Transcript 曲面方程的定义
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一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 F ( x, y, z) 0 有下述关系：
（ 1 ）曲 面 S 上 任 一 点 的 坐 标 都 满 足 方 程 ；
（2）不 在曲 面 S 上 的 点的 坐标 都不 满足 方程 ；
那 么 ， 方 程 F ( x, y, z) 0 就 叫做 曲面 S 的 方程 ，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
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以下给出几例常见的曲面.
例 1
建 立 球 心 在 点 M 0 ( x 0 , y0 , z0 ) 、 半 径 为R
的球面方程 .
解
设 M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有
x
| MM
2
x0 y
0
| R
2
y0 z
2
z0
R
所求方程为 x x 0 y y 0 z z 0 R 2
2
2
2
特殊地：球心在原点时方程为 x 2 y 2 z 2 R 2
Slide 10
例 2 求 与 原 点 O 及 M 0 ( 2 , 3 ,4 ) 的 距 离 之 比 为 1 : 2 的
点的全体所组成的曲面方程.
解
设 M ( x, y, z)是曲面上任一点，
| MO |
根据题意有
| MM
0
|
x y z
2
2
1
,
2
2
x 2 y 3 z 4
2
2
2
2
1
,
2
2
2
4
116
2
.
所求方程为 x y 1 z
3
3
9
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例 3 已 知 A ( 1 , 2 , 3 ) ， B ( 2 , 1 , 4 ) ， 求 线 段 AB 的
垂直平分面的方程.
解
设 M ( x, y, z)是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA | | MB |,
x 1 2 y 2 2 z 3 2
x 2 y 1 z 4 ,
2
2
2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0 .
Slide 12
例4 方程 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1 的图形是怎样的？
2
解
2
z
根据题意有 z 1
用平面 z c 去截图形得圆：
( x 1) ( y 2 ) 1 c
2
2
( c 1)
c
当平面 z c 上下移动时，
得到一系列圆
圆 心 在 (1 , 2 , c ) ， 半 径 为 1 c
o
y
x
半 径 随 c 的 增 大 而 增 大 . 图形上不封顶，下封底．
Slide 13
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
Slide 14
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
这条定直线叫旋转
曲面的轴．
播放
Slide 15
旋转过程中的特征：
如图
z
M (0, y , z )
M
d
设 M ( x , y , z ),
o
（ 2） 点 M 到z 轴 的 距 离
d
x
x y | y1 |
2
将 z z1 , y1 x y
2
f ( y1 , z1 ) 0
1
1
f ( y, z ) 0
(1 ) z z 1
2
1
2
代入
y
Slide 16
将 z z1 ,
得方程
y1
f
x y
2
2
代入 f ( y1 , z1 ) 0
x y , z 0,
2
2
yoz 坐 标 面 上 的 已 知 曲 线 f ( y , z ) 0 绕z 轴 旋
转一周的旋转曲面方程.
同 理 ： yoz 坐 标 面 上 的 已 知 曲 线 f ( y , z ) 0
绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y,
x z
2
2
0.
Slide 17
例 5
直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋转一 周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫 圆锥面的
顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的半顶
2
角 ． 试 建 立 顶 点 在 坐 标 原 点 ， 旋 转 轴 为z 轴 ， 半 顶
角 为 的 圆 锥 面 方 程 ．
解
z
yoz 面 上 直 线 方 程 为
z y cot
圆锥面方程
z
o
x y cot
2
2
x
M 1 ( 0 , y1 , z1 )
yy
M ( x , y, z )
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例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
生成的旋转曲面的方程．
（ 1） 双 曲 线
x
2
a
2
绕 x 轴旋转
z
2
c
2
1 分 别 绕 x 轴 和z 轴 ；
x
2
a
2
2
x y
2
绕 z 轴旋转
y z
a
2
c
2
1
2
2
z
2
c
2
1
旋
转
双
曲
面
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y
z
2 2 1
（ 2） 椭 圆 a
绕 y 轴和 z 轴；
c
x 0
2
2
2
y
x z
绕 y 轴旋转
1
2
2
a
c
2
2
x y
2
绕 z 轴旋转
a
2
2
z
2
c
2
1
y 2 pz
（ 3） 抛 物 线
绕z 轴 ；
x 0
2
x y 2 pz
2
2
旋转抛物面
旋
转
椭
球
面
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三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L
所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C
叫柱面的准线
，动直线 L 叫
柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:
播放
Slide 21
柱面举例
z
z
平面
y 2x
2
o
x
o
y
x
抛物柱面
y
y x
Slide 22
从柱面方程看柱面的特征：
只 含 x, y 而 缺z 的 方 程 F ( x, y) 0 ， 在
空 间 直 角 坐 标 系 中 表 示 母 线 平 行 于z 轴 的 柱
面 ， 其 准 线 为 xoy 面 上 曲 线 C .
实
例
y
2
2
2
b
2
x
a
z
2
2
1
2
1 双曲柱面 // z 轴
c
2
y
b
x 2 pz
2
（其他类推）
椭圆柱面 // x 轴
抛物柱面 // y 轴
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四、小结
曲面方程的概念
F ( x , y , z ) 0.
旋转曲面的概念及求法.
柱面的概念(母线、准线).
Slide 24
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空
间解析几何中分别表示什么图形？
(1 ) x 2;
(3) y x 1.
( 2 ) x y 4;
2
2
Slide 25
思考题解答
方程
平面解析几何中
x 2
平行于
x y 4
2
y 轴 的 直 线 平 行 于 yoz 面 的 平 面
圆 心 在 ( 0 ,0 ) ，
2
y x1
空间解析几何中
以 z 轴为中心轴的圆柱面
半径为2 的圆
斜率为1的直线
平行于 z 轴的平面
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练 习 题
一 、填 空题 ：
1 、 与 Z 轴 和 点 A (1 , 3 , 1 ) 等 距 离 的 点 的 轨 迹 方 程 是
_____________ ；
2 、 以 点 O ( 2 , 2 , 1) 为 球 心 ， 且 通 过 坐 标 原 点 的 球 面
方 程 是 _______________；
2
2
2
3、球面： x y z 2 x 4 y 4z 7 0 的球 心是
点 ___________， 半 径 R __________；
x
2
y
2
z
2
+ 2 =1 ， 当 a b 时 ， 曲 面 可 由
a
b c
xoz
面 上 以 曲 线 ________________ 绕 _______ 轴 旋
转 面 成 ， 或 由 yoz 面 上 以 曲 线 _________ ______
4、设曲面 方程
2
+
2
绕 ________ 轴 旋 转 面 成 ;
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5 、若 柱面 的母 线平 行于某 条坐 标轴 ，则柱 面方 程的 特
点 是 _________ ；
6 、曲 面 x
2
y
2
4
z 1 是 由 _______ 绕 _________ 轴 放
置一周所形成的；
2
2
2
7 、 曲 面 ( z a ) x y 是 由 ______________ 绕 _____
轴旋转一周所形成的；
8 、 方 程 x 2 在 平 面 解 析 几 何 中 表 示 _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ 在 空
间 解 析 几 何 中 表 示 ___________________ ；
2
2
9 、方 程 x y 4 在 平 面 解 析 几 何 中 表 示
_______________ ， 在 空 间 解 析 几 何 中 表 示
_______________.
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二、画出下列各方程所表示的曲面：
a 2
a 2
2
1、 ( x ) y ( ) ；
2
2
2
2
x
z
1 ；
2、
9
4
2
3、 z 2 x .
Slide 29
练习题答案
一 、 1 、 z 2 x 6 y 2 z 11 0 ；
2
2 、 x y z 4 x 4 y 2 z 0 ； 3 、 (1,-2,2),4 ；
2
4、
y
2
b
2
x
2
a
2
2
z
2
c
2
z
2
c
2
2
1, z ,
1, y ；
y
2
b
2
z
2
c
2
1, z ,
x
2
a
2
y
2
b
2
1, y ,
5、 不 含 与 该 坐 标 轴 同 名 的 变 量 ；
6 、 xoy 面 上 的 双 曲 线 x
2
y
2
1, y ；
4
z y a, z ；
7 、 yoz 面 上 的 直 线
8 、 平 行于 y 轴 的 一 条 直 线 , 与 yoz 面 面 平 行 的 平 面 ；
9 、 圆 心 在 原 点 , 半 径 为 2 的 圆 ,轴 为 z 轴 , 半 径 为 2
的圆柱面.
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一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 F ( x, y, z) 0 有下述关系：
（ 1 ）曲 面 S 上 任 一 点 的 坐 标 都 满 足 方 程 ；
（2）不 在曲 面 S 上 的 点的 坐标 都不 满足 方程 ；
那 么 ， 方 程 F ( x, y, z) 0 就 叫做 曲面 S 的 方程 ，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
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以下给出几例常见的曲面.
例 1
建 立 球 心 在 点 M 0 ( x 0 , y0 , z0 ) 、 半 径 为R
的球面方程 .
解
设 M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有
x
| MM
2
x0 y
0
| R
2
y0 z
2
z0
R
所求方程为 x x 0 y y 0 z z 0 R 2
2
2
2
特殊地：球心在原点时方程为 x 2 y 2 z 2 R 2
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例 2 求 与 原 点 O 及 M 0 ( 2 , 3 ,4 ) 的 距 离 之 比 为 1 : 2 的
点的全体所组成的曲面方程.
解
设 M ( x, y, z)是曲面上任一点，
| MO |
根据题意有
| MM
0
|
x y z
2
2
1
,
2
2
x 2 y 3 z 4
2
2
2
2
1
,
2
2
2
4
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.
所求方程为 x y 1 z
3
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例 3 已 知 A ( 1 , 2 , 3 ) ， B ( 2 , 1 , 4 ) ， 求 线 段 AB 的
垂直平分面的方程.
解
设 M ( x, y, z)是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA | | MB |,
x 1 2 y 2 2 z 3 2
x 2 y 1 z 4 ,
2
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化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0 .
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例4 方程 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1 的图形是怎样的？
2
解
2
z
根据题意有 z 1
用平面 z c 去截图形得圆：
( x 1) ( y 2 ) 1 c
2
2
( c 1)
c
当平面 z c 上下移动时，
得到一系列圆
圆 心 在 (1 , 2 , c ) ， 半 径 为 1 c
o
y
x
半 径 随 c 的 增 大 而 增 大 . 图形上不封顶，下封底．
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以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
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二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
这条定直线叫旋转
曲面的轴．
播放
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旋转过程中的特征：
如图
z
M (0, y , z )
M
d
设 M ( x , y , z ),
o
（ 2） 点 M 到z 轴 的 距 离
d
x
x y | y1 |
2
将 z z1 , y1 x y
2
f ( y1 , z1 ) 0
1
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f ( y, z ) 0
(1 ) z z 1
2
1
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代入
y
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将 z z1 ,
得方程
y1
f
x y
2
2
代入 f ( y1 , z1 ) 0
x y , z 0,
2
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yoz 坐 标 面 上 的 已 知 曲 线 f ( y , z ) 0 绕z 轴 旋
转一周的旋转曲面方程.
同 理 ： yoz 坐 标 面 上 的 已 知 曲 线 f ( y , z ) 0
绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y,
x z
2
2
0.
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例 5
直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋转一 周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫 圆锥面的
顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的半顶
2
角 ． 试 建 立 顶 点 在 坐 标 原 点 ， 旋 转 轴 为z 轴 ， 半 顶
角 为 的 圆 锥 面 方 程 ．
解
z
yoz 面 上 直 线 方 程 为
z y cot
圆锥面方程
z
o
x y cot
2
2
x
M 1 ( 0 , y1 , z1 )
yy
M ( x , y, z )
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例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
生成的旋转曲面的方程．
（ 1） 双 曲 线
x
2
a
2
绕 x 轴旋转
z
2
c
2
1 分 别 绕 x 轴 和z 轴 ；
x
2
a
2
2
x y
2
绕 z 轴旋转
y z
a
2
c
2
1
2
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z
2
c
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1
旋
转
双
曲
面
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z
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（ 2） 椭 圆 a
绕 y 轴和 z 轴；
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x 0
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y
x z
绕 y 轴旋转
1
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2
a
c
2
2
x y
2
绕 z 轴旋转
a
2
2
z
2
c
2
1
y 2 pz
（ 3） 抛 物 线
绕z 轴 ；
x 0
2
x y 2 pz
2
2
旋转抛物面
旋
转
椭
球
面
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三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L
所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C
叫柱面的准线
，动直线 L 叫
柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:
播放
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柱面举例
z
z
平面
y 2x
2
o
x
o
y
x
抛物柱面
y
y x
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从柱面方程看柱面的特征：
只 含 x, y 而 缺z 的 方 程 F ( x, y) 0 ， 在
空 间 直 角 坐 标 系 中 表 示 母 线 平 行 于z 轴 的 柱
面 ， 其 准 线 为 xoy 面 上 曲 线 C .
实
例
y
2
2
2
b
2
x
a
z
2
2
1
2
1 双曲柱面 // z 轴
c
2
y
b
x 2 pz
2
（其他类推）
椭圆柱面 // x 轴
抛物柱面 // y 轴
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四、小结
曲面方程的概念
F ( x , y , z ) 0.
旋转曲面的概念及求法.
柱面的概念(母线、准线).
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思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空
间解析几何中分别表示什么图形？
(1 ) x 2;
(3) y x 1.
( 2 ) x y 4;
2
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思考题解答
方程
平面解析几何中
x 2
平行于
x y 4
2
y 轴 的 直 线 平 行 于 yoz 面 的 平 面
圆 心 在 ( 0 ,0 ) ，
2
y x1
空间解析几何中
以 z 轴为中心轴的圆柱面
半径为2 的圆
斜率为1的直线
平行于 z 轴的平面
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练 习 题
一 、填 空题 ：
1 、 与 Z 轴 和 点 A (1 , 3 , 1 ) 等 距 离 的 点 的 轨 迹 方 程 是
_____________ ；
2 、 以 点 O ( 2 , 2 , 1) 为 球 心 ， 且 通 过 坐 标 原 点 的 球 面
方 程 是 _______________；
2
2
2
3、球面： x y z 2 x 4 y 4z 7 0 的球 心是
点 ___________， 半 径 R __________；
x
2
y
2
z
2
+ 2 =1 ， 当 a b 时 ， 曲 面 可 由
a
b c
xoz
面 上 以 曲 线 ________________ 绕 _______ 轴 旋
转 面 成 ， 或 由 yoz 面 上 以 曲 线 _________ ______
4、设曲面 方程
2
+
2
绕 ________ 轴 旋 转 面 成 ;
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5 、若 柱面 的母 线平 行于某 条坐 标轴 ，则柱 面方 程的 特
点 是 _________ ；
6 、曲 面 x
2
y
2
4
z 1 是 由 _______ 绕 _________ 轴 放
置一周所形成的；
2
2
2
7 、 曲 面 ( z a ) x y 是 由 ______________ 绕 _____
轴旋转一周所形成的；
8 、 方 程 x 2 在 平 面 解 析 几 何 中 表 示 _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ 在 空
间 解 析 几 何 中 表 示 ___________________ ；
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2
9 、方 程 x y 4 在 平 面 解 析 几 何 中 表 示
_______________ ， 在 空 间 解 析 几 何 中 表 示
_______________.
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二、画出下列各方程所表示的曲面：
a 2
a 2
2
1、 ( x ) y ( ) ；
2
2
2
2
x
z
1 ；
2、
9
4
2
3、 z 2 x .
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练习题答案
一 、 1 、 z 2 x 6 y 2 z 11 0 ；
2
2 、 x y z 4 x 4 y 2 z 0 ； 3 、 (1,-2,2),4 ；
2
4、
y
2
b
2
x
2
a
2
2
z
2
c
2
z
2
c
2
2
1, z ,
1, y ；
y
2
b
2
z
2
c
2
1, z ,
x
2
a
2
y
2
b
2
1, y ,
5、 不 含 与 该 坐 标 轴 同 名 的 变 量 ；
6 、 xoy 面 上 的 双 曲 线 x
2
y
2
1, y ；
4
z y a, z ；
7 、 yoz 面 上 的 直 线
8 、 平 行于 y 轴 的 一 条 直 线 , 与 yoz 面 面 平 行 的 平 面 ；
9 、 圆 心 在 原 点 , 半 径 为 2 的 圆 ,轴 为 z 轴 , 半 径 为 2
的圆柱面.