立体几何备考的几点认识(韩映顺)
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Transcript 立体几何备考的几点认识(韩映顺)
立体几何备考的几点认识
固原一中 韩映顺
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一.《考试说明》的内容和要求
1.空间几何体(文理科通用)
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并
能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱
柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示
的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.
(3)会用平行投影方法画出简单空间图形的三图视与直观
图,了解空间图形的不同表示形式.
(4)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式
(不要求记忆公式).
2. 点、直线、平面之间的位置关系(文理科通用)
(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可
以作为推理依据的公理和定理:
◆公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条
直线在此平面内.
◆公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
◆公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们
有且只有一条过该点的公共直线.
◆公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这
两个角相等或互补.
(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理
解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直.
◆ 一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直.
理解以下性质定理,并能够证明:
◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直
线平行.
◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.
◆垂直于同一个平面的两条直线平行.
◆两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
(3)能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
3.空间向量与立体几何(仅限于理科)
(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其
意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数
量积判断向量的共线和垂直.
(4)理解直线的方向向量及平面的法向量.
(5)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关
系.
(6)能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一
些简单定理(包括三垂线定理).
(7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与
平面的夹角计算问题,了解空间向量方法在研究简单立体
几何问题中的作用.
4.能力要求
课标对能力的要求有7个,而立体几何至少可
以考察其中6个方面。
(1)空间想象能力 (2)抽象概括能
(3)推理论证能力 (4)运算求解能力
(5)创新意识
(6)应用意识
二.07年以来宁夏立体几何考题结构特点
文科
年
题
分
份
号
值
8
5
已知侧视图求体积
11
5
四面体内接于球,求体积比
18
12
四面体求棱长、探究垂直
12
5
线面关系判断
14
5
已知正六棱柱,求外接球体积
文理近
18
12
长方体截掉一角,画俯视图、求体积、证平行
文理同
8
5
判断正方体中线线、线面关系
文理同
11
5
已知三棱锥三视图求全面积
18
12
三棱锥中证线线垂直、求体积
7
5
已知内接长方体,求球的表面积
15
5
在已知五个几何体中写出正视图为一个三角形的
文理背景同
18
12
己知四棱锥,证面面垂直,求体积
文理背景同
07
08
09
10
•
内容
备注
文理同
探究题
理科
年份
07
08
09
10
题号
分值
内容
备注
8
5
已知侧视图求体积
文理同
12
5
两个棱锥拼柱
18
12
四面体证垂直、求二面角
12
5
14
5
已知正六棱柱,求外接球体积
18
12
求正方体中异面线角、线面角
8
5
判断正方体中线线、线面关系
文理同
11
5
已知三棱锥三视图求全面积
文理同
19
12
正四棱锥中证线线平行、求二面角、探究线面平行
探究题
10
5
已知内接正三棱柱,求球的表面积
14
5
写出正视图为一个三角形的三个几何体
18
12
己知四棱锥,证异面线垂直、求线面角
几何体一条棱在侧视图与俯视图中投影和的最大值 构造探究题
文理近
开放题
1.有两道小题(10分),单年份都是选择题,双年份选择
填空各一题。
2.有一道大题(12分),大都居18题位置,属爬坡题。有
2-3问,第一问往往是一两步就能证明的简单问题,第2-3
问拉开层次,区分度明显。
3.小题一道位置居中(7、8或14),一道位置居后(11、
12或15)
4.四年中都至少有一题考有关体积、面积的计算,且往往
与三视图结合。文科三年都有一题与几何体外接球有关。
5.理科解答题强调向量法
6. 立体几何在试卷中所占权重明显高于课时比例,(1.5:
1)。在考生数学成绩中起关键作用。(过不了10分很难
及格,过不了18分很难到120)
1.抓好基础
A
(1)基本图形
多面体(棱柱、
棱锥、棱台)
C
D
B
( 2 ) 基本量
,
(正)多面体:AB=h, BD=R, BC=r, AD=L, DC=
ACB 是侧面与底面所成二面角的平面角,
ADB是侧棱与底面所成角。。。。。。。
a
2
, AC=
h
/
r l
• (3)基本关系
• 圆锥: 2r l
H h r
• 台体:
h
R
(4)基本方法
①构造四边形、三角形把问题化为平面问题
②将空间图展开为平面图
③割补法
④等体积转化
⑤线线平行线面平行面面平行
⑥线线垂直线面垂直面面垂直
⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.
⑧从基本图形复原出长方体(平行六面体)
⑨坐标法
I
A
A
H
A
G
C
C
D
B
B
C
D
D
E
B
F
2.规范解题
(1)立体几何解答题强调“作、证、算”步骤.
(2)立体几何解题中的“一步”:一次作图、一
步证明、一次运算。
(3)一步证明:用一个定义或公理或定理做出一
次判断。要求判断(定义、公理、定理)的条件
应是充分的。
(4)步与步之间应按照一定的逻辑顺序相联结。
为了简洁,前次判断已用过的条件可不再列出。
平行步骤可不分先后。
(5)切忌几个定理揉在一起,直接给出判断。
3 .关注变化
新课程对立体几何无论是教学内容的
编排还是教学能力的要求和传统的立体几
何教学相比都有较大变化。高考命题充分
考虑了这一变化。
(1)《课程标准》对“立体几何”的
要求是从空间几何体的整体观察入手,认
识空间图形;遵循从整体到局部,从具体
到抽象的原则,以长方体为载体,直观认
识和理解空间点,线,面的位置关系。在
《课程标准》中明 确提出,认识和探索几
何图形及其性质的主要方法是:直观感知,
操作确认,思辨论证,度量计算。
例1.(09宁夏文理8) 如图,正方体的棱线
长为1,线段上有两个动点E,F且 EF 2 ,
2
则下列结论中错误的是
(A) AC BE (B) EF / /平面ABCD
(C)三棱锥的体积为定值
(D)异面直线所成的角
为定值
(2)由于《课程标准》对于立体几何的
推理论证部分在必修2中要求不高,另外,
由于整个义务教育阶段对几何的推理论证
能力的要求有所降低,与义务教育阶段衔
接的高中数学新课程这方面的教学要求自
然有所降低。在强调几何特征和方法的同
时更加强调基础知识与基本技能。文科尤
其如此。
例2.(2010宁夏文18)
如图,已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形,
AB∥CD, AC BD ,垂足为H,PH是四棱锥的高。
(Ⅰ)证明:平面PAC 平面PBD;
(Ⅱ)若 AB= 6 , APB ADB 60,求四棱锥的体积。
(3)《课程标准》明确指出:“能用向量的
方法解决线线,线面,面面的夹角问题,
体会向量方法在研究几何问题中的作用”。
因此,用空间向量的方法(或坐标法)处
理有关垂直、平行问题,解决角、距离计
算成为理科高考的一种普遍使用的方法,
综合方法退居其次。使特殊问题一般化。
理科大题向量法是最有效的方法。
例3.(08宁夏卷理18)如图,已知点P在正
方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,
∠PDA=60°
(1)求DP与CC1所成角的大小;
(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小。
D_1
_
C_1
_
A_1
_
P
_
B_1
_
D
_
A
_
C
_
B
_
(4)改变设问方式,注重试题的开放性,
体现研究性学习方法,体现探究历程。
例4.(09宁夏理19)如图,在底面是菱形的四棱锥 P ABCD
中 ABC 60 ,PA AC a ,PB PD 2a ,点E在PD上,
且 PE : ED 2 : 1
(I)证明 PA 平面ABCD;
(II)求以 AC为棱,EAC与DAC为面的二面角的大小;
(Ⅲ)在棱上PC是否存在一点F,使BF// 平面AEC?证明你
的结论.
P
E
A
D
B
C
(5)操作与想象相结合,识图与作图相结合,
算理与推理相结合,努力改变传统殴氏几
何单一的推理模式,力求全方位、多角度
考察数学本质。
例5.(08宁夏理12)某几何体的一条棱长
为 7,在该几何体的正视图中,这条棱的
投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视
图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a
和b的线段,则a + b的最大值为( )
A. 2 2
B. 2 3 C. 4
D. 2 5
个人认识难免有误
不妥之处欢迎指正
谢谢!