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数学人教A必修2·第二章点、直线、平面之间的位置关系
作者/ 制作/
授课: 程小全
二、提出问题:
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交,如果它们所成的二面角是
直二面角,就说这两个平面互相垂直。
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂
线,则这两个平面垂直。
该结论正确吗?
符号表示:
b
b
b
两个平面垂直,其
中一个平面的直线
不一定垂直于另一
个平面。
1. 观察实验
(1)观察黑板所在的平面
和地面,它们是互相垂直的
,那么黑板所在的平面里的
任意一条直线是否就一定和
地面垂直?
D1
A1
C1
B1
D
(2)观察长方体ABCDA1B1C1D1中,平面AA1D1D与
A
平面ABCD垂直,AA1垂直交
线AD,平面AA1D1D内的直
线AA1与平面ABCD垂直吗 ?
D1D呢?
C
B
两个平面垂直,其中
一个平面内垂直于交
线的直线垂直于另一
个平面。
2.概括结论
b
b
l
b l
A
b
l
O
3.严格证明
已知 , CD, AB , AB CD于B.
求证 : AB .
A
证明:在平面 内作BE⊥CD,
垂足为B.
D
则∠ABE就是二面角
-CD- 的平面角
∵
, ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义)
又由题意知AB⊥CD,且BE CD=B
∴AB⊥
(直线与平面垂直的判定定理)
B
C
E
1.平面与平面垂直的性质定理:
两个平面垂直,则一个
平面内垂直于交线的直
线与另一个平面垂直.
符号表示:
b
b
l
b
l
b l 简述为:
面面垂直 线面垂直
2.思考:设平面 ⊥平面 ,点P在平面
内,过点P作平面 的垂线a,直线a与平
面 具有什么位置关系?
α
α
a
P
b
β
b
a
C
直线a在平面 内
β
C
P
注:过一点只能作一条直
线与已知平面垂直。
例1、已知:两个平面 与 互相垂直,判断下列命题
是否正确:
(1)若b , 则b 。×
(2)若
=l, b l则b 。×
l
, a , a , 判断a与 位置关系
例2、
解:设
l
α
a
b
在α内作直线b⊥l
l
β
l
b
b
又a a // b
b a //
bl
a
1:已知两个平面垂直,下列命题中正确的有(C)个
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意
直线;
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无
数条直线;
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面;
A. 3
B.
2
C. 1
D.
0
2:如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A,
B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC,
(1)求证:BC ⊥平面PAC
(2)求证:平面PBC ⊥平面PAC
(1)证明:∵ AB是⊙O的直
P
径,C是圆周上不同于A,B
的任意一点
∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
C
又∵平面PAC⊥平面ABC,
平面PAC∩平面ABC=AC,
A
BC 平面ABC
O
∴BC⊥平面PAC
(2)又∵ BC 平面PBC ,∴平面PBC⊥平面PAC
B
1、平面与平面垂直的性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直。
2、空间垂直关系有那些?
请指出下图中空间垂直关系转化的定理依据?
③
①
线线垂直
②
线面垂直
④
面面垂直
①线面垂直的判定定理 ②线面垂直的定义
③面面垂直的判定定理 ④面面垂直的性质定理
P73习题2.3A组:5.
P74习题2.3B组:4.
探究(P72):已知平面,,直线a, 且 ,
a // , a AB, 试判断直线a与平面的位置关系。
α
a
b
A
B
β
AB,