Transcript 空间解析几何

第一部分：空间曲面
第二部分：空间曲线
定义： 如果曲面S与三元方程 F ( x , y , z )  0 有下述关系：
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程；
（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程，
那么，方程就称为曲面S的方程，而曲面S就称为方程的图形。
例 1 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 、半径为
R 的球面方程.
解
z
M(x,y,z)
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有
x 
| MM
0
| R
即有：
x0    y  y0   z  z0   R
2
2
2
y
x
所求方程为  x  x 0    y  y 0    z  z 0   R 2
2
2
2
一、柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线
L所形成的曲面称之为柱面.
这条定曲线叫柱面的准线，
动直线叫柱面的母线.
如果母线是平行于 z 轴的直线，
则 F ( x , y )  0为 母 线 平 行 于 z 轴 的 柱 面 方 程 。
柱面上任取一点P(x,y,z)
 F ( x , y )  0,

 z  0.
准线方程
沿母线与xoy平面的交点是P(x,y,0)
P(x,y,0)在准线上，从而柱面上
任一点P的坐标均满足方程
F(x,y)=0.
柱面方程：F(x,y)=0
z
P(x,y,z)
o
x
y
P(x,y,0)
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y )  0 ，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为 xoy 面上曲线C . （其他类推）
例如：
y
2
2

2

b
2
x
a
z
2
2
1
2
 1 双曲柱面 // z 轴
c
2
y
b
x  2 pz
2
椭圆柱面 // x 轴
抛物柱面 // y 轴
柱面图形：
z
y  2x
o
2
y
x
抛物柱面
双曲柱面
z
o
y
x
椭圆柱面
圆柱面
x  y  R
2
2
2
x
2
a
2

y
2
b
2
1
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕
其平面上的一条直线旋转
一周所成的曲面称之为旋
转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
平面上的曲线称为母线.
设 在 yo z 平 面 上 有 曲 线 C : f ( y , z )  0
设 M 1 ( 0 , y 1 , z 1 ) 为曲线 C 上的任一点，那么有 F ( y 1 , z 1 )  0
设 M ( x , y , z ),
曲面上任取一点，
则点M是由曲线上点M1旋转得来。
旋转过程中的特征：
因此 (1 ) z  z 1
z
（2）点 M 到 z 轴的距离
d 
M (0, y , z )


M
d
x  y  | y1 |
2
2
o
f ( y1 , z1 )  0
得方程 f 

x  y , z  0,
2
2
1
1
f ( y, z )  0
将 z1  z , y1   x 2  y 2
代入
1
x
y
将
z1  z ,
得方程
y1  

f 
x
2
 y
代入 f ( y1 , z1 )  0
2

x  y , z  0,
2
2
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z )  0绕 z 轴
旋转一周的旋转曲面方程 .
同 理 ： yoz 坐 标 面 上 的 已 知 曲 线 f ( y , z )  0
绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为

f y, 
x  z
2
2
  0.
例2:将坐标平面上的双曲线分别绕轴和轴旋转
一周，求所生成的旋转曲面的方程．
解
绕 x 轴旋转：将方程中的 z 用 
y  z
2
2
代
替，得旋转曲面的方程
x
2
a
2
y z
2

c
同理，所给双曲线绕
2
1
2
．
z 轴旋转一周形成的旋转曲面的方程为
x  y
2
a
2
2

z
2
c
2
1
这两种曲面都称为旋转双曲面．类似地，我们还可以得旋
转椭球面和旋转抛物面．图形如下：
（2）圆锥面
（1）球面
x  y  z 1
2
2
2
x  y  z
2
2
（3）旋转双曲面
2
x
2
a
2

y
2
a
2

z
2
c
2
1
与平面解析几何中的二次曲线概念相类似，在空间解析几
何中把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．前面提
到的球面、旋转椭球面、双曲柱面等都是二次曲面．为了了
解由三元二次方程所表示的空间曲面的形状，常用坐标平面
和平行于坐标平面的平面与空间曲面相截．考察其交线(即
截痕)的形状，然后加以综合，从而得知曲面的全貌，这种
方法叫做截痕法．
下面我们利用截痕法来讨论几种常用的二次曲面．
1. 椭球面
x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
1
图形有界，并且关于坐标面对称。
椭球面与
三个坐标面
的交线：
2
 2
x z
 2  2 1
,
a
c

y  0
 2
x 
2
a

z  0
y
b
2
2
z
1
,
2
 2
y z

 2 1
2
.
b
c

x  0
o
x
y
椭球面与平面 z  z1 ( z1  c ) 的交线为椭圆
2

x

2
 2
z
 a  1  2
c
 

 z  z 1。





y
2

z 
b  1  2 
c 

2
 1，
2
当k由0变到c时,椭圆由大变小,最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
(1 )
a  b,
由椭圆
(2)
x
2
a
2
a  b  c,
x
2
a
2


z
2
c
2
x
2
a
2
y
2
a
2

z
2
c
2
1
旋转椭球面
 1 绕 z 轴旋转而成．

y
2
a
2

z
2
a
2
1
球面
2. 椭圆抛物面
x
2
2p

y
2
2q
 z （ p 与 q 同号）
椭圆抛物面
图形位于xoy平面的上方，并关于yoz及zox坐标面对称。
同样用截痕法讨论.
特殊地：当 p  q 时，方程变为
x
2
2p

y
2
2p
 z
( p  0)
旋转抛物面
椭圆抛物面的图形如下：
z
z
o
x
y
x
p  0,
q 0
p  0,
y
o
q0
3. 锥面
x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
0
表示锥面
同样用截痕法来讨论,其形状如右图
当 a  b 时，方程变为 x
x
的直线 a
锥面．

z
c
 0
绕
2
 y
2

a
2
c
2
z
2
，它表示 xOz 平面上
z 轴旋转一周所生成的旋转曲面，是一圆
三、小结
曲面方程的概念
F ( x , y , z )  0.
旋转曲面的概念及求法.
柱面的概念(母线、准线).
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空
间解析几何中分别表示什么图形？
(1 ) x  2;
(3) y  x  1.
( 2 ) x  y  4;
2
2
思考题解答
方程
平面解析几何中
x  2
平行于
x  y 4
2
y 轴 的 直 线 平 行 于 yoz 面 的 平 面
圆 心 在 ( 0 ,0 ) ，
2
y x1
空间解析几何中
以 z 轴为中心轴的圆柱面
半径为2 的圆
斜率为1的直线
平行于 z 轴的平面
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z)  0

G ( x , y , z )  0
z
S1
空间曲线的一般方程
特点：曲线上的点都满足
方程，满足方程的点都在
曲线上，不在曲线上的点
不能同时满足两个方程.
S2
C
o
x
y
x  y  1
例1 方程组 
表示怎样的曲线？
2 x  3 y  3z  6
2
解
2
2
2
x  y  1 表示圆柱面，
2 x  3 y  3 z  6 表示平面，
x  y  1

2 x  3 y  3z  6
2
2
交线为椭圆.
z  a2  x2  y2

2
例2 方程组
表示怎样的曲线？
a 2
a
2
( x  )  y 

2
4
解
z
a  x  y
2
2
2
上半球面,
(x 
a
2
)  y 
2
2
a
2
4
交线如图.
圆柱面,
二、空间曲线的参数方程
 x  x(t )

 y  y ( t ) 空间曲线的参数方程
 z  z(t )

当 给 定 t  t1 时 ， 就 得 到 曲 线 上 的 一 个 点
( x1 , y1 , z1 )， 随 着 参 数 的 变 化 可 得 到 曲 线 上 的 全
部点.
如果空间一点M 在圆柱面 x  y  a 上以
角 速 度  绕 z 轴 旋 转 ， 同 时 又 以 线 速 度v 沿 平 行 于z
轴 的 正 方 向 上 升 （ 其 中  、v 都 是 常 数 ） ， 那 么 点
2
例 3
2
2
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方 程．
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
z
解
M 在 xoy 面 的 投 影 M  ( x , y , 0 )
x  a cos  t
y  a sin  t
o
t
x
A
M
z  vt

M
y
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
 x  a cos 

 y  a sin 
 z  b

(   t ,
b
螺旋线的重要性质：
v

)
上升的高度与转过的角度成正比．
即  : 0  0   ,
  2,
z:
b 0  b 0  b ,
上升的高度 h  2 b  螺距
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z)  0
设空间曲线的一般方程：
G ( x , y , z )  0
消去变量z后得： H ( x , y )  0
曲线关于 xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y)  0

z  0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线,
 R( y, z)  0

x  0
xoz 面上的投影曲线,
T ( x , z )  0

y  0
x  y  z  1

例4 求曲线 
在坐标面上的投影.
1
z 

2
2
2
2
解 （1）消去变量z后得
x  y 
2
2
3
4
,
在 xoy 面上的投影为
3
 2
2
x  y 
4,

 z  0
1
（2）因为曲线在平面 z 
上，
2
所以在 xoz 面上的投影为线段.
1

z 
2,

 y  0
| x |
3
2
;
（3）同理在 yoz 面上的投影也为线段.
1

z 
2,

 x  0
| y |
3
2
.
例5
求抛物面 y  z
2
2
 x 与平面 x  2 y  z  0
的 截线在三个坐标面上的投影曲线方程 .
解
截线方程为
y  z  x

x  2y  z  0
2
2
如图,
 x  5 y  4 xy  x  0
,
（ 1） 消 去 z 得 投 影 
z  0
2
2
 x  5 z  2 xz  4 x  0
（ 2） 消 去 y 得 投 影 
,
y  0
2
2
y  z  2y  z  0
.
（ 3） 消 去 x 得 投 影 
x  0
2
2
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空
间
立
体
曲
面
例6 设一个立体 ,由上半球面
和 z 
z 
2
2
3 ( x  y )锥面所围成 , 求它在 xoy
2
2
面上的投影 .
解
4 x  y
半球面和锥面的交线为
 z 
C :
 z 
4 x  y ,
2
2
3( x  y ),
消去 z 得投影柱面
2
2
x  y  1,
2
2
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
 x  y  1,

 z  0.
2

2
所求立体在
一个圆,
xoy 面上的投影为
x  y  1.
2
2
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
 F ( x, y, z )  0

G ( x , y , z )  0
 x  x( t )

 y  y( t )
 z  z( t )

空间曲线在坐标面上的投影．
 H ( x, y)  0

z  0
 R( y , z )  0

x  0
T ( x , z )  0

y  0
思考题
求椭圆抛物面 2 y
2
 x  z 与抛物柱面
2
2  x  z 的 交 线 关 于 xoy 面 的 投 影 柱 面 和
在 xoy 面 上 的 投 影 曲 线 方 程 .
2
思考题解答
2 y  x  z
,
交线方程为 
2
2  x  z
2
消去z 得投影柱面
2
x  y  1,
2
2
x  y  1
.

z  0
2
在 xoy 面上的投影为
2