Transcript 两个平面的位置关系（1）

平面与平面的位置关系
第一、二层的底面α和β无
论怎样延伸都没有公共点；
B
A


前、后两面房顶γ和δ则
有一条交线AB．


二层楼房示意图
•
•
•
•
•
•
•
•
•
平面与平面平行
目标：
１空间两平面的位置关系
２两平面平行的定义
３两平面平行的判定定理
４两平面平行的性质定理
重点：
两平面平行的判定定理；两平面平行的性质定理
难点：
两平面平行的判定定理与性质定理的应用
一、两个平面的位置关系
（1）两个平面平行
如果两个平面没有公共点，我们就说
这两个平面互相平行．
（2）两个平面相交
如果两个平面有公共点，它们就相交于
一条过该公共点的直线，我们就说这两个平
面相交 ．
（3）两个平面的位置关系只有两种
①两个平面平行——没有公共点；记为  // 
②两个平面相交——有一条公共直线,记为    a
两个平面的位置关系
位置关系
公共点
符号表示
图形表示
两平面平行
没有公共点
α∥β
两平面相交
有一条公共直线
α∩β=a
（4）两个平面平行的画法
画两个互相平行的平面时，要注意使表示
平面的两个平行四边形的对应边平行，如图1，
而不应画成图2那样．
图1
图2
二、两个平面平行的判定
判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行
于另一个平面，那么这两个平面平行．

A
a
b
图形语言：

符号语言： a   , b   , a b  A
   // 
a //  , b //  
判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）若平面  内的两条直线分别与平面  平行，则
与  平行； ×
（2）若平面  内有无数条直线分别与平面 平行，则
与  平行；×
（3）平行于同一直线的两个平面平行； ×
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平
行； ×
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
行的平面．×
【例1】如图，在长方体 ABCD  A ' B ' C ' D ' 中，
求证：平面 C ' DB // 平面 AB ' D ' .
// DC // D ' C '
证明： AB 

 ABC ' D ' 是平行四边形
 BC '// AD '
又
D'
 BC '// 平面 AB ' D '
同理： C ' D // 平面 AB ' D '
BC ' C ' D  C '
 平面 C ' DB // 平面 AB ' D '
B'
A'
BC '  平面 AB ' D '
AD '  平面 AB ' D '
C'
C
D
A
B
⑴ 若两个平面平行，则一个平面内的直线是
否平行于另一个平面?
面面平行
线面平行
⑵ 分别在两个平行平面内的直线是否互相平行?
(3)两个平行平面内满足什么关系的两条直线就
平行？
三、两个平面平行的性质
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平
面相交，那么它们的交线平行．

a
图形语言：


符号语言：
b
 // 


   a   a // b
   b 
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平
面相交，那么它们的交线平行．
已知：  //  ,    a, 
 b
求证： a // b
证明：  // 
 与  没有公共点
a 与 b 也没有公共点
a   , b  
a // b

a


b
例2.已知a∥β AB和DC为夹在a、β间
的平行线段。
求证： AB＝DC
D
A

 B
C
证明： 连接AD、BC
D
A
∵AB//DC
∴ AB和DC确定平面AC

又因直线AD、BC分别是平面
AC与平面a、β的交线，
 B
C
∴AD//BC，四边形ABCD是平行
四边形
∴AB＝DC
练习：在正方体AC中，E、F、G、P、
Q、R分别是所在棱AB、BC、BB
AD、DC、DD的中点，
求证：平面PQR∥平面EFG。
Q
D
C
P
A
B
R
G
D
A
C
F
E
B
今天学习的内容有：
1. 空间两平面的位置关系有几种？
2. 面面平行的判定定理需要什么条件？
3. 面面平行的性质定理是什么？
【例3】求证：如果一条直线垂直于两个平行平
面中的一个平面，那么它也垂直于另一
个平面．
已知： //  ,l   ，求证：l   ．
证明： 设 l   A ，在平面  内任取
一条直线 b ．
点 A 不在  内
 点 A 与直线 b 可确定平面
设  a
 //  ,    a,    b
a // b
l   , a  
l  a
l  b
l

b


a
A
四、两个平行平面间的距离
与两个平行平面都垂直的直线，叫做这
两个平行平面的公垂线．它夹在这两个平行
平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂
线段，两个平行平面的公垂线段的长度叫做
两个平行平面间的距离．