Transcript 椭圆抛物面方程

特殊地：当 p  q 时，方程变为
2
2
x
y

z
2p 2p
( p  0)
旋转抛物面
2
xoz
x
（由
面上的抛物线  2 pz 绕 z 轴旋
转而成的）
与平面 z  z1 ( z1  0) 的交线为圆.
 x  y  2 pz1

 z  z1
2
2
当 z1 变动时，这种圆
的中心都在 z 轴上.
2 性质与形状：
• （i）对称性：双叶双曲面（1）关于三坐标轴，三
坐标面及原点对称。
（ii）有界性：由（1）可见，双叶双曲面为无界曲
（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线：
面。
双叶双曲面(1)与x, y轴不交，而与z轴交于(0,0, c)  顶点
又(1)与三坐标面交于
 y2 z2
 x2 z 2
 x2 y 2
 2  2  1  2  2  1  2  2  1
,(2)  a c
,(3)  a b
,(4)
b c
x  0
y  0
z  0



(2)(3)均为双曲线，其实轴为z轴，虚轴分别为y轴和x轴，其顶点
为( 0, 0,  c) , ( 1) 与xoy面不交.
（iv）与平行于坐标面平面的交线：
为考察双叶双曲面(1)的形状，先用平行于xoy面的平面
 x2 y 2
k2
z  k去截(1), 其截线为
 2  2  1  2
c , (5)
a b
z  k
当 k  c时，
(1)与z  k不相交，
当 k  c时，
(1)与z  k交于( 0, 0,  c)
k2
当 k  c时，
(5)为椭圆，其顶点为( 0,  b 1  2 ) ( 2)
c
k2
k2
k2
(  a 1  2 , 0, k) ( 3) , 其半轴为b 1  2 , a 1  2
c
c
c
可见，双叶双曲面（1）是由z=±C外的一系列
“平行”椭圆构成。这些椭圆的顶点在双曲线
（2）和（3）上变化。
若用平行于yoz面的平面去截( 1) , 其截线为
y z
k
 2  2  1  2
a
b c
x  k,

2
2
2
(6)
对k，
(6)均为双曲线，其实轴 // z轴，虚轴 // y轴，其顶点
k2
（k , 0, c 1  2 )  (3)
a
最后，若用平行于xoz面的平面去截(1), 其截线情况与上述相反
单叶双曲面与双叶双曲面统称为双曲面
例
用一组平行平面z  h(h为任意实数)截割单叶双曲面
x2 y 2 z 2
 2  2 1
2
a b c
解
即
(a  b) 得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹.
 x2 y 2
h2
 2  2  1 2
这一族椭圆的方程为  a
b
c
 z  h,


x2
y2

1

2
2
 2
h
h
2
 a (1  2 ) b (1  2 )
c
c


 z  h.
h2
h2
因为a  b，所以椭圆长半轴为a 1  2 ，短半轴为b 1  2
c
c
从而焦点坐标为
2

h
2
2
 x   (a  b )(1  2 )

c

y  0
 z  h.
 x
z
 2 1
 2
2
c
a  b
y  0

2
消去参数h得
2
抛物面
椭圆抛物面
x2
y2
 2  2z
2
p
q
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
x
椭圆抛物面方程
2
2
x
y

 z （ p 与 q 同号）
2 p 2q
椭圆抛物面
用截痕法讨论： 设 p  0, q  0
（1）用坐标面 xoy ( z  0) 与曲面相截
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面 z  z1 ( z1  0) 的交线为椭圆.
2
 x2
y

1

 2 pz1 2qz1
z  z

1
当 z1 变动时，这种椭
圆的中心都在 z 轴上.
与平面 z  z1 ( z1  0) 不相交.
（2）用坐标面 xoz ( y  0)与曲面相截
 x  2 pz
截得抛物线 
y  0
2
与平面 y  y1 的交线为抛物线.
 2

y12 
 x  2 p z  
2q 


y  y

1
2

y1 
它的轴平行于 z 轴. 顶点  0, y1 , 
2q 

（3）用坐标面 yoz ( x  0)， x  x1与曲面相截
均可得抛物线.
同理当 p  0, q  0 时可类似讨论.
2、性质和形状：
(i)对称性：椭圆抛物面(1)关于z轴，yoz面，xoz面对称
在ch6中，我们将会知道椭圆抛物面无对称中心.
1  x2 y 2 
(ii)有界性：由( 1) 知z   2  2   0，
 椭圆抛物
2a b 
面(1)位于xoy面的上方，且为无界的.
（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线
(1)与三坐标轴均交于原点  顶点，
(1)与三坐标面交于
x y
 y  2b z
 x  2a z  2  2  0
(2), 
(3)  a b
(4)

x  0
y  0
z  0

2
2
2
2
2
2
（2），（3）均为抛物线，其顶点均为原点，其开口
方向均指z轴正向，它们叫做椭圆抛物面的主抛物线。
对称轴均为z轴；而（4）为原点。
（iv）与平行于坐标面平面的交线：
首先，( 1) 与平行于xoy面的平面z  k交于
2
2
x y
 2  2  2k
 k  0  (5)
a b
z  k

当k  0时，
(5)为原点
当k  0时,(5)为椭圆，其顶点为(0, b 2k , k )  (2),
( a 2k ,0, k )  (3)
可见，椭圆抛物面(1)是由xoy面上方的一系列“ 平行”
椭圆构成，这些椭圆的顶点在抛物线(2)和(3)上变化.
另外，椭圆抛物面(1)与平行于yoz面的平面x  k交于
 2
h
2
 y  2b ( z  2 )
2a

x  k

2
(6)
2
k
对k，
(6)均为全等的抛物线，其顶点(k , 0, 2 )  (3)，
2a
对称轴 // z轴，开口方向朝z轴正向(与(3)的开口方向一致)
最后, 若用平行于xoz面的平面去截(1)，其截线情况
于上类似，由此可得椭圆抛物面的几何特征如下：
椭圆抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线
移动而形成的轨迹，在移动过程中，动抛
物线的顶点始终在定抛物线上，开口方向
与定抛物线开口方向一致，且它们所在平
面始终保持垂直。
椭圆抛物面的图形如下：
z
z
o
x
x
o
y
y
p  0, q  0
p  0, q  0