Transcript 双曲抛物面

双曲抛物面（马鞍面）
x
2
p
2

y
2
q
2
 z
z
截痕法
用z = a截曲面
x
0
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
y
双曲抛物面（马鞍面）
x
2
p
2

y
2
q
2
 z
z
截痕法
用z = a截曲面
x
0
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
y
.
双曲抛物面（马鞍面）
x
2
p
2

y
2
q
2
 z
z
截痕法
用z = a截曲面
x
0
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
y
.

x
2
2p

y
2
2q
 z （ p 与 q 同号）
双曲抛物面（马鞍面）
用截痕法讨论： 设 p  0 , q  0
图形如下：
z
o
x
y
作图一
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6
z
x+y+z=6
3x+y=6
0
2
x
6
6
y
17. 作图练习一
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6
z
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
2
x
6
6
y
17. 作图练习一
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6
z
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
2
.
4
x
6
6
y
17. 作图练习一
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6
z
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
2
.
4
x
6
6
y
17. 作图练习一
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6
z
x+y+z=6
0
2
.
4
x
6
6
y
17. 作图练习一
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6
0
2
.
4
x
6
z
6
y
18. 作图练习二

作出曲面 x  y



 a，x  z


 a , x   , y   , z   所围立体图
z
0
a
a
x
y
18. 作图练习二

作出曲面 x  y



 a，x  z


 a , x   , y   , z   所围立体图
z
y=0
x=0
.
0
z=0
a
x
a
y
18. 作图练习二

作出曲面 x  y



 a，x  z


 a , x   , y   , z   所围立体图
学画草图
z
a
0
.
a
x
a
y
19. 作图练习三
作出曲面
z 

x  y



和 x  y  z   所围立体图形
z
1
0
1
x
–1
y
20. 作图练习四
平面 x  a , y  a , z  a , x  y  z 


a 在第一卦限所围立体图
z
3
a
2
a
0
a
3
2
3
2
x
a
a
a
y
20. 作图练习四
平面 x  a , y  a , z  a , x  y  z 


a 在第一卦限所围立体图
z
3
a
2
a
0
a
3
2
.
3
2
x
a
a
a
y
20. 作图练习四
平面 x  a , y  a , z  a , x  y  z 


a 在第一卦限所围立体图
z
3
a
2
a
0
a
3
2
.
3
2
x
a
a
a
y
20. 作图练习四
平面 x  a , y  a , z  a , x  y  z 
问题：
这是个怎样的立体？


a 在第一卦限所围立体图
z
3
这是个七面体
a
2
a
x=0
y=0
a
0
3
z=0
3
.
2
x
a
a
2
a
y
§4.7二次曲面的直纹性
一 定义：由一族直线形成的曲面称为直纹
面，其中每条直线都称为它的直母线。
注：柱面、锥面显然都是直纹面，但椭球面，双叶双曲面与椭圆
抛物面均不是直纹面。
二 单叶双曲面的直纹性:
设有单叶双曲面
（1）等价于
x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
1
（1）
y 
y

（  ）(  )   1   1  
a c
a c 
b 
b
x
z
x
z
(2)
即
y 
y  x z
 x z 
  ：
 1     1  ：
  
b 
b a c
a c 
（3）
对u  0，方程组
z
y
 x
(  )  u (1  )

 a
c
b

 ( x  z )  1 (1  y )

a
c
u
b

x z
 a  c  0

1  y  0

b
（4）
表示一直线，另外
（ 5） 及
z
 x

 0

a
c

1  y  0

b

（ 6）
也表示直线。显然由（4）—（6）构成的直线族中每
一直线均在单叶双曲面（1）上。
（4），（5），（6）合起来组成的一族直线叫做u族直
线。
容易知道，u族直线中的任何一条直线上的点都在曲面（1）
上。
再者对M 0 ( x0 , y0 , z0 )  (1)有
 x0 z0  x0 z0   y0  y0 
       1   1  
 a c  a c   b  b 
注 意1 
y0
b
与1 
y0
b
不 全 为0
1 若
1
y0
 0
b
x0

z0
x。 z。
c
a
0
 0时，令u=

当
y0
c
a
1
b
则 M 0  (4)
当
x0
a

z0
c
 0，则1 
y0
b
 0，则M 0  (5)
2 若1 
y0
y0
 0， 则 1 
b
当
x0

a
z0
b
1
 0，取u 
c
x0
a
当
x0
a

 0
z0
y0

b  0，则M  (4)
0
z0
c
 0时 ， 有 M
c
0
 (6)
 有单叶双曲面是由直线族（4）- （6）构成的，
 单叶双曲面是直纹面.
同理，由
z
y
x

 v(1  )

a
c
b

 x  z  1 (1  y )

c
v
b
a
z
 x

 0

a
c

1  y  0

b

v0
z
 x

 0

a
c

(5 ) 及 
1  y  0

b

(4)
(6)
组成的直线族也可构成单叶双曲面( 1) , 为方便记忆，
将( 4) - ( 6) 和( 4) - ( 6) 写成如下统一形式
z
 x
t (  )  v(1 

 a c

v( x  z )  t (1 

 a c
x
z

 (  )  u (1 


a
c

 u ( x  z )   (1 

a
c

y
)
b
y
v, t 不全为0
（7）
)
b
y
)
b
y
u, 不 全 为0
(7 )
)
b
分 别 称 ( 7) ( 7  ) 为 单 叶 双 曲 面 ( 1) 的 u族 , v族 直 母 线
推论 对于单叶双曲面上的点，两族直母线
中各有一条直母线通过这点。
三 双曲抛物面的直纹性：
y
2
a
b
y  x
y 
 x




  2z
b  a
b 
 a
2
对于双曲抛物面
有
x
2
2

 2z
（1）
(2)
与单叶双曲面的情形完全类似，可以证明：直线族：
y
 x

 2u

a
b

 u( x  y )  z

a
b

u为任意实数
（3）
可构成双曲抛物面( 1) , 而
y
 x

 2v

 a
b

v( x  y )  z

a
b

v为 任 意 实 数
也可构成双曲抛物面
（ 3 ）
 (1)是 直 纹 面 ， 分 别 称 ( 3) ( 3  ) 为 双 曲 抛 物 面 (1)的 u 族 ，
v族 直 母 线 .
推论 对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各
有一条直母线通过这点。
四 单叶双曲面、双曲抛物面的直母线性质：
定理1：单叶双曲面上异族的任意两直母线
必共面，而双曲抛物面上异族的任意两直母线必
相交。
证：（只证定理前面部分，后面部分留给读者）
由 (7 )与 (7  )的 四 个 方 程 的 系 数 和 常 数 项 所 组 成 的 行 列 式 为


a
u

b
c
u

a
b
t
v
t
a
b
c
v

a

u

t

0
u

u
1
u

u

abc
t
v
t
v
v
t
v
t
 
v
v
t
c
0

v
t
0 v

u
4 0  u 
abc t


c
b

u

0
0
u
4 0  u 0
v
abc t
t
0
v
0
0
0 v t

4
abc
( uvt   uvt )  0
根据第三章第八节例3知道这两条直线一定是
共面的，所以单叶双曲面上异族的两直母线必共
面。
•
定理2：单叶双曲面或双曲抛物面上同族的
任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面
同族的全体直母线平行于同一平面。
例
求过单叶双曲面
x
2

9
解
单叶双曲面
y
2
4
x
2
9

z

2
 1上的点(6, 2,8)的直母线方程
16
y
2
4

z
2
16
 1的两直母线方程
x
z

 (  )  u (1 


3
4

u ( x  z )   (1 

3
4

z
 x
)
t (  )  v (1 

 3
2
4
与
y
x
z

)
v(  )  t (1 

2
3
4

y
y
)
2
y
)
2
把 点 (6, 2, 8 ) 分 别 代 入 上 面 两 个 方 程 组 ， 求 得  : u  1 : 2 与 t  0
代 入 直 母 线 方 程 ， 得 过 ( 6 , 2 , 8 )的 两 直 母 线 分 别 为
z
y
y
x


 2(1 
)
1
 0


3

4
2
2
与

 2( x  z )  1  y
x  z  0


4
3
4
2
3

 4 x  12 y  3 z  24  0
y  2  0
即
与
4 x  3 y  3z  6  0
4 x  3z  0
本章学习结束
谢谢大家