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精品课程《解析几何》

§4.4 椭球面


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精品课程《解析几何》

一、椭球面的概念
二、椭球面的形状和性质
三、椭球面的参数方程
四、例题


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精品课程《解析几何》

一、椭球面的概念
1 方程定义法:
x

2

y

2

z

2

在直角坐标系下，由 a  b  c  1 方程所表示的曲面叫做
椭球面（椭圆面elliptic surface）.
2

方程

x

2

a

2



y

2

b

2

其中 a  b  c



z

2

c

2

 1

, 且

2

2

叫做椭球面的标准方程.
a  0, b  0, c  0

.

注：
1°前三节，我们是从曲面的构成上去研究曲面即：从图形到方
程；从本节开始研究二次曲线，从其定义可以看出我们是从方
程到图形进行研究的，即是从方程中探讨它的形状和性质.


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2°椭球面由上节的知识可知其可以分成以下几类：
（1） a  b  c ，长形旋转椭球面(prolate ellipsoid)；
（2） a  c  b ，扁形旋转椭球面(oblate ellipsoid)；
（3） a  b  c ，球面(sphere)；
（4） a , b , c 均不相等，三轴椭球面；
（5） x  y  z   1 ，虚椭球面(imaginary ellipsoid).
2

a

2

2

b

2

2

c

2

球面

椭球面的几种特殊情况：
(1)

(2)

a  b  c,

a  b  c,

x

2

a

2

x

2

a

2





y

2

b

2

y

2

b

2





z

2

c

2

1  x  y  z  r
2

z

2

c

2

1

x

2

a

2

2

2

y z
2



b

2

2

1

2

长形旋转椭球
面


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(3)

a  c  b,

x

2

a

2

y

2

b

2



x

2

a

2





z

2

c

2

y

2

b

2



z

2

c

2

x z
2

1 

a

2

2



y

2

b

2

1

 1,  a  b  c 

三轴椭球面

2 轨迹定义法
一直线分别交坐标面

yO z , zO x , xO y

时，直线上的三定点

A, B , C

外直线上有第四个点
为

a, b, c

扁形旋转椭球面

P

,它与

,于

A, B , C

三点，当直线变动

也分别在三个坐标面上变动，另
A, B , C

三点的距离分别

，当直线按照这样的规定（即保持

三坐标面上）变动时， P

点的轨迹为椭球面

分别在

A, B , C
x

2

a

2



y

2

b

2



z

2

c

2

1


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应用实例：

上海科技城椭球体玻璃幕墙


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二、椭球面的形状和性质
1 对称性（symmetric） ：
（1）在方程（1）中，以－z代z，方程不变，故椭球面（1）关
于xoy平面对称. 同理椭球面（1）关于yoz平面和zox平面都对称.
椭球面的对称平面称为它的主平面.
（2）在方程（1）中，同时以－y和－z代替y和z，方程不变，故
椭球面（1）关于x轴对称. 同理，椭球面（1）关于y轴和z轴也
对称. 椭球面的对称轴称为它的主轴.
（3）在方程（1）中，同时以－x，－y和－z代替x，y和z，方程
不变，故椭球面（1）关于坐标原点对称. 椭球面的对称中心称
为它的中心.
（4）在a，b，c三个数中，若有两个相等，则表示一个旋转椭球
面，而当这三个数都相等时，就是一个球面. 所以球面和旋转椭
球面都是椭球面的特殊情形.
总结：椭球面关于三个坐标平面，三条坐标轴和坐标原点都对称.


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2 顶点，轴，半轴及截距(vertex and intercept) ：
（1）椭球面与其对称轴（即3坐标轴）的6个交点(±a，0，0)，
(0，±b，0)，(0，0，±c)称为椭球面的顶点.
（2）如果a > b > c >0，则分别称2a，2b，2c为椭球面的长
轴、中轴和短轴，而依称a，b，c为椭球面的半长轴、半中轴
和半短轴. 这里的轴和半轴都是一个长度概念.
（3）  a ，  b ，  c 分别为椭球面在个三坐标轴上的截
距.

3 图形范围：

从椭球面的方程可以看出，有| x |≤a，| y |≤b，| z
|≤c,因此椭球面被完全封闭在一个长方体的内部，此长方体
由6个平面x =±a，y = ±b，z = ±c围成，这6个平面都与
椭球面相切，切点就是椭球面的6个顶点.


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4.主截线：
平行截割法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察
其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。

截口是曲面与平面的交线

椭球面

x

2

a

2



y

2

b

2



z

2

c

2

 1 与三个坐标面的交线


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2
 x2
y
 2  2 1
xOy面 :  a
b
z  0


椭球面的主截线（主椭圆）

 x2 z 2
 2  2 1
xOz面 :  a
c
y  0


 y2 z2
 2  2 1
yOz面 :  b
c
x  0


z

椭球面

o
x

y


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z

5.平截线：
x

2

a

2



y

2

b

2



z

2

c

2

c

1

用z = h截曲面
o

用y = m截曲面
用x = n截曲面

b

a
x

椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面
可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.

y


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用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：
2
2
 x2
y
h
 2  2  1 2
b
c
a
z  h


h  c
h  c

h  c

(5)

，(5)无图形；
，(5)表示两个点 ( 0 , 0 ,  c ) ；

(5)表示一个椭圆，两半轴长分别为
a 1

h

2

c

2

b 1

h

2

c

2

由于h是变化的，(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成由
一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平
面与坐标面xoy平行.


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三、椭球面的参数方程
x

2

a

2



y

2

b

2



z

2

c

2

1

 x  a cos  cos 


 

  y  b cos  sin       , 0    2  
2
 2

 z  c sin 



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四、例题
2
 x2
y

1

例1 已知椭球面的轴与三坐标轴重合，且通过椭圆  9 16
z  0

求这个椭球面的方程。

例2 一直线分别交坐标面yO z , zO x , xO y

与点 M

1, 2,

23

于 A , B , C 三点，当直线变动时，直线上的

三定点 A , B , C 也分别在三个坐标面上变动，另外直线上有第四个点 P ，它与
A, B , C

，

三点的距离分别为 a , b , c ，当直线按照这样的规定（即保持 A , B , C 分别

在三坐标面上）变动时， P 点的轨迹为椭球面

x

2

a

2



y

2

b

2



z

2

c

2

1