Transcript 第三章
第三章 平面与空间直线
§3.1
平面的方程
§3.2-3 平面与点 两平面的相关位置
§3.4
空间直线的方程
§3.5-6 直线与平面 直线与点的相关位置
§3.7
空间两直线的相关位置
§3.8
平面束
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1
第三章 平面与空间直线
教学安排说明
教 学 时 数 ： 12 课 时
本章教学目标及要求：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标
系 下 平 面 、直 线 方 程 的 各 种 形 式 ， 熟 练 掌 握 平 面 与 空 间 直 线 间 各 种
位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹角。
本 章 教 学 重 点 ： 1. 空 间 坐 标 系 下 平 面 、直 线 方 程 的 几 种 重 要 形
式 ； 2. 平 面 与 空 间 直 线 间 各 种 位 置 关 系 的 解 析 条 件 ； 3. 平 面 与 空 间
直线各种度量关系的量化公式。
本 章 教 学 难 点 ：1. 空 间 直 线 一 般 方 程 向 标 准 方 程 的 转 化 ； 2. 综
合运用位置关系解析条件求平面、空间直线方程。
2
§3.1 平面的方程（1）
教 学 时 数 ： 2课 时
教学重点：平面方程的应用；
教 学 难 点 ： 1. 平 面 的 一 般 方 程 ； 2. 平 面 基 本 定 理 。
教学目标：
1. 理 解 平 面 的 概 念 ；
2. 掌 握 平 面 方 程 的 求 法 ；
3. 熟 悉 平 面 的 基 本 定 理 ；
4. 培 养 学 生 的 空 间 想 象 能 力 。
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3
一、由一点和方位向量确定的
平面方程
方位向量：不共线且与平面平行的两向量
a { X 1 , Y1 , Z 1 } 、b { X 2 , Y 2 , Z 2 }， 叫 平 面 的 一 组 方 位
向量。已知平面上的一点及其方位向量，可以确
定它的方程。
4
由一点和方位向量确定的平面方程
1.向量式参数方程
设 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是 上 的 动 点 ，则 r = O M { x , y , z } ,
r0 = O M 0 { x 0 , y 0 , z 0 } ， 则 M 0 M 与 a 、b 共 面 r r0 u a vb
r r0 u a vb
( u、 v 是 参 数 )
叫平面 的向量式参数方程。
5
由一点和方位向量确定的平面方程
2、坐标式参数方程
x x 0 X 1u X 2 v ,
将 a 、b 的 坐 标 代 入 上 式 得 ： y y 0 Y1 u Y2 v ,
z z 0 Z 1 u Z 2 v ,
( u , v是 参 数 ) 叫 平 面 的 坐 标 式 参 数 方 程 。
3、点位式方程
方 程 r r0 u a vb 两 边 点 乘 ( a b ) 得 ( r r0 , a , b ) 0，
x x0 y y0 z z 0
即
X1
Y1
Z1
X2
Y2
Z2
0， 叫 平 面 的 点 位 式 方 程 。
6
由一点和方位向量确定的平面方程
4、三点式方程
建 立 过 不 共 线 的 三 点 M i ( x i , y i , z i ) ，( i 1, 2, 3) 的
平面方程。
设 ri = O M i { x i , y i , z i } ( i 1, 2, 3) , 取 a r2 r1，
b r3 r1 为 平 面 的 方 位 向 量 ， 令 r = O M ={ x , y , z },
则 ：r r1 u ( r2 r1 ) v ( r3 r1 )。
x x1
即
y y1
z z1
x 2 x1 y 2 y 1 z 2 z 1 0.
x 3 x1 y 3 y 1 z 3 z 1
7
5、截距式方程
设平面与 x ,
y, z
三轴分别交于 P ( a , 0, 0),
R (0, 0, c ) （其中 a 0, b 0, c 0
Q (0, b , 0),
）
，求此平面方程。
解：将三点坐标代入平面的三点式方程整理得：
平面的截距式方程
x
a
y
b
z
z
c
1
c
o
x 轴上截距 y 轴上截距 z 轴上截距
x
a
y
b
8
二、平面的一般式方程
任何平面的方程都可以用它上面的一点和它的一个方
x x0 y y0 z z 0
位向量来确定： X1
Y1
Z1
X2
Y2
Z2
其中 : A
Y1
Z1
Y2
Z2
,B
Z1
X1
Z2
X2
0,
,C
即 A x B y C z D 0,
X 1 Y1
X 2 Y2
.
a, b 不 共 线 ,
A , B , C 不 全 为 0, 即 任 一 平 面 可 用 x , y , z 的 三 元 一 次 方 程 表
示 , 反 之 对 于 给 定 的 三 元 一 次 方 程 A x B y C z D 0, 不 妨 设
xD/A y z
2
A 0 , 可 写 成 A ( x ) ABy A C z 0, 凑 成 ： B
A 0 0
A
C
0 A
D
9
平面一般方程的讨论
表 示 由 点 M 0 (
D
A
, 0, 0)
和不共线向量
B,
A , 0 和
C , 0, A 所 确 定 的 平 面 。 于 是 有 ：
平面基本定理：在空间坐标系下，任意平面的方程都
可表为三元一次方程，反过来任一个三元一次方程都表示
一个平面。称它是平面的一般方程。
1. D 0 平 面 过 原 点 ;
①
2. A , B , C 之 一 为 0, 如 C 0 :
②
D
0时平行于 z 轴；
D
0时，经过 z 轴.
① D 0 时 平 行 于 yoz 面 ；
3. A , B , C 中 两 个 为 0, 如 B C 0 :
② D = 0 时 ， 经 过 yoz 面 .
10
例1
例 1. 求 平 行 于 平 面 6 x y 6 z 5 0， 而 与 三 个 坐 标 面
z
所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。
解 : 设平面为
x
a
1 1
abc 1,
3 2
1
y
b
z
c
1,
V 1,
由所求平面与已知
1
c
o
x
a
y
b
1
1
1
1
1
1
1
a
b
c
即
,
令
平面平行得
.
6a b 6c
6a b 6c
6
1
6
1
1
1
t a
, b , c
, 代 入 体 式 得 a 1, b 6,
6t
t
6t
c 1.
得 平 面 方 程 6 x y 6 z 6.
11
例2
例 2. 设 平 面 过 原 点 及 点 ( 6,- 3, 2 ) 且 与 平 面
4 x y 2 z 8 垂 直 ， 求 此 平 面 方 程.
解 : 设 平 面 为 Ax By C z D 0, 由 平 面 过 原
点 知 D 0,
由 平 面 过 点 ( 6,- 3, 2 ) 知 6 A 3 B
2C 0.
A B
n {4, 1, 2},
2
4 A B 2C 0
C , 所 求 平 面 方 程 为 2 x 2 y 3 z 0.
3
作 业 ： P104 1 ① ② 、 2 、5 ① ②
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12
§3.1 平面的方程（2）
教 学 时 数 ： 2课 时
教学重点：平面的点法式方程的应用；
教 学 难 点 ： 1. 平 面 点 法 式 方 程 的 推 导 ；
2. 面 的 法 式 方 程 的 应 用 。
教学目标：
1. 了 解 平 面 的 点 方 式 方 程 ；
2. 掌 握 平 面 的 法 式 方 程 的 求 法 ；
3. 掌 握 平 面 的 一 般 方 程 化 为 法 式 方 程 。
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13
复习
一、由一点和方位向量确定的平面方程
x x 0 X 1u X 2 v
1. 向 量 式 参 数 方 程 r r0 u a vb ； 2.坐 标 式 参 数 方 程 y y 0 Y1u Y2 v
z z 0 Z 1u Z 2 v ；
x x0 y y 0 z z0
3. 点 位 式 方 程
5. 截 距 式 方 程
x
a
X1
Y1
Z1
X2
Y2
Z2
z
1。
y
b
x x1
y y1
z z1
0； 4. 三 点 式 方 程 x 2 x1 y 2 y 1 z 2 z 1 0；
x 3 x1 y 3 y 1 z 3 z 1
c
二、平面的一般式方程
1. A x B y C z D 0.
2. 平 面 基 本 定 理 ： 在 空 间 任 意 平 面 的 方 程 都 可 表 为 三 元 一 次
方程，反之任一个三元一次方程都表示一个平面。
3. 平 面 一 般 方 程 的 讨 论 ：
转18
14
一、平面的点法式方程
定义：与平面垂直的非零
向量，叫该平面的法向量．
Z
n
M0
M
已 知 平 面 上 的 点 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )和
它 的 法 向 量 n { A , B , C }, 求 平 面 方 程 .
解 : 设 M ( x , y , z )为 平 面 上 任 一 点，
则 M 0 M n M 0 M n 0.
O
X
Y
M 0 M { x x 0 , y y 0 , z z 0 }，
A ( x x0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0, 叫 平 面 的 点 法 式 方 程 .
记 D ( Ax 0 By 0 Cz 0 )， 则 有 ： Ax By C z D 0。
可 见 ： 的 一 般 方 程 Ax By C z D 0 中 的 变 量 系 数
A, B , C 恰 好 是 平 面 的 一 个 法 向 量 的 分 量 。
15
二、平面的法式方程
1、向量式法式方程
若 M 0 是 自 O 向 所 作 垂 线 的 垂 足 P， 的 法 向 量 取 与 O P 同
向 的 单 位 向 量 n , 并 设 | O P | p， 则 O P p n ， 故 平 面 的 方 程
0
0
是 ：n ( r p n ) 0 , 即 n r p 0 , 叫 平 面 的 向 量 式 法 式 方 程 。
0
0
0
2、坐标式法式方程
设 r { x , y , z }、n {cos ，cos , cos }，则 有 x cos y cos
0
z cos p 0， 叫 平 面 的 坐 标 式 法 式 方 程 ， 简 称 法 式 方 程 。
特 点 : ① 一 次 项 系 数 为 单 位 向 量 的 分 量 ， 即 平 方 和 等 于 1；
② p 是 原 点 O 到 平 面 的 距 离 ， 常 数 项 p 0.
16
3、一般方程化为法式方程
在 直 角 坐 标 系 下 ，若 的 方 程 为 A x B y C z 0， 则
n { A , B , C } 是 的 法 向 量 ， 而 法 式 方 程 中 的 一 次 项 系 数
是 的一特殊单位法向量分量。故将一般方程化为法式
方 程 只 需 在 一 般 方 程 两 边 同 乘 因 子 1 / A B C ，
2
2
2
即 ： A x B y C z D 0, 再 根 据 D 0 选 取 的 符
号，即取D的相反号。一般方程化为法式方程的过程叫
法式化，选定符号后的叫法式化因子。
17
小结
例 1、 把 平 面 的 方 程 3 x 2 y 6z 14 0 化 为 法 式 方 程 ，
求自原点指向平面的单位法向量及其方向余弦，并求原点
到平面的距离。
例 2 . 求 过 点 (1, 1, 1) 且 垂 直 于 平 面 x y z 0 ,
3x 2 y 2z 5 0 , 的 平 面 方 程.
解:
n1 {1, 1,1}, n 2 {3, 2, 12},
取 法 向 量 n n1 n 2
{10, 15, 5}, 所 求 平 面 方 程 为 ：10( x 1) 15( y 1) 5( z 1)
0, 即 ： 2 x 3 y z 6 0.
小 结 : 1.点 法 式 ； 2 .法 式 ； 3.一 般 方 程 化 法 式 方 程 。
作 业 ： P104
5(3) (6) 、8 、9
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18
§3.2 平面与点的相关位置
§3.3 两平面的相关位置
教 学 时 数 ： 2课 时
教学重点：点到平面的距离、两平面的位置关系；
教 学 难 点 ： 1. 离 差 的 概 念 和 应 用 ；
2. 两 平 面 的 位 置 关 系 。
教学目标：
1. 理 解 离 差 的 概 念 ；
2. 掌 握 点 到 平 面 的 距 离 公 式 ；
3. 熟 悉 两 平 面 的 位 置 关 系 的 充 要 条 件 ；
4. 培 养 学 生 的 空 间 想 象 能 力 。
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19
复习
1. 平 面 的 点 法 式 方 程 A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0.
2 . 向 量 式 法 式 方 程 n r p 0.
0
3. 坐 标 式 法 式 方 程 x cos y cos z cos p 0
特 点 : ① 一 次 项 系 数 为 单 位 向 量 的 分 量 , 即 平 方 和 等 于 1；
② p是 原 点 O 到 平 面 的 距 离 ， 常 数 项 p 0 .
4. 一 般 方 程 化 为 法 式 方 程 ：
在 一 般 方 程 两 边 同 法 式 化 因 子 1 /
A B C 。
2
2
2
结束
20
一、点到平面的距离
平面与点的相关位置有两种情况：即点在平面上和
点不在平面上，重点讨论点不在平面上的情况。
1. 离 差 的 定 义 ： 从 点 M 0 向 平 面 引 垂 线 ，垂 足 为 Q ， 向
量 Q M 0 在 的 单 位 法 向 量 n 上 的 射 影 叫 点 M 0与 的 离 差 。 记
0
作： 射影
n
0
Q M 0。
z
R
z
P
M0
p
p
n
O
x
0
P
n
r0
Q
q
O
y
0
q
M0
r0
Q
y
x
21
2. 离差和距离的计算
可 见 ： 1. 当 QM 0 与 n 同 向 时 0 ； 否 则 0 ； M 0 在 上 0 .
0
离 差 可 判 断 两 点 在 平 面 的 一 侧 或 两 侧 ； 2. M 0 到 的 距 离 d | | 。
定 理 ： 点 M 0与 平 面 n0 r p 0 的 离 差 为 n0 r p .
（ 对 方 程 左 边 用 r0 代 替 r 即 得 ）
证 : 射影
n
0
Q M 0 = | n0 | 射 影
n
0
Q M 0 n0 Q M n0 (O M 0 O Q )
n 0 ( r0 q ) n 0 r n 0 q n 0 r0 | n 0 || q | cos n 0 r0 | q | c os n 0 r0 p .
推 论 1: 点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 与 平 面 x cos y cos z cos p 0
的 离 差 为 ： x 0 cos y 0 cos z 0 cos p .
可 见 : 原 点 与 的 离 差 p, d p, 与 上 节 课 的 结 论 一 致 。
22
二、三元一次不等式的几何意义
推 论 2： 点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 到 平 面 A x B y C z 0,
的 离 差 为 ( A x 0 B y 0 C z 0 D )， 点 到 平 面 的 距 离
为 ： d | A x 0 B y 0 C z 0 D |/
2
2
2
A B C 。
设 平 面 的 方 程 为 A x B y C z 0，则 对 空 间 任 一 点
M ( x , y , z )与 的 离 差 为 ( A x B y C z D )， 所 以 A x
B y C z D / 。 对 上 的 点 ， A x B y C z D 0； 对
平 面 同 侧 的 点 同 号 ； 对 平 面 异 侧 的 点 异 号 。 所 以 空 间
的 一 部 分 点 A x B y C z D > 0; 而 另 一 部 分 的 点 A x B y
C z D <0。 即 平 面 将 空 间 分 为 两 部 分 , 分 别 叫 该 平 面 的 正
半空间和负半空间。
23
三、两平面的相关位置
设 平 面 1： A1 x B1 y C 1 z D1 0, 2： A2 x B 2 y C 2 z D 2 0，
相关位置是相交、平行或重合。取决于方程组是有部分公共点或无
公共点或所有点都在另一平面上，从而我们可得下面的定理：
定理：两平面：相交
A1
平行
A2
B1
B2
C1
C2
D1
D2
；
A1 ：B1 ：C 1 A 2 ：B 2 ：C 2；
重合
A1
A2
B1
B2
C1
C2
D1
。
D2
解 ： 因 两 向 量 的 法 向 量 是 ： n1 { A1 , B1 , C 1 }, n 2 { A2 , B 2 , C 2 }， 当 n1不 平
行 n 2 时 它 们 对 应 分 量 不 成 比 例 ， 即 A1: B1 : C 1 A 2: B 2: C 2；当 它 们 平 行 或 重
A1
合 时 有：
A2
B1
B2
C1
C2
k ， 方 程 为 1: k A2 x kB 2 y kC 2 z D1 0, 2 : A2 x
B 2 y C 2 z D 2 0， D1 / D 2 k 时 两 方 程 相 等 ， 即 重 合 ， 否 则 两 平 面 平 行 。
24
四、两平面的夹角
设 ( n1 , n 2 ) ， 则 ( 1 , 2 ) 或 ， 有 cos ( 1 , 2 ) c os
n1 n 2
| n1 | | n 2 |
A1 A 2 B1 B 2 C 1 C 2
A1 B1 C 1
2
2
2
n
。 2
A2 B 2 C 2
2
2
2
n1
2
特 别 ： 1 2 A1 A2 B1 B 2 C1C 2 0。
例 1.
一 平 面 过 M 1 (1, 1, 1) 和
1
M 2 (0, 1, 1) 且 垂 直 于 平 面 x y z 0， 求 它 的 方 程 。
例 2： 求 两 平 面 z x 2 y 1, 3 x 6 y 3 z 4 间 的 距 离 。
解 ：先 判 断 两 平 面 平 行，
n1 (1 , 2 , 1), n 2 ( 3 , 6 , 3) ,
n1 / / n 2， 在 第 一 个 平 面 内 任 取 一 点
（ 0, 0, 1）， d 7 / 3 6 .
25
3.2--3.3小结
1 .定 义 ： 点 M 0 与 平 面 的 离 差 ： 射 影 0 Q M 0。
n
2.定 理 ： 点 M 0 与 平 面 n 0 r p 0 的 离 差 为： n 0 r p。
推 论 1： M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 与 平 面 x cos y cos z cos p 0
的 离 差 为 ： x 0 cos y 0 cos z 0 cos p。
推 论 2： M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 与 平 面 A x B y C z 0 的 离 差 ：
( A x 0 B y 0 C z 0 D )， d | A x 0 B y 0 C z 0 D |
A B C 。
2
2
2
3.定 理 ： 两 平 面 ： 相 交 A1 ：B1 ：
C 1 A 2 ：B 2 ：
C2 ；
平行
A1
A2
B1
B2
作 业 ： P109
C1
C2
D1
；
重合
D2
35
A1
A2
P111
B1
B2
C1
C2
D1
。
D2
2
结束
26
§3.4
空间直线的方程
教 学 时 数 ： 2课 时
教学重点：直线的标准方程和一般方程；
教 学 难 点 ： 1. 直 线 的 一 般 方 程 化 为 标 准 方 程 ；
2. 求 直 线 的 方 程 。
教学目标：
1. 理 解 直 线 的 方 向 向 量 、方 向 角 、方 向 余 弦 、方 向 数 ；
2. 掌 握 直 线 方 程 的 各 种 形 式 ；
3. 熟 悉 直 线 方 程 之 间 的 互 化 ；
4. 培 养 学 生 的 空 间 想 象 能 力 。
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27
复习
1. 向 量 的 方 向 角 、 方 向 余 弦 及 其 关 系 :
X
cos
, cos
X Y Z
2
Y
2
, cos
X Y Z
2
2
Z
2
。
X Y Z
2
2
2
2
2. 两 平 面 的 位 置 关 系 ： 相 交 A1 : B1 : C 1 A2 : B 2 : C 2 ；
平行
A1
A2
B1
B2
C1
C2
D1
D2
；
重合
A1
A2
B1
B2
C1
C2
D1
。
D2
3. 向 量 积 ： 两 向 量 a 与 b 的 向 量 积 仍 是 一 向 量 ， 记 作 : c a b
或 [ a b ]。 其 模 ： | c | | a | | b | sin , 其 中 为 a 、b 的 夹 角 ；
方 向 : 与 a 、b 都 垂 直 ， 且 a 、b 、c 符 合 右 手 系 。
结束
28
一、空间直线的几个概念
1.方 向 向 量 ： 平 行 于 直 线 L 的 非 零 向 量 v { X , Y , Z } 叫 直 线
的方向向量，通常用 X :Y : Z 表示。
2.方 向 角 、 方 向 余 弦 : 方 向 向 量 的 方 向 角 和 方 向 余 弦
叫该直线的方向角和方向余弦。
3. 方 向 数 ： 与 直 线 方 向 向 量 的 分 量 X , Y , Z ， 成 比 例 的 一 组
数 l, m, n 都 叫 直 线 的 方 向 数 。
4. 直 线 的 方 向 余 弦 与 方 向 数 有 如 下 关 系 ：
cos
l
l m n
2
2
, cos
2
m
l m n
2
2
, cos
2
n
l m n
2
2
（或 取 负 号） .
2
29
二、由一点和直线的方向确定的直线方程
1、向量式参数方程
求 过 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 且 平 行 于 方 向 v { X , Y , Z }的 直 线 方 程 。
设 M ( x , y , z ) 是 直 线 上 的 动 点 ， 且 O M r，O M 0 r0 ， 则
M 0 M 与 v 共 线 ， 有 M 0 M t v ， 即 ： r r0 t v
r r0 t v ，
( t 为 参 数 )， 叫 直 线 的 向 量 式 参 数 方 程 。
t 的 几 何 意 义 ： 特 别 地 当 v 取 v0 时 , 由 直 线 的 参 数 方 程
r r0 t v 得 ： 向 量 | t | | t v | | r r0 | | M 0 M | ， 得 t 的 几 何
0
0
意 义 ： t 的 绝 对 值 是 点 M 到 M 0的 距 离 。
30
2、坐标式参数方程
x x0 X t
由 上 式 得 直 线 的 坐 标 式 参 数 方 程 y y 0 Y t ，( t 是 参 数 )。
z z0 Z t
3、标准（对称式）方程
从 上 式 消 去 参 数 t得 ：
x x0
X
y y0
Y
z z0
， 叫 直 线 的 标 准
Z
(对 称 式 )方 程 ， 当 分 母 为 0 时 ， 约 定 其 分 子 为 0。
4、两点式方程
已 知 直 线 通 过 点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ， M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), 则 由 标 准
方程得：
x x1
x 2 x1
y y1
y 2 y1
z z1
z 2 z1
，叫 直 线 的 两 点 式 方 程 。
31
三、直线的一般方程
1. 一 般 方 程 : 当 平 面 1:
A1 x B1 y C 1 z D1 0, 2:
A2 x
B 2 y C 2 z D 2 0， 中 A1 : B1 : C 1 A 2 : B 2 : C 2 时 ， 它 们 交 于 一 条 直 线 。
有
B1 C 1
B2 C 2
，
C 1 A1
C 2 A2
，
A1 B1
不 全 为 0。
A2 B 2
z
故它表示一直线，把它叫做直线的一
般方程。即：
A1 x B1 y C 1 z D1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
2
.
1
交线上的点同时满足两个方程，
满足两方程的点都在交线上。
L
y
x
o
32
2、射影式方程
a 1 x c1 z d 1 0
将一般方程中分别消去变量 y , z 得：
,
a 2 x b2 y d 2 0
为特殊的一般方程。
第 一 个 方 程 中 不 含 y，
z
为平行于 y 轴的平面；第
2
1
二个方程为平行于 z 轴的
平面. 我们把它叫做直线
的 射影式方程。
L
y
x
33
四、一般方程和标准方程的互化
直线的标准方程化为一般方程比较简单，下面我们
把直线的一般方程化为标准方程.
因 a
B1 C 1
B2 C 2
, b
C1 A 1
C 2 A2
, c
A1 B 1
A2 B 2
不 全 为 0 , 设 c 0，
x (a / c ) z d1 / c
解 关 于 x , y 的 方 程 组 得 ：直 线 的 射 影 式 方 程
,
y (b / c ) z d 2 / c
d1
x x0
a/c
B1 D1
D 1 A1
， d2
B2 D2
D 2 A2
=
， 解得：
x x0
a/c
= z，
y y0
= z, 即 ：
b/c
y y0
x x0
y y0 z z0
z
= ，整 理 得 标 准 方 程 ：
。
b/c 1
a
b
c
34
例1
可见：三个行列式为直线的一组方向数，再找直线上一点，
就可求出直线的标准方程。
也 可 用 v { A1 , B1 , C 1 } { A 2 , B 2 , C 2 } 求 直 线 的 方 向 向 量 。
2 x y z 5 0
例1 . 将 直 线 的 一 般 方 程 ：
化为
2x y 3z 1 0
标准方程。
解：利用两种方法求直线的方向向量，再化为
标准方程。
35
例2
例 2. 求 过 点 (1, 0， 2 )且 与 平 面 3 x 4 y z 6 0 平 行 ,
又与直线
x3
1
y2
4
z
垂直的直线方程。
1
解 : 设 所 求 直 线 的 方 向 向 量 为 v, 已 知 平 面 的 法
向 量 n {3, 4, 1}, 已 知 直 线 的 方 向 向 量 v1 {1, 4, 1},
取 v n v1 ,
v
i
n v1 3
1
因此，所求直线方程为：
x 1
2
y
1
j
k
4 1 4 { 2, 1, 2 } ，
4 1
z2
。
2
36
例3
例 3. 求 过 点 ( 3, 2, 5) 且 与 两 平 面 x 4 z 3 和
2 x y 5 z 1的 交 线 平 行 的 直 线 方 程 。
解 ： 设 所 求 直 线 的 方 向 向 量 为 v { m , n , p }，
根 据 题 意 可 知 ： v n1 ， v n 2 ， 取 v
{ 4, 3, 1} ， 所 求 直 线 的 方 程
x3
4
n1 n 2
y2
3
z5
。
1
小 结 ： 1.关 于 空 间 直 线 的 几 个 概 念 ； 2.直 线 的 方 程 ；
3.直 线 各 种 形 式 之 间 的 互 化 。
作 业 ： P119 （
1 1）--（ 5）
返回
37
§3.5 直线和平面的相关位置
§3.6 直线和点的相关位置
教 学 时 数 ： 2课 时
教学重点：直线和平面的位置关系；
教 学 难 点 ： 1. 直 线 和 平 面 的 位 置 关 系 ；
2. 点 到 直 线 的 距 离 公 式 的 推 导 。
教学目标：
1. 理 解 直 线 和 平 面 的 位 置 关 系 ；
2. 掌 握 直 线 和 平 面 交 角 的 计 算 ；
3. 熟 悉 点 到 直 线 的 距 离 的 计 算 。
4. 培 养 学 生 的 空 间 想 象 能 力 。
返回
38
§3.4
空间直线的方程
复习
1. 直 线 的 几 个 概 念 : 方 向 向 量 、 方 向 角 、 方 向 余 弦 、 方 向 数 。
2. 直 线 方 程 ： 向 量 式 参 数 方 程 r r0 t v ； 坐 标 式 参 数 方 程
x x 0 X t
x x0
y y0
z z0
;
y y0 Y t ； 标 准 ( 对 称 式 ) 方 程
X
Y
Z
z z 0 Z t
方程
x x1
x 2 x1
y y1
y 2 y1
z z1
z 2 z1
。 一般方程
两点式
A1 x B1 y C 1 z D1 0
A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
C 1 A1
A1 B1
B1 C 1
，
，
不
全
为
0
B C
; 射 影 式 方 程
C
A
A
B
2
2
2
2
2
2
a 1 x c1 z d 1 0
a 2 x b2 y d 2 0 .
3. 直 线 方 程 之 间 的 互 化 ： 重 点 是 一 般 方 程 化 为 标 准 方 程 。
结束
39
一、直线和平面的相关位置
直线和平面的相关位置有：相交、平行、直线在平
面上三种情况。
设 直 线 L：
x x0
X
y y0
Y
z z0
与 平 面 ： Ax By C z D 0 ，
Z
x x0 X t
将 L 的 参 数 方 程 y y0 Y t 代 人 上 述 的 平 面 方 程 得 ：
z z0 Z t
A ( x 0 + Xt ) B ( y 0 Yt ) C ( z 0 Zt ) D 0,
整 理 得 ： ( AX BY CZ ) t ( Ax 0 By 0 C z 0 D )。
40
直线和平面的相关位置
对 于 等 式 ( AX BY CZ ) t ( Ax 0 By 0 C z 0 D ) 来 说 ：
当 AX BY C Z 0 时 ： t 有 唯 一 解 ， 对 应 的 x , y , z 也 有 唯
一解，L和 有一个公共点，得：
① 直 线 L 和 平 面 相 交 AX BY CZ 0 ; 类 似 地 ：
② 直 线 L和 平 面 平 行
③ 直 线 L在平 面 上
AX BY C Z 0
A x0 B y 0 C z 0 + D 0 ；
AX BY C Z 0
A x 0 B y 0 C z 0 + D = 0.
41
二、直线与平面的交角
直 线 L和 它 在 平 面 上 的 射 影 的 交 角 , 叫 做 直 线 L和 平 面 的 交
角. 垂直时叫直线和平面垂直。 设直线的方向向量 v 和平面的法向
量 n 夹 角 ( v , n ) , (0 ) ，则 / 2 , (0 / 2 )，
所 以 sin | cos |
| n v |
| n ||v |
AX BY CZ
A B C
2
2
2
。
X Y Z
2
2
2
特 别 地 ： ① L/ / 或 L在 上 A X B Y C Z 0 ；
v
n
② L
A
X
B
Y
C
Z
。
v
n
l
l
42
§3.6
空间直线与点的相关位置
空间直线与点的相关位置有两种情况：点在直
线上，点在直线外。我们重点学习点到直线的距离。
求 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )到 直 线 L ：
因 以 M 1 M 0 、v 为 邻 边 构 成 的
x x1
y y1
X
Y
d
|v|
|v|
0
d
M1
v
2
| M 1M 0 v |
的距离。
Z
M
面积
为 | M 1 M 0 v | ，故 M 0 到 L的 距 离 为 ：
S
z z1
2
L
y 0 y1 z 0 z1
z z x x
x x y y
0 1 0 1 0 1 0 1
Y
Z
Z
X
X
Y
X Y Z
2
2
2
。
2
43
例1
例1：设 直 线 与 三 坐 标 面 的 交 角 为 、 、 ， 求 证 ：
cos cos c o s 2 。
2
2
2
证：设直线
x x0
y y0
X
Y
X
角 是 , sin
2
X
Z
sin
2
X
2
2
z z0
与坐标面 x 0 的夹
Z
2
Y Z
2
2
Y
, 同 理 ： sin 2
X
2
2
Y Z
2
2
，
2
Y Z
2
2
sin 2 sin 2 sin 2 1 ， 化 简 得 ：
,
cos cos cos 2 。
2
2
2
44
例2
例 2. 求 过 点 M ( 1, 2, 3)， 且 平 行 于 平 面 P : 6 x 2 y 3 z 1 0，
又与直线 L :
x 1
3
y 1
z3
5
2
相交的直线方程 。
L
解 ： 过 M 平 行 于 平 面 P 的 平 面 P1 的
方 程 为 ：6 ( x 1) 2 ( y 2 ) 3( z 3) 0，
即： 6 x 2 y 3 z 1 0 .
M
M1
P1
6 x 2 y 3 z 1 0
P
x 1 y 1 z 3
t， 解 得 t 0， 得 交 点
直线 L的交点：
2
5
3
M 1( 1 , 1 , 3 )， 故 直 线 的 方 向 向 量 为 s M M 1 { 2, 3, 6 }, 于 是
平面 P1与已知
所求的直线方程为：
x 1
3
y2
3
z3
6
。
45
例3
x y 4 z 12 0
例 3. 求 点 P (2, 0, 1) 关 于 直 线
的对称点。
2 x y 2 z 3 0
解 ： 直 线 的 方 向 向 量 为 v 1, 1, 4 2,1, 2 6, 6, 3 ,
过 P 垂 直 于 已 知 直 线 的 平 面 为 ：2 ( x 2 ) 2 y ( z 1) 0,
即 ：2 x 2 y z 3 0。 该 平 面 与 直 线 的 交 点 为 (1, 1, 3)
令 P ( x , y , z )为 P 的 对 称 点 ， 则 ：1
2 x
，1
2
0 y
2
，3
1 z
。
2
x 0, y 2, z 7， 即 ： P (0, 2, 7 )。
46
例4
例 4. 求 过 M (2,1, 3) 且 与
x 1
3
y 1
2
z
1
垂直相交的直线方程 。
解 ： 先 作 过 点 M 且 与 已 知 直 线 垂 直 的 平 面 3( x 2)
2( y 1) ( z 3) 0, 再 求 已 知 直 线 与 该 平 面 的 交 点 N ,
令
x 1
3
y 1
2
x 3t 1
3
t y 2 t 1, 代 入 平 面 得 t ，
1
7
z t
z
2 13
3
12 6
24
交 点 N ( , , )取 所 求 直 线 的 方 向 向 量 为 M N {
, ,
},
7 7
7
7 7
7
所求直线方程为：
x2
2
y 1
1
z3
。
4
小结：直线和平面、点的位置关系。
作 业 ： P123 5、；
6 P125 2
M
L
N
47
返回
§3.7 空间两直线的位置关系
教 学 时 数 ： 2课 时
教学重点：空间直线的位置关系、异面直线的距离和公垂线；
教 学 难 点 ： 1. 异 面 直 线 的 距 离 ；
2. 两 异 面 直 线 的 公 垂 线 方 程 。
教学目标：
1. 理 解 空 间 直 线 的 位 置 关 系 ；
2. 掌 握 两 直 线 的 交 角 ；
3. 掌 握 异 面 直 线 间 的 距 离 公 式 ；
4. 掌 握 异 面 直 线 的 公 垂 线 方 程 。
返回
48
§3.5 直线和平面
§3.6 直线和点的相关位置
复习
1. 直 线 L 与 平 面 的 位 置 关 系 是 ：
① 相 交 AX BY CZ 0 ;
AX BY C Z 0
②平行
A x0 B y 0 C z 0 + D 0 ；
AX BY C Z 0
③ 直 线 L在 平 面 上
A x 0 B y 0 C z 0 + D = 0.
2. L和 的 交 角 ： sin | cos |
| n v |
| n ||v |
① L/ / 或 L在 上 A X B Y C Z 0 ；
3. M 0 到 L的 距 离 为 ： d
S
|v|
AX BY C Z
A B C
2
2
2
② L
| M 1M 0 v |
。
X Y Z
2
A
X
2
B
Y
C
2
。
Z
。
|v|
4. a b | a | | b | cos | a | 射 影 a b 射 影 a b
a b
|a|
。
结束
49
一、空间两直线的位置关系
共 面
空间两直线的位置关系
异 面
M
相 交
平 行
重 合 .
设 l1由 点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 和 v1 = { X 1 , Y1 , Z 1 } 确 定 :
v2
v1
M1
x x1
y y1
X1
l 2由 点 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 和 向 量 v 2 = { X 2 ,Y2 , Z 2 } 确 定 ：
1. M 1 M 2 、 1 、 2 异 面 l1 、l 2 异 面 △
l2
2
x x2
l1
Y1
y y2
X2
z z1
Z1
Y2
z z2
Y1
Y2
。
Z2
x 2 x1 y 2 y 1 z 2 z 1
X1
X2
；
Z1
Z2
0；
50
空间两直线的位置关系
2、 当 1 、v 2 、M 1 M 2 共 面 而 1 、v 2 不 共 线 时，l1 、l 2
相 交 ， 故 l1、l 2 相 交 △ 0 且 X 1 : Y1 : Z 1 X 2 : Y 2 : Z 2 ;
3、 当 1 、v 2 平 行 但 不 平 行 于 M 1 M 2 时， 两 直 线 平 行 ，
故 l1 / / l 2 X 1 : Y1 : Z 1 = X 2 : Y 2 : Z 2 ( x 2 x1）: ( y 2 y1 ) : ( z 2 z1 ) ;
4、当向 量 1 、v 2 、M 1 M 2 共 线 时 ， 两 直 线 重 合 ， 故
l1、l 2 重 合 X 1 : Y1 : Z 1 = X 2 : Y 2 : Z 2 ( x 2 x1 ) : ( y 2 y1 ) : ( z 2 z1 )。
51
二、两直线的夹角
定义：平行于两空间直线的两个向量的夹角，叫做这
两条直线的夹角。
设 ( 1 , 2 )
2
(0 )， 我 们
1
用两空间直线的方向向量的夹角来表
示 两 空 间 直 线 的 夹 角 。 即 : ( l1 , l 2 )
l1
或 ( l1 , l 2 ) . 于 是 有 下 面 的 定 理 ：
定 理 ：cos ( l1 , l 2 ) cos =
l2
X 1 X 2 Y1Y2 Z 1 Z 2
X 1 Y1 Z 1
2
2
2
。
X 2 Y2 Z 2
2
2
2
特 别 地 ： l1 l 2 X 1 X 2 Y1Y2 Z 1 Z 2 0。
52
三、异面直线间的距离
空间两直线上点之间的最短距离叫两直线间的距离；和
两条异面直线都垂直相交的直线叫它们的公垂线。两异面直
线距离等于它们的公垂线夹于两异面直线间的线段的长。
异 面 直 线 的 距 离 ： 设 两 条 异 面 直 线 li :
x xi y y i z z i
( i 1, 2 ) 与 它 们 的 公 垂 线
Xi
Yi
Zi
( v1 v 2 )
2
v1 v 2
v2
M1
L1
d N 1 N 2 射 影 L0 M 1 M 2 射 影 v v M 1 M 2
M 1M
L0
M2
v1
l 0 相 交 于 N 1 、 N 2 ， 则 l1 、l 2 之 间 距 离 为 ：
1
N2
N1
L2
2
x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1
X1
Y1
Z1
|v|
X2
Y2
Z2
2
Y1
Z1
Y2
Z2
2
Z1 X 1
Z2 X 2
2
X 1 Y1
.
X 2 Y2
53
四、两异面直线的公垂线方程
1. 公 垂 线 l 0的 方 向 向 量 为 ：
Y1 Z 1
Y2 Z 2
v v1 v 2 X i Yj Z k
2 . 过 M 1 以 v1 , v 为 方 位 向 量
( l 0 和 l1 相 交 ) 的 平 面 1：
3. 过 M 2 以 v 2 , v 为 方 位 向 量
( l0 和 l2 相 交 ) 的 平 面 2 ：
所 以 公 垂 线 l0 的 方 程 为 ：
j
Z2 X 2
X 1 Y1
k.
X 2 Y2
x x1 y y 1 z z 1
X1
Y1
Z1
X
Y
Z
0 ( 1)
x x2 y y2 z z 2
X2
Y2
Z2
X
Y
Z
4 . 因 为 1 和 2 的 交 线 为 l 0，
(1) (2) 联 立 的 方 程 组 。
i
Z1 X 1
0 ( 2)
v2
L0
M2
L2
M1
v
v1
L1
54
例1
x
例 1 . 求 过 P (1, 1, 1) 且 与 直 线 l1 :
1
y
2
z
3
, l2 :
x 1 y 2 z 3
2
1
4
都相交的直线 l方程。
x 1 y 1 z 1
解 ：设 l 的 方 向 向 量 为 v ={ X , Y , Z } , 则 其 方 程 为 ：
,
X
Y
Z
1 1 1
l 与 l1相 交 ， （ M 1 P , v1 , v） 1 2 3 0 , 即 ： X 2 Y Z 0 ，
X Y Z
又 因 为 0 :1 : 2 1 : 2 : 3 ，所 以 l 和 l1相 交 ， 同 理 ： l 和 l 2 相 交 。
同 理 ： X + 2 Y Z 0 ， 解 得 ： X : Y : Z 0 : 1 : 2。
所以直线 l 的方程为：
x 1
0
y 1
1
z 1
.
2
55
例2
例 2、 已 知 两 直 线 l1 ：
x
1
y
1
z 1
0
, l2 ：
x 1
1
y 1
1
z 1
，
0
试证两直线为异面直线，并求它们间的距离及公垂线的方程。
1 1 2
解 ： △ = ( M 1 M 2 , v1 , v 2 ) = 1 -1 0 = 4 0， l1和 l 2 为 异 面 直 线 ；
1 1 0
公 垂 线 l 0 的 方 向 为 v v1 v 2 {0, 0, 2}， d
x
y z 1
另 外 公 垂 线 的 方 程 为 1 1
0
作 业 ： P131
0
0
|△ |
| v1 v 2 |
4
2;
2
x 1 y 1 z 1
0和
2
1
1
0
0
x 0
0 0 联立, 即
.
y 0
2
4 、7 、 8.
返回
56
§3.8 平面束
教 学 时 数 ： 2 课 时。
教学重点：平面束的应用。
教 学 难 点 ： 1. 定 理 1的 证 明 ； 2. 平 面 束 的 应 用 。
教学目标：
1. 理 解 平 面 束 的 定 义 ；
2. 掌 握 定 理 1的 证 明 ；
3. 熟 悉 平 面 束 应 用 ；
4. 培 养 学 生 的 空 间 想 象 能 力 。
返回
57
§3.7 空间两直线的位置关系 复习
1. 两 直 线 的 位 置 关 系 ：
(1) l1 、l 2 异 面 △ 0； ( 2) l1 、l 2 相 交 △ 0 且 X 1 : Y 1: Z 1 X 2 : Y2 : Z 2 ;
(3) l1 / / l 2 X 1 : Y1 : Z 1 = X 2 : Y2 : Z 2 ( x 2 x1）: ( y 2 y1 ) : ( z 2 z1 ) ;
( 4) l1 、 l 2 重 合 X 1 : Y1 : Z 1 = X 2 : Y2 : Z 2 ( x 2 x1 ) : ( y 2 y1 ) : ( z 2 z1 )。
2.定 理 ：cos ( l1 , l 2 )
X 1 X 2 Y1Y 2 Z 1 Z 2
X 1 Y1 Z 1
2
2
。
X 2 Y2 Z 2
2
2
2
2
特 别 地 ： l1 l 2 X 1 X 2 Y1Y2 Z 1 Z 2 0。
x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1
3. d
X1
Y1
Z1
|v|
X2
Y2
Z2
△1 = 0
4 . 公 垂 线 方 程 ：
△ 2 = 0.
2
Y1 Z 1
Y2 Z 2
2
Z1 X 1
Z2 X 2
2
X 1 Y1
.
X 2 Y2
结束
58
一、平面束的定义
1. 有 轴 平 面 束 ： 通 过 同 一 直 线 的 所 有 平 面 的 集
合称为有轴平面束，该直线称为这个平面束的轴。
2. 平 行 平 面 束 ： 在 空 间 平 行 于 同 一 平
面的所有平面的集合称为平行平面束。
3. 平 面 束 ： 有 轴 和 平 行 平 面 束 统 称 为 平 面 束 。
二、平面束的定理
定 理 1: 1： A1 x B1 y C1 z D1 0 (1) 2： A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 ( 2 )
相 交 于 直 线 L， 则 以 直 线 L为 轴 的 有 轴 平 面 束 的 方 程 为 ：
l ( A1 x B1 y C1 z D1 ) m ( A2 x B 2 y C 2 z D 2 ) 0（ l , m 不 全 为 0） (3)
59
定理1的证明
证 ： ① 先 证 方 程 (3) 表 示 一 个 平 面 ：
把 方 程 ( 3) 改 写 成 ：( l A1 m A2 ) x ( l B1 m B 2 ) y ( l C 1 m C 2 ) z
( l D1 + m D 2 ) 0 ( 4 )
l A1 mA2、lB1 mB 2、lC1 mC 2 不 全 为 0，
否 则 当 l A1 m A2 0、 l B1 m B 2 0、lC 1 m C 2 0
A1
A2
B1
B2
C1
.
C2
与 两 平 面 相 交 矛 盾 。 (4) 是 一 个 关 于 x 、y 、z 的 一 次 方 程 ，
所 以 (4) 和 (3) 式 都 表 示 一 个 平 面 。
再 证 方 程 (3) 表 示 过 直 线 L 的 平 面 ：
因 为 平 面 1 、 2 交 线 L 上 的 点 同 时 满 足 平 面 方 程 (1) (2) ，
从 而 必 满 足 方 程 (3) , 所 以 方 程 (3) 表 示 过 L 的 平 面 ,
以 L为 轴 的 平 面 束 中 的 平 面 。
即表示
60
定理1证明续
② 证 明 过 直 线 L 的 任 意 平 面 ， 都 可 以 写 成 (3) 的 形 式 :
（ 即 能 找 到 确 定 的 l、 m 的 值 )
当 平 面 是 1 时 ， 则 l 1， m 0；
当 平 面 是 2 时 ， 则 l 0 , m 1；
当 平 面 既 不 是 1又 不 是 2 时 , 选 取 平 面 上 不 属 于轴
L 上 的 任 意 一 点 P ( x0 , y 0 , z 0 ), 平 面 经 过 点 P 的 条 件 是 :
l ( A1 x 0 B1 y 0 C 1 z 0 D1 ) m ( A2 x 0 B 2 y 0 C 2 z 0 D 2 ) 0，
而
A1 x 0 B1 y 0 C1 z 0 D1 , A2 x 0 B 2 y 0 C 2 z 0 D 2 不 全 为 0 ，
可 取 l : m ( A2 x 0 B 2 y 0 C 2 z 0 D 2 ) : [ ( A1 x 0 B1 y 0 C 1 z 0 D1 )] ，
分 别 令 两 个 括 号 的 值 为 l 、m ， 则 平 面 的 方 程 可 写 成 (3) 的 形 式 。
61
定理2
定 理 2. 若 1：A1 x B1 y C 1 z D1 0, 2 ：A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 平 行 ，
则 l ( A1 x B1 y C 1 z D1 ) m ( A2 x B 2 y C 2 z D 2 ) 0 表 示 平 行 平 面 束 。
( l、m 不 全 为 0，且 m ：l A1 : A2 B1 : B 2 C1 : C 2 )
推 论 ： 由 平 面 Ax By Cz D 0 所 确 定 的 平 行 平 面 束 的
方 程 为 ： A x B y C z 0。 ( R )
例 1: 求 过 二 平 面 4 x y 3 z 1 0 与 x 5 y z 2 0 的 交 线 ，
且过原点的平面方程。
解 : 设 所 求 平 面 方 程 为 l (4 x y 3 z 1) m ( x 5 y z 2) 0，
因 平 面 过 原 点，故 有 l 2 m， 取 m 1, l 2 得 ： 9 x 3 y 5 z 0。
62
例2、3
例 2： 求 与 平 面 3 x y z 4 0 平 行 ， 且 在 Z 轴 的 截 距 等 于 2
的平面方程。
解 ： 设 所 求 平 面 的 方 程 为 ：3 x y z 0， 因 平 面 在 Z 轴 的 截 距
为 2 ， 即 过 ( 0, 0, 2) , 得 = 2， 故 所 求 平 面 方 程 为 ：3 x y z ２ 0。
例 3：求 通 过 直 线
2 x y 2 z 1 0
且 与 平 面 x y z 1 0 垂 直
x 2 y z 2 0
的平面方程。
解 ： 设 所 求 平 面 方 程 为 l (2 x y 2 z 1) m ( x 2 y z 2 ) 0
即: (2 l m ) x ( l 2 m ) y ( 2 l m ) z ( l 2 m ) 0, 由 1 2 得 ：l 2 m 0 ，
取 l = 2， m 1代 人 上 述 方 程 得 所 求 平 面 的 方 程 为 ：3 x 3 z 4 0。
63
例4
: A1 x B1 y C 1 z D1 0
例 4 ： 试 证 明 两 条 直 线 l1 : 1
和 l2 :
:
A
x
B
y
C
z
D
0
；
2
2
2
2
2
A1
3 : A3 x B 3 y C 3 z D 3 0
A2
在
同
一
平
面
上
的
充
要
条
件
是
A3
4 : A4 x B 4 y C 4 z D 4 0
A4
B1
B2
B3
B4
C1
C2
C3
C4
D1
D2
D3
D4
0。
证: 设 过 l1 平 面 为: 1 ( A1 x B1 y C 1 z D1 ) 2 ( A2 x B 2 y C 2 z D 2 ) 0
过 l 2 的 平 面 为 : 3 ( A3 x B 3 y C 3 z D 3 ) 4 ( A4 x B 4 y C 4 z D 4 ) 0。
因 l1、l 2 共 面，故 上 两 式 代 表 同 一 平 面，存 在 m 0 使 1 ( A1 x B1 y C 1 z D1 )
2 ( A2 x B 2 y C 2 z D 2 ) m [ 3 ( A3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 ) 4 ( A4 x B 4 y + C 4 z D 4 )].
整理
得：
1 A1 2 A 2 m 3 A3 m 4 A 4 0
因 i不 全
1 B1 2 B 2 m 3 B 3 m 4 B 4 0
,
1 C 1 2 C 2 m 3 C 3 m 4 C 4 0 为 0，故
1 D 1 2 D 2 m 3 D 3 m 4 D 4 0
A1 B 1 C 1 D 1
A2 B 2 C 2 D 2
A3 B 3 C 3 D 3
A4 B 4 C 4 D 4
0。
64
平面束 小结
定义：平面束（有轴平面束、平行平面束）
定 理 1: 1： A1 x B1 y C 1 z D1 0 (1) 2： A2 x B 2 y C 2 z D 2 0，
相 交 于 直 线 L， 则 以 L为 轴 的 有 轴 平 面 束 的 方 程 为 ：
l ( A1 x B1 y C 1 z D1 ) m ( A2 x B 2 y C 2 z D 2 ) 0 （ l , m 不 全 为 0）。
定 理 2 若 1： A1 x B1 y C 1 z D1 0, 2 ： A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 平 行 ，
则 l ( A1 x B1 y C 1 z D1 ) m ( A2 x B 2 y C 2 z D 2 ) 0 表 示 平 行 平 面 束 。
推 论 ： 由 平 面 Ax By C z D 0 所 确 定 的 平 行 平 面 束 的
方 程 Ax By C z 0。
研 究 题 ：1. 试 证 明 定 理 2 ； 2. 推 导 两 直 线 异 面 的 充 要 条 件 。
作 业 ： P137 2、 3、 4、 8.
结束
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第三章 平面与空间直线 复习总结
§3.1
平面的方程
§3.2-3 平面与点 两平面的相关位置
§3.4
空间直线的方程
§3.5-6 直线与平面 直线与点的相关位置
§3.7
空间两直线的相关位置
§3.8
平面束
66