱在侧视图与俯视图中投影和的最大值 构造探究题
文理近
开放题
1．有两道小题（10分），单年份都是选择题，双年份选择
填空各一题。
2．有一道大题（12分），大都居18题位置，属爬坡题。有
2-3问，第一问往往是一两步就能证明的简单问题，第2-3
问拉开层次，区分度明显。
3．小题一道位置居中（7、8或14），一道位置居后（11、
12或15）
4．四年中都至少有一题考有关体积、面积的计算，且往往
与三视图结合。文科三年都有一题与几何体外接球有关。
5．理科解答题强调向量法
6． 立体几何在试卷中所占权重明显高于课时比例，（1.5：
1）。在考生数学成绩中起关键作用。（过不了10分很难
及格，过不了18分很难到120）
1．抓好基础
A
（1）基本图形
多面体(棱柱、
棱锥、棱台)
C
D
B
( 2 ) 基本量
,
（正）多面体：AB=h, BD=R, BC=r, AD=L, DC=
 ACB 是侧面与底面所成二面角的平面角，
 ADB是侧棱与底面所成角。。。。。。。
a
2
, AC=
h
/
r  l
• （3）基本关系
• 圆锥： 2r  l
H h r
• 台体：

h
R
(4)基本方法
①构造四边形、三角形把问题化为平面问题
②将空间图展开为平面图
③割补法
④等体积转化
⑤线线平行线面平行面面平行
⑥线线垂直线面垂直面面垂直
⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.
⑧从基本图形复原出长方体（平行六面体）
⑨坐标法
I
A
A
H
A
G
C
C
D
B
B
C
D
D
E
B
F
2．规范解题
（1）立体几何解答题强调“作、证、算”步骤.
（2）立体几何解题中的“一步”：一次作图、一
步证明、一次运算。
（3）一步证明：用一个定义或公理或定理做出一
次判断。要求判断（定义、公理、定理）的条件
应是充分的。
（4）步与步之间应按照一定的逻辑顺序相联结。
为了简洁，前次判断已用过的条件可不再列出。
平行步骤可不分先后。
（5）切忌几个定理揉在一起，直接给出判断。
3 ．关注变化
新课程对立体几何无论是教学内容的
编排还是教学能力的要求和传统的立体几
何教学相比都有较大变化。高考命题充分
考虑了这一变化。
（1）《课程标准》对“立体几何”的
要求是从空间几何体的整体观察入手，认
识空间图形；遵循从整体到局部，从具体
到抽象的原则，以长方体为载体，直观认
识和理解空间点，线，面的位置关系。在
《课程标准》中明 确提出，认识和探索几
何图形及其性质的主要方法是：直观感知，
操作确认，思辨论证，度量计算。
例1．（09宁夏文理8） 如图，正方体的棱线
长为1，线段上有两个动点E，F且 EF  2 ，
2
则下列结论中错误的是
（A） AC  BE （B） EF / /平面ABCD
（C）三棱锥的体积为定值
（D）异面直线所成的角
为定值
（2）由于《课程标准》对于立体几何的
推理论证部分在必修2中要求不高，另外，
由于整个义务教育阶段对几何的推理论证
能力的要求有所降低，与义务教育阶段衔
接的高中数学新课程这方面的教学要求自
然有所降低。在强调几何特征和方法的同
时更加强调基础知识与基本技能。文科尤
其如此。
例2．（2010宁夏文18）
如图，已知四棱锥 P  ABCD 的底面为等腰梯形，
AB∥CD, AC  BD ,垂足为H，PH是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面PAC  平面PBD；
（Ⅱ）若 AB= 6 , APB  ADB  60,求四棱锥的体积。
（3）《课程标准》明确指出：“能用向量的
方法解决线线，线面，面面的夹角问题，
体会向量方法在研究几何问题中的作用”。
因此，用空间向量的方法（或坐标法）处
理有关垂直、平行问题，解决角、距离计
算成为理科高考的一种普遍使用的方法，
综合方法退居其次。使特殊问题一般化。
理科大题向量法是最有效的方法。
例3．（08宁夏卷理18）如图，已知点P在正
方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，
∠PDA=60°
（1）求DP与CC1所成角的大小；
（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。
D_1
_
C_1
_
A_1
_
P
_
B_1
_
D
_
A
_
C
_
B
_
（4）改变设问方式，注重试题的开放性，
体现研究性学习方法，体现探究历程。
例4．（09宁夏理19）如图，在底面是菱形的四棱锥 P  ABCD
中 ABC  60 ，PA  AC  a ，PB  PD  2a ，点E在PD上，
且 PE : ED  2 : 1
（I）证明 PA  平面ABCD；
（II）求以 AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；
（Ⅲ）在棱上PC是否存在一点F，使BF// 平面AEC？证明你
的结论.
P
E
A
D
B
C
（5）操作与想象相结合，识图与作图相结合，
算理与推理相结合，努力改变传统殴氏几
何单一的推理模式，力求全方位、多角度
考察数学本质。
例5．（08宁夏理12）某几何体的一条棱长
为 7，在该几何体的正视图中，这条棱的
投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视
图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a
和b的线段，则a + b的最大值为（ ）
A. 2 2
B. 2 3 C. 4
D. 2 5
个人认识难免有误
不妥之处欢迎指正
谢谢！