Transcript 解析几何第四章

解析几何
第四章：柱面、锥面、
旋转曲面与二次曲面
柱面及其方程
一、柱面的定义
定义 平行于定方向且与一条定曲线相交的
一族平行直线所生成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线，
平行直线中的
每一条直线都
叫柱面的母线.
母线
准
线
二、柱面方程的推导
曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程F ( x , y , z )  0 有下述关系：
（1） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z )  0 就叫做曲面 S 的方程，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
二、柱面方程的推导
设柱面的准线方程为：
 F1  x , y , z   0

 F2  x , y , z   0
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
母线的方向数为：
M ( x, y, z )
X ,Y , Z
若 M1 ( x1 , y1 , z1 )为准线上的任意一点，
 F1  x1 , y1 , z1   0

 F2  x1 , y1 , z1   0
（1）
则过的母线方程为：
x  x1
y  y1
z  z1


X
Y
Z
 F1  x1 , y1 , z1   0

 F2  x1 , y1 , z1   0
通过以上的几个方程消去
F ( x, y, z )  0
（1）
x1 , y1 , z1
（2）
 x2  y2  z2  1
例1 设柱面的准线方程为 
2
2
2
2
x

2
y

z
2

母线的方向数为  1,0,1求此柱面的方程。
解： 设 M1 ( x1 , y1 , z1 )为准线上的任意一点，
x1  y1  z1  1
2
2
2
2 x1  2 y1  z1  2
2
2
2
过 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 的母线为
x  x1
y  y1
z  z1


t
1
0
1
所求柱面的方程为：
( x  z )2  y 2  1
x
y 1 z 1

例2、已知圆柱面的轴为 
1
2
2
点(1,-2,1) 在此圆柱面上，求此圆柱面的方程
，
只含 x, y 而缺 z 的方程F ( x , y )  0 ，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为 xoy 面上曲线 C :F ( x , y )  0 .
（其他类推）
从柱面方程看柱面的特征：
实
例
y2 z2
 2  1 椭圆柱面， 母线// x 轴
2
b c
2
2
x
y
z轴
母线//
双曲柱面
，


1
a 2 b2
抛物柱面， 母线// y 轴
x 2  2 pz
2. 双曲柱面
1. 椭圆柱面
2
x2 y2
 2  2 1
a
b
2
x
y
 2 1
2
a
b
z
z
o
O
x
y
x
y
空间曲线的射影柱面
通过曲线  且母线垂直于坐标面的柱面称为
曲线  对坐标面射影的射影柱面，该柱面与坐标
面的交线叫做曲线  在坐标面上的射影曲线.
实例：设空间曲线为
F ( x, y, z)0,
:
G( x, y,z)0,
{
如果我们从上式中依次消去一个元，可得
F1 ( x , y )  0 ,
F2 ( x , z )  0,
F3 ( y , z )  0 ,
§4.2
锥面
定义4.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一
族直线所产生的曲面叫做锥面.
这些直线都叫做锥面的母线.
那个定点叫做锥面的顶点.
锥面的方程是一个三元方程.
特别当顶点在坐标原点时：
z
准线
顶点
x
0
y
锥面及其方程
定义：在空间中，通过一个定点且与定曲线相交的一族
直线所产生的曲面叫做锥面
定点叫做锥面的顶点，定曲线叫锥面的准线
F1(x,y,z)=0
设锥面的准线：
顶点为A(x0,y0,z0)
F2(x,y,z)=0
如果M1(x1,y1,z1)为准线上的任意点则锥面过M1的母线是
x  x0
y  y0
z  z0


x1  x0 y1  y0 z1  z 0
且
F1(x1,y1,z1)=0
F2(x1,y1,z1)=0
消去x1,y1,z1得到三元一次方程 F(x,y,z)=0为满足条件的锥面方程
 x2
y2
例1、锥面的顶点在原点，且准线为： 

 1
2
2
b
a
z  c

求锥面的方程。
例2、已知圆锥面的顶点为(1,2,3)，轴垂直于平面2x+2y-z+1=0，母
线与轴组成300角，试求这圆锥面的方程
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程：若 F (tx, ty, tz )  t n F ( x, y, z ).
n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；
z
反之，以原
点为顶点的锥面
的方程是n次齐次
方程 F(x,y,z)= 0.
锥面的准线不
唯一，和一切母线
都相交的每一条曲
线都可以作为它的
母线.
准线
顶点
x
0
y
§4.3 旋转曲面
定义4.3.1 以一条曲线绕其一条定直线旋
转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋
曲面.
这条定直线叫旋转曲面的旋转轴．
这条曲线叫旋转曲面的母线．
在空间直角坐标系下，
旋转曲面的母线为： F1(x,y,z)=0
F2(x,y,z)=0
x  x0
y  y0
z  z0


旋转轴为直线： X
Y
Z
其中：p0(x0,y0,z0)为轴上的一个定点,
X，Y，Z为旋转轴的方向数
Z
M1
设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意一点，
求出纬圆的方程
P0
O
X
Y
纬圆的方程可以看成下面的两
个曲面的交。
1、过点M0且与轴垂直的平面
Z
M1
P0
O
X
2、以p0点为中心，的p0M1长度为半径的球
又由于M1在母线上故其应满足母线的方程
联立这四个方程并消去参数 x1,y1,z1得到一个三元方程，
即为旋转曲面的方程:F(x,y,z)=0
Y
§4.3 旋转曲面
z
 f ( y, z )  0
曲线 C 
绕 z轴
x  0
C
o
y
§4.3 旋转曲面
z
 f ( y, z )  0
曲线 C 
绕z轴
x  0
.
C
o
y
x
§4.3 旋转曲面
z
 f ( y, z )  0
曲线 C 
x  0
绕 z轴
旋转一周得旋转曲面 S
P
.
M
 M(x,y,z)  S
S
f (y1, z1)=0
z1  z
| y1 | MP 
N (0, y1 , z1 )
x y
2
z1
z
o
2
x
y1
C
y
.
§4.3 旋转曲面
 f ( y, z )  0
曲线 C 
x  0
z
绕 z轴
P
旋转一周得旋转曲面 S
.
M
 M(x,y,z)  S
ff (y11,, zz11)=0
)=0
N (0, y1 , z1 )
S
.
z1
z
C
z1  z
| y1 | MP 
x y
2
o
2
y1
y
.
S：f (  x 2  y 2 , z )  0.
x
建立旋转曲面的方程：
如图
z
M (0, y , z )

 f ( y, z )  0
M
d
设 M ( x , y, z ),
(1) z  z1
o
（2）点 M 到 z 轴的距离
d
1
y
x
x  y | y1 |
2
1
2
将 z  z1 , y1   x  y 代入 f ( y1 , z1 )  0
2
得方程

2

f  x 2  y 2 , z  0,
1
方程
f 

x  y , z  0,
2
2
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z )  0 绕 z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z )  0
绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f  y,

 x  z  0.
2
2
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
生成的旋转曲面的方程．
2
2
x
z
（1）xOz 面上双曲线 2  2  1 分别绕 x 轴和 z 轴；
a
c
x
x
绕 x 轴旋转
x2 y2  z2

1
2
2
a
c
旋转双叶双曲面
o
y
o
z
y
z
2
2
x
z
（1）xOz 面上双曲线 2  2  1 分别绕 x 轴和 z 轴；
a
c
x y z
 2 1
2
a
c
2
绕 z 轴旋转
2
2
z
z
y
o
x
y
o
x
旋转单叶双曲面
2
2
y
z
 2 1
2
（2）yOz 面上椭圆 a
c
z
绕 y 轴和 z 轴；
绕 y 轴旋转
旋
转
椭
球
面
y
y
x z

1
2
2
a
c
2
2
2
x
z
绕 z 轴旋转
x y
z
 2 1
2
a
c
2
2
y
2
x
（3）yOz 面上抛物线
y  2 pz 绕 z 轴；
2
x 2  y 2  2 pz
旋转抛物面
z
x
o
z
y
p0
x
o
y
几种 特殊旋转曲面





1
2
3
4
5
双叶旋转曲面
单叶旋转曲面
旋转锥面
旋转抛物面
环面
1 双叶旋转双曲面
x
 x y



双曲线  a  b 

z  
绕 x 轴一周
0
y
1 双叶旋转双曲面
x
 x y



双曲线  a  b 

z  
绕 x 轴一周
.
z
0
y
1 双叶旋转双曲面
x
 x y



双曲线  a  b 

z  
绕 x 轴一周
z
得双叶旋转双曲面
x2 y2  z2

1
2
2
a
b
.
0
y
.
2 单叶旋转双曲面
y
 x2 y2
 2  2 1
b
上题双曲线  a
z  0

绕 y 轴一周
o
a
x
2 单叶旋转双曲面
上题双曲线
y
 x2 y2
 2  2 1
b
a
z  0

绕 y 轴一周
o
.
z
a
x
2 单叶旋转双曲面
上题双曲线
y
 x2 y2
 2  2 1
b
a
z  0

绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
x2  z2 y2
 2 1
2
a
b
z
a
x
.
3 旋转锥面
x
两条相交直线
 x2
y2
 2  2 =0
a
b

z = 0
绕 x 轴一周
o
y
3 旋转锥面
x
两条相交直线
 x2
y2
 2  2 =0
a
b

z = 0
绕 x 轴一周
z
o
y
.
3 旋转锥面
x
两条相交直线
 x2
y2
 2  2 =0
a
b

z = 0
z
绕 x 轴一周
得旋转锥面
x2 y2  z2

0
2
2
a
b
.
o
.
y
4 旋转抛物面
 y 2  az
抛物线  x  0 绕 z 轴一周

z
o
y
4 旋转抛物面
 y 2  az
抛物线  x  0 绕 z 轴一周

z
.
o
x
y
4 旋转抛物面
 y 2  az
抛物线  x  0 绕 z 轴一周

z
得旋转抛物面
x2  y2
z
a
.
.
o
x
生活中见过这个曲面吗？
y
例
卫星接收装置
.
5环面
圆（x  R) 2  y 2  r 2 ( R  r  0) 绕 y轴 旋转所成曲面
y
o
r
R
x
5环面
圆（x  R) 2  y 2  r 2 ( R  r  0) 绕 y轴 旋转所成曲面
y
o
x
.
z
5环面
圆（x  R) 2  y 2  r 2 ( R  r  0) 绕 y轴 旋转所成曲面
y
生活中见过这个曲面吗？
o
x
.
z
环面方程
(  x 2  z 2  R) 2 .  y 2  r 2
.
或 ( x 2  y 2  z 2  R 2  r 2 ) 2  4R 2 ( x 2  z 2 )
5 环面
.
救生圈
二次曲面
二次曲面的定义：
三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面形状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相
截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加
以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
椭球面
定义 在空间直角坐标系中， 方程
x2 y2 z2
 2  2 1
2
a
b
c
表示的曲面称为椭球面或椭圆面,
其中
a, b, c
为任意的正常数
当 a  b  c 时，方程表示的曲面是球面.
当 a, b, c中有两个相等时，方程表示旋转椭球面.
当 a, b, c都不相等时，方程表示的曲面是椭球面．
1 对称性
对称中心
x2 y2 z2
椭球面 2  2  2  1
a
b
c
椭球面关于坐标原点对称 对称平面
椭球面关于坐标面对称
椭球面关于坐标轴对称
2 范围
对称轴
椭球面有界的
x  a, y  b, z  c
它在六个平面
x  a, y  b, z  c 围成的长方体中．
x2 y2 z2
椭球面 2  2  2  1
a
b
c
3 与坐标轴的交点
椭球面与其对称轴的交点称为曲面的顶点
(a,0,0),(0, b,0)(0,0, c)
4 与坐标面的交线
 x2 y2 z2
 2  2  2 1
 a
b
c

x0

 y2 z2
 2  2 1
 b
c

x0

交线是椭圆
 x2 z2
 2  2 1
 a
c

y0

 x2 y2
 2  2 1
 a
b

z0

主截线
（或主椭
圆）
x2 y2 z2
椭球面 2  2  2  1
a
b
c
用平面 z  h 截曲面得到的交线的方程是
 x2 y2
h2
 2  2  1 2
a
b
c

zh

当 z  c 时，交线是椭圆，这个椭圆的半轴分别是
h2
a( 1  2 )
c
h2
b( 1  2 )
c
它的两轴端点分别是
 x
2
z
h
h2
( a( 1  2 ), 0, h)  a 2  c 2  1 (0, b( 1  2 ), h)
c
c

y

0

2
2
两轴端点分别在两个主椭圆上
 y2 z2
 2  2 1
 b
c

x0

当 z  c 时，交线为一点 (0,0, c) (0, 0, c)
 x2 y2
h2
 2  2  1 2
a
b
c

zh

当 z  c 时，无图形
椭球面可以看成是由一个椭圆的变动
（大小位置都改变）而产生的，
这个椭圆在变动中保持所在平面与 xoy
面平行，且两轴的端点分别在两个顶椭圆上．
z
c
o
a
x
b
y
椭球面的几种特殊情况：
(1) a  b,
x2 y2 z2
 2  2  1 旋转椭球面
2
a
a
c
2
2

x
z
z
由椭圆
绕
轴旋转而成．


1
2
2
c
a
y  0

x2  y2 z2
 2 1
方程可写为
2
a
c
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z
 z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
2
 2
a
2
2
2
x

y

(
c

z

1)
2
.
截面上圆的方程 
c
 z  z
1
( 2) a  b  c ,
x2 y2 z2
 2  2  1 球面
2
a
a
a
方程可写为 x 2  y 2  z 2  a 2 .
抛物面
椭圆抛物面
x2 y2
定义：由方程 2  2  2 z所表示的曲面叫做椭圆抛物面
a
b
a, b 为任意的正常数
分析得到：
1、椭圆抛物面对称于xoz与yoz坐标面，也对称于z轴，其没有
对称中心
2它与对称轴的交点的坐标为(0,0,0)，此点叫做椭圆抛物面的顶点
3、对于方程左端是一个>0的数，则椭圆抛物面在xoy平面的一侧，
即是在z>0的一侧
平行截割法
1、用坐标面去截割
x2=2a2z
y=0
(1)
用XOZ平面截
用YOZ平面截
y2=2b2z
(2)
x=0
这两个抛物线叫做椭圆抛物面的主抛物线，其开口方向都与的正向
一致
通过上式我们观察得到：
1、(1)(2)两个抛物面是相互垂直的
2、其顶点与轴都重合
3、有相同的开口方向
当用z=0来截曲面，得到一点(0,0,0)
x2
2、用平行于坐标面的平面截曲面
2
2
y
x +
2a2h 2b2h =1
z=h
对于相交的曲线为一个椭圆，其两对顶点为
当y=0时,( a 2h ,0,h)
当x=0时,(0, b 2h ,h)
易验证得：此两个点分别满足下面两个方程：
x2=2a2z
y=0
(1)
y2=2b2z
(2)
x=0
即是：椭圆的两对顶点在此两个抛物面上。