Transcript 数学实验六

池州学院数学与计算机科学系
陈精兵
交通管理中的黄灯问题
——二阶常微分方程 的应用
一、问题引入
在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要
亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶
在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮
起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免
冲红灯违反交通规则. 假如你停不住，这里我
们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？
才能让过了街口的车都能过去？
二、问题分析

在十字路口行驶的车辆中，交警主要考虑的是机动车辆，因
为只要机动车辆能停住，那么非机动车辆自然也应当能停住.
驶近交叉路口的驾驶员在看到黄色信号灯后要立即做出决定：
是停车还是通过路口.如果他决定停车，必须有足够的距离能
让他能停得住车. 也就是说，在街道上存在着一条无形的线，
从这条线到街口的距离与此街道的法定速度有关，法定速度
越大，此距离也越大.当黄灯亮起时车子到路口的距离小于此
距离时不能停车，否则会冲出路口. 大于此距离时必须停车，
等于此距离时可以停车也可以通过路口（注：此街道的法定
速度由另一问题讨论，制定法定速度的目的是为了最大限度
地发挥这一街道的作用）.对于那些已经过线而无法停住的车
辆，黄灯又必须留下足够的时间使它们能顺利地通过路口.
 根据上述分析，我们确定了求解这一问题的
步骤如下：
第1步. 根据该街道的法定速度 v0求出停车线
位 置（即停车线到街口的距离）；
第2步. 根据停车线位置及法定速度确定黄灯该
亮多久.
三、停车线的确定
要确定停车线位置应当考虑到两点：
（1）驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间 ，
t1
在这段时间里，驾驶员尚未刹车.
（2）驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，
我们把这段距离称为刹车距离.
 驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间）t 1
较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通
部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照时都
必须经过测试）.例如，不失一般性，我们可以假设
它为1秒，（反应时间的长短并不影响到计算方
法）.


停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦
力，该摩擦力使汽车减速并最终停下.设汽车
质量为m,刹车摩擦系数为f，x(t )为刹车后在t时
刻内行驶的距离，根据刹车规律，可假设刹
车制动力为 fmg（g为重力加速度）.由牛顿
第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动
方程.

d 2x
 m 2   fm g
dt

dx
 x(0)  0,
 v0

dt t o
(1)
在方程(1)两边同除以m并积分一次，并注意
到当 t  0
时，
dx
  fgt  v0
dt
dx
 v0
dt
得到
(2)
dx
dt
刹车时间 t 2 可这样求得，当 t  t 2 时，  0 ,故
v0
t2 
fg
将（2）再积分一次，得
1
x(t )   fgt 2  v0 t ，
2
v0
将 t 2  fg
代入，即可求得刹车距离为
1 v02
x(t 2 ) 
2 fg
.
据此可知，停车线到路口的距离应为：
2
v
1 0
L  v0 t1 
2 fg
，
等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，
第二项为刹车距离 .
四、黄灯时间的计算
 现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久
了.在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能
保证已经过线的车辆顺利地通过街口.记街
道的宽度为D（很容易测得），平均车身长
度为 l ，这些车辆应通过的路程最长可达
到 L  D  l ，因而，为保证过线的车辆全
部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为：
L Dl
T
v0
.
谢谢大家！