Transcript 双曲抛物面
双曲抛物面(马鞍面)
x
2
p
2
y
2
q
2
z
z
截痕法
用z = a截曲面
x
0
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
y
双曲抛物面(马鞍面)
x
2
p
2
y
2
q
2
z
z
截痕法
用z = a截曲面
x
0
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
y
.
双曲抛物面(马鞍面)
x
2
p
2
y
2
q
2
z
z
截痕法
用z = a截曲面
x
0
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
y
.
x
2
2p
y
2
2q
z ( p 与 q 同号)
双曲抛物面(马鞍面)
用截痕法讨论: 设 p 0 , q 0
图形如下:
z
o
x
y
作图一
平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6
z
x+y+z=6
3x+y=6
0
2
x
6
6
y
17. 作图练习一
平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6
z
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
2
x
6
6
y
17. 作图练习一
平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6
z
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
2
.
4
x
6
6
y
17. 作图练习一
平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6
z
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
2
.
4
x
6
6
y
17. 作图练习一
平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6
z
x+y+z=6
0
2
.
4
x
6
6
y
17. 作图练习一
平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6
0
2
.
4
x
6
z
6
y
18. 作图练习二
作出曲面 x y
a,x z
a , x , y , z 所围立体图
z
0
a
a
x
y
18. 作图练习二
作出曲面 x y
a,x z
a , x , y , z 所围立体图
z
y=0
x=0
.
0
z=0
a
x
a
y
18. 作图练习二
作出曲面 x y
a,x z
a , x , y , z 所围立体图
学画草图
z
a
0
.
a
x
a
y
19. 作图练习三
作出曲面
z
x y
和 x y z 所围立体图形
z
1
0
1
x
–1
y
20. 作图练习四
平面 x a , y a , z a , x y z
a 在第一卦限所围立体图
z
3
a
2
a
0
a
3
2
3
2
x
a
a
a
y
20. 作图练习四
平面 x a , y a , z a , x y z
a 在第一卦限所围立体图
z
3
a
2
a
0
a
3
2
.
3
2
x
a
a
a
y
20. 作图练习四
平面 x a , y a , z a , x y z
a 在第一卦限所围立体图
z
3
a
2
a
0
a
3
2
.
3
2
x
a
a
a
y
20. 作图练习四
平面 x a , y a , z a , x y z
问题:
这是个怎样的立体?
a 在第一卦限所围立体图
z
3
这是个七面体
a
2
a
x=0
y=0
a
0
3
z=0
3
.
2
x
a
a
2
a
y
§4.7二次曲面的直纹性
一 定义:由一族直线形成的曲面称为直纹
面,其中每条直线都称为它的直母线。
注:柱面、锥面显然都是直纹面,但椭球面,双叶双曲面与椭圆
抛物面均不是直纹面。
二 单叶双曲面的直纹性:
设有单叶双曲面
(1)等价于
x
2
a
2
y
2
b
2
z
2
c
2
1
(1)
y
y
( )( ) 1 1
a c
a c
b
b
x
z
x
z
(2)
即
y
y x z
x z
:
1 1 :
b
b a c
a c
(3)
对u 0,方程组
z
y
x
( ) u (1 )
a
c
b
( x z ) 1 (1 y )
a
c
u
b
x z
a c 0
1 y 0
b
(4)
表示一直线,另外
( 5) 及
z
x
0
a
c
1 y 0
b
( 6)
也表示直线。显然由(4)—(6)构成的直线族中每
一直线均在单叶双曲面(1)上。
(4),(5),(6)合起来组成的一族直线叫做u族直
线。
容易知道,u族直线中的任何一条直线上的点都在曲面(1)
上。
再者对M 0 ( x0 , y0 , z0 ) (1)有
x0 z0 x0 z0 y0 y0
1 1
a c a c b b
注 意1
y0
b
与1
y0
b
不 全 为0
1 若
1
y0
0
b
x0
z0
x。 z。
c
a
0
0时,令u=
当
y0
c
a
1
b
则 M 0 (4)
当
x0
a
z0
c
0,则1
y0
b
0,则M 0 (5)
2 若1
y0
y0
0, 则 1
b
当
x0
a
z0
b
1
0,取u
c
x0
a
当
x0
a
0
z0
y0
b 0,则M (4)
0
z0
c
0时 , 有 M
c
0
(6)
有单叶双曲面是由直线族(4)- (6)构成的,
单叶双曲面是直纹面.
同理,由
z
y
x
v(1 )
a
c
b
x z 1 (1 y )
c
v
b
a
z
x
0
a
c
1 y 0
b
v0
z
x
0
a
c
(5 ) 及
1 y 0
b
(4)
(6)
组成的直线族也可构成单叶双曲面( 1) , 为方便记忆,
将( 4) - ( 6) 和( 4) - ( 6) 写成如下统一形式
z
x
t ( ) v(1
a c
v( x z ) t (1
a c
x
z
( ) u (1
a
c
u ( x z ) (1
a
c
y
)
b
y
v, t 不全为0
(7)
)
b
y
)
b
y
u, 不 全 为0
(7 )
)
b
分 别 称 ( 7) ( 7 ) 为 单 叶 双 曲 面 ( 1) 的 u族 , v族 直 母 线
推论 对于单叶双曲面上的点,两族直母线
中各有一条直母线通过这点。
三 双曲抛物面的直纹性:
y
2
a
b
y x
y
x
2z
b a
b
a
2
对于双曲抛物面
有
x
2
2
2z
(1)
(2)
与单叶双曲面的情形完全类似,可以证明:直线族:
y
x
2u
a
b
u( x y ) z
a
b
u为任意实数
(3)
可构成双曲抛物面( 1) , 而
y
x
2v
a
b
v( x y ) z
a
b
v为 任 意 实 数
也可构成双曲抛物面
( 3 )
(1)是 直 纹 面 , 分 别 称 ( 3) ( 3 ) 为 双 曲 抛 物 面 (1)的 u 族 ,
v族 直 母 线 .
推论 对于双曲抛物面上的点,两族直母线中各
有一条直母线通过这点。
四 单叶双曲面、双曲抛物面的直母线性质:
定理1:单叶双曲面上异族的任意两直母线
必共面,而双曲抛物面上异族的任意两直母线必
相交。
证:(只证定理前面部分,后面部分留给读者)
由 (7 )与 (7 )的 四 个 方 程 的 系 数 和 常 数 项 所 组 成 的 行 列 式 为
a
u
b
c
u
a
b
t
v
t
a
b
c
v
a
u
t
0
u
u
1
u
u
abc
t
v
t
v
v
t
v
t
v
v
t
c
0
v
t
0 v
u
4 0 u
abc t
c
b
u
0
0
u
4 0 u 0
v
abc t
t
0
v
0
0
0 v t
4
abc
( uvt uvt ) 0
根据第三章第八节例3知道这两条直线一定是
共面的,所以单叶双曲面上异族的两直母线必共
面。
•
定理2:单叶双曲面或双曲抛物面上同族的
任意两直母线总是异面直线,而且双曲抛物面
同族的全体直母线平行于同一平面。
例
求过单叶双曲面
x
2
9
解
单叶双曲面
y
2
4
x
2
9
z
2
1上的点(6, 2,8)的直母线方程
16
y
2
4
z
2
16
1的两直母线方程
x
z
( ) u (1
3
4
u ( x z ) (1
3
4
z
x
)
t ( ) v (1
3
2
4
与
y
x
z
)
v( ) t (1
2
3
4
y
y
)
2
y
)
2
把 点 (6, 2, 8 ) 分 别 代 入 上 面 两 个 方 程 组 , 求 得 : u 1 : 2 与 t 0
代 入 直 母 线 方 程 , 得 过 ( 6 , 2 , 8 )的 两 直 母 线 分 别 为
z
y
y
x
2(1
)
1
0
3
4
2
2
与
2( x z ) 1 y
x z 0
4
3
4
2
3
4 x 12 y 3 z 24 0
y 2 0
即
与
4 x 3 y 3z 6 0
4 x 3z 0
本章学习结束
谢谢大家