Transcript 空间解析几何
第一部分:空间曲面
第二部分:空间曲线
定义: 如果曲面S与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系:
(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程;
(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程,
那么,方程就称为曲面S的方程,而曲面S就称为方程的图形。
例 1 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 、半径为
R 的球面方程.
解
z
M(x,y,z)
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点,
根据题意有
x
| MM
0
| R
即有:
x0 y y0 z z0 R
2
2
2
y
x
所求方程为 x x 0 y y 0 z z 0 R 2
2
2
2
一、柱面
定义:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线
L所形成的曲面称之为柱面.
这条定曲线叫柱面的准线,
动直线叫柱面的母线.
如果母线是平行于 z 轴的直线,
则 F ( x , y ) 0为 母 线 平 行 于 z 轴 的 柱 面 方 程 。
柱面上任取一点P(x,y,z)
F ( x , y ) 0,
z 0.
准线方程
沿母线与xoy平面的交点是P(x,y,0)
P(x,y,0)在准线上,从而柱面上
任一点P的坐标均满足方程
F(x,y)=0.
柱面方程:F(x,y)=0
z
P(x,y,z)
o
x
y
P(x,y,0)
从柱面方程看柱面的特征:
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ,在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面,其准线为 xoy 面上曲线C . (其他类推)
例如:
y
2
2
2
b
2
x
a
z
2
2
1
2
1 双曲柱面 // z 轴
c
2
y
b
x 2 pz
2
椭圆柱面 // x 轴
抛物柱面 // y 轴
柱面图形:
z
y 2x
o
2
y
x
抛物柱面
双曲柱面
z
o
y
x
椭圆柱面
圆柱面
x y R
2
2
2
x
2
a
2
y
2
b
2
1
二、旋转曲面
定义:以一条平面曲线绕
其平面上的一条直线旋转
一周所成的曲面称之为旋
转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
平面上的曲线称为母线.
设 在 yo z 平 面 上 有 曲 线 C : f ( y , z ) 0
设 M 1 ( 0 , y 1 , z 1 ) 为曲线 C 上的任一点,那么有 F ( y 1 , z 1 ) 0
设 M ( x , y , z ),
曲面上任取一点,
则点M是由曲线上点M1旋转得来。
旋转过程中的特征:
因此 (1 ) z z 1
z
(2)点 M 到 z 轴的距离
d
M (0, y , z )
M
d
x y | y1 |
2
2
o
f ( y1 , z1 ) 0
得方程 f
x y , z 0,
2
2
1
1
f ( y, z ) 0
将 z1 z , y1 x 2 y 2
代入
1
x
y
将
z1 z ,
得方程
y1
f
x
2
y
代入 f ( y1 , z1 ) 0
2
x y , z 0,
2
2
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴
旋转一周的旋转曲面方程 .
同 理 : yoz 坐 标 面 上 的 已 知 曲 线 f ( y , z ) 0
绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y,
x z
2
2
0.
例2:将坐标平面上的双曲线分别绕轴和轴旋转
一周,求所生成的旋转曲面的方程.
解
绕 x 轴旋转:将方程中的 z 用
y z
2
2
代
替,得旋转曲面的方程
x
2
a
2
y z
2
c
同理,所给双曲线绕
2
1
2
.
z 轴旋转一周形成的旋转曲面的方程为
x y
2
a
2
2
z
2
c
2
1
这两种曲面都称为旋转双曲面.类似地,我们还可以得旋
转椭球面和旋转抛物面.图形如下:
(2)圆锥面
(1)球面
x y z 1
2
2
2
x y z
2
2
(3)旋转双曲面
2
x
2
a
2
y
2
a
2
z
2
c
2
1
与平面解析几何中的二次曲线概念相类似,在空间解析几
何中把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.前面提
到的球面、旋转椭球面、双曲柱面等都是二次曲面.为了了
解由三元二次方程所表示的空间曲面的形状,常用坐标平面
和平行于坐标平面的平面与空间曲面相截.考察其交线(即
截痕)的形状,然后加以综合,从而得知曲面的全貌,这种
方法叫做截痕法.
下面我们利用截痕法来讨论几种常用的二次曲面.
1. 椭球面
x
2
a
2
y
2
b
2
z
2
c
2
1
图形有界,并且关于坐标面对称。
椭球面与
三个坐标面
的交线:
2
2
x z
2 2 1
,
a
c
y 0
2
x
2
a
z 0
y
b
2
2
z
1
,
2
2
y z
2 1
2
.
b
c
x 0
o
x
y
椭球面与平面 z z1 ( z1 c ) 的交线为椭圆
2
x
2
2
z
a 1 2
c
z z 1。
y
2
z
b 1 2
c
2
1,
2
当k由0变到c时,椭圆由大变小,最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况:
(1 )
a b,
由椭圆
(2)
x
2
a
2
a b c,
x
2
a
2
z
2
c
2
x
2
a
2
y
2
a
2
z
2
c
2
1
旋转椭球面
1 绕 z 轴旋转而成.
y
2
a
2
z
2
a
2
1
球面
2. 椭圆抛物面
x
2
2p
y
2
2q
z ( p 与 q 同号)
椭圆抛物面
图形位于xoy平面的上方,并关于yoz及zox坐标面对称。
同样用截痕法讨论.
特殊地:当 p q 时,方程变为
x
2
2p
y
2
2p
z
( p 0)
旋转抛物面
椭圆抛物面的图形如下:
z
z
o
x
y
x
p 0,
q 0
p 0,
y
o
q0
3. 锥面
x
2
a
2
y
2
b
2
z
2
c
2
0
表示锥面
同样用截痕法来讨论,其形状如右图
当 a b 时,方程变为 x
x
的直线 a
锥面.
z
c
0
绕
2
y
2
a
2
c
2
z
2
,它表示 xOz 平面上
z 轴旋转一周所生成的旋转曲面,是一圆
三、小结
曲面方程的概念
F ( x , y , z ) 0.
旋转曲面的概念及求法.
柱面的概念(母线、准线).
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空
间解析几何中分别表示什么图形?
(1 ) x 2;
(3) y x 1.
( 2 ) x y 4;
2
2
思考题解答
方程
平面解析几何中
x 2
平行于
x y 4
2
y 轴 的 直 线 平 行 于 yoz 面 的 平 面
圆 心 在 ( 0 ,0 ) ,
2
y x1
空间解析几何中
以 z 轴为中心轴的圆柱面
半径为2 的圆
斜率为1的直线
平行于 z 轴的平面
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z) 0
G ( x , y , z ) 0
z
S1
空间曲线的一般方程
特点:曲线上的点都满足
方程,满足方程的点都在
曲线上,不在曲线上的点
不能同时满足两个方程.
S2
C
o
x
y
x y 1
例1 方程组
表示怎样的曲线?
2 x 3 y 3z 6
2
解
2
2
2
x y 1 表示圆柱面,
2 x 3 y 3 z 6 表示平面,
x y 1
2 x 3 y 3z 6
2
2
交线为椭圆.
z a2 x2 y2
2
例2 方程组
表示怎样的曲线?
a 2
a
2
( x ) y
2
4
解
z
a x y
2
2
2
上半球面,
(x
a
2
) y
2
2
a
2
4
交线如图.
圆柱面,
二、空间曲线的参数方程
x x(t )
y y ( t ) 空间曲线的参数方程
z z(t )
当 给 定 t t1 时 , 就 得 到 曲 线 上 的 一 个 点
( x1 , y1 , z1 ), 随 着 参 数 的 变 化 可 得 到 曲 线 上 的 全
部点.
如果空间一点M 在圆柱面 x y a 上以
角 速 度 绕 z 轴 旋 转 , 同 时 又 以 线 速 度v 沿 平 行 于z
轴 的 正 方 向 上 升 ( 其 中 、v 都 是 常 数 ) , 那 么 点
2
例 3
2
2
M 构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方 程.
取时间t为参数,动点从A点出
发,经过t时间,运动到M点
z
解
M 在 xoy 面 的 投 影 M ( x , y , 0 )
x a cos t
y a sin t
o
t
x
A
M
z vt
M
y
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y a sin
z b
( t ,
b
螺旋线的重要性质:
v
)
上升的高度与转过的角度成正比.
即 : 0 0 ,
2,
z:
b 0 b 0 b ,
上升的高度 h 2 b 螺距
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0
设空间曲线的一般方程:
G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得: H ( x , y ) 0
曲线关于 xoy 的投影柱面
投影柱面的特征:
以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面.
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) 0
z 0
类似地:可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线,
R( y, z) 0
x 0
xoz 面上的投影曲线,
T ( x , z ) 0
y 0
x y z 1
例4 求曲线
在坐标面上的投影.
1
z
2
2
2
2
解 (1)消去变量z后得
x y
2
2
3
4
,
在 xoy 面上的投影为
3
2
2
x y
4,
z 0
1
(2)因为曲线在平面 z
上,
2
所以在 xoz 面上的投影为线段.
1
z
2,
y 0
| x |
3
2
;
(3)同理在 yoz 面上的投影也为线段.
1
z
2,
x 0
| y |
3
2
.
例5
求抛物面 y z
2
2
x 与平面 x 2 y z 0
的 截线在三个坐标面上的投影曲线方程 .
解
截线方程为
y z x
x 2y z 0
2
2
如图,
x 5 y 4 xy x 0
,
( 1) 消 去 z 得 投 影
z 0
2
2
x 5 z 2 xz 4 x 0
( 2) 消 去 y 得 投 影
,
y 0
2
2
y z 2y z 0
.
( 3) 消 去 x 得 投 影
x 0
2
2
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空
间
立
体
曲
面
例6 设一个立体 ,由上半球面
和 z
z
2
2
3 ( x y )锥面所围成 , 求它在 xoy
2
2
面上的投影 .
解
4 x y
半球面和锥面的交线为
z
C :
z
4 x y ,
2
2
3( x y ),
消去 z 得投影柱面
2
2
x y 1,
2
2
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x y 1,
z 0.
2
2
所求立体在
一个圆,
xoy 面上的投影为
x y 1.
2
2
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程.
F ( x, y, z ) 0
G ( x , y , z ) 0
x x( t )
y y( t )
z z( t )
空间曲线在坐标面上的投影.
H ( x, y) 0
z 0
R( y , z ) 0
x 0
T ( x , z ) 0
y 0
思考题
求椭圆抛物面 2 y
2
x z 与抛物柱面
2
2 x z 的 交 线 关 于 xoy 面 的 投 影 柱 面 和
在 xoy 面 上 的 投 影 曲 线 方 程 .
2
思考题解答
2 y x z
,
交线方程为
2
2 x z
2
消去z 得投影柱面
2
x y 1,
2
2
x y 1
.
z 0
2
在 xoy 面上的投影为
2