Transcript 解析几何第四章
解析几何
第四章:柱面、锥面、
旋转曲面与二次曲面
柱面及其方程
一、柱面的定义
定义 平行于定方向且与一条定曲线相交的
一族平行直线所生成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线,
平行直线中的
每一条直线都
叫柱面的母线.
母线
准
线
二、柱面方程的推导
曲面方程的定义:
如果曲面 S 与三元方程F ( x , y , z ) 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程;
(2)不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程;
那么,方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的方程,
而曲面 S 就叫做方程的图形.
二、柱面方程的推导
设柱面的准线方程为:
F1 x , y , z 0
F2 x , y , z 0
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
母线的方向数为:
M ( x, y, z )
X ,Y , Z
若 M1 ( x1 , y1 , z1 )为准线上的任意一点,
F1 x1 , y1 , z1 0
F2 x1 , y1 , z1 0
(1)
则过的母线方程为:
x x1
y y1
z z1
X
Y
Z
F1 x1 , y1 , z1 0
F2 x1 , y1 , z1 0
通过以上的几个方程消去
F ( x, y, z ) 0
(1)
x1 , y1 , z1
(2)
x2 y2 z2 1
例1 设柱面的准线方程为
2
2
2
2
x
2
y
z
2
母线的方向数为 1,0,1求此柱面的方程。
解: 设 M1 ( x1 , y1 , z1 )为准线上的任意一点,
x1 y1 z1 1
2
2
2
2 x1 2 y1 z1 2
2
2
2
过 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 的母线为
x x1
y y1
z z1
t
1
0
1
所求柱面的方程为:
( x z )2 y 2 1
x
y 1 z 1
例2、已知圆柱面的轴为
1
2
2
点(1,-2,1) 在此圆柱面上,求此圆柱面的方程
,
只含 x, y 而缺 z 的方程F ( x , y ) 0 ,在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面,其准线为 xoy 面上曲线 C :F ( x , y ) 0 .
(其他类推)
从柱面方程看柱面的特征:
实
例
y2 z2
2 1 椭圆柱面, 母线// x 轴
2
b c
2
2
x
y
z轴
母线//
双曲柱面
,
1
a 2 b2
抛物柱面, 母线// y 轴
x 2 2 pz
2. 双曲柱面
1. 椭圆柱面
2
x2 y2
2 2 1
a
b
2
x
y
2 1
2
a
b
z
z
o
O
x
y
x
y
空间曲线的射影柱面
通过曲线 且母线垂直于坐标面的柱面称为
曲线 对坐标面射影的射影柱面,该柱面与坐标
面的交线叫做曲线 在坐标面上的射影曲线.
实例:设空间曲线为
F ( x, y, z)0,
:
G( x, y,z)0,
{
如果我们从上式中依次消去一个元,可得
F1 ( x , y ) 0 ,
F2 ( x , z ) 0,
F3 ( y , z ) 0 ,
§4.2
锥面
定义4.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一
族直线所产生的曲面叫做锥面.
这些直线都叫做锥面的母线.
那个定点叫做锥面的顶点.
锥面的方程是一个三元方程.
特别当顶点在坐标原点时:
z
准线
顶点
x
0
y
锥面及其方程
定义:在空间中,通过一个定点且与定曲线相交的一族
直线所产生的曲面叫做锥面
定点叫做锥面的顶点,定曲线叫锥面的准线
F1(x,y,z)=0
设锥面的准线:
顶点为A(x0,y0,z0)
F2(x,y,z)=0
如果M1(x1,y1,z1)为准线上的任意点则锥面过M1的母线是
x x0
y y0
z z0
x1 x0 y1 y0 z1 z 0
且
F1(x1,y1,z1)=0
F2(x1,y1,z1)=0
消去x1,y1,z1得到三元一次方程 F(x,y,z)=0为满足条件的锥面方程
x2
y2
例1、锥面的顶点在原点,且准线为:
1
2
2
b
a
z c
求锥面的方程。
例2、已知圆锥面的顶点为(1,2,3),轴垂直于平面2x+2y-z+1=0,母
线与轴组成300角,试求这圆锥面的方程
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程:若 F (tx, ty, tz ) t n F ( x, y, z ).
n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面;
z
反之,以原
点为顶点的锥面
的方程是n次齐次
方程 F(x,y,z)= 0.
锥面的准线不
唯一,和一切母线
都相交的每一条曲
线都可以作为它的
母线.
准线
顶点
x
0
y
§4.3 旋转曲面
定义4.3.1 以一条曲线绕其一条定直线旋
转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋
曲面.
这条定直线叫旋转曲面的旋转轴.
这条曲线叫旋转曲面的母线.
在空间直角坐标系下,
旋转曲面的母线为: F1(x,y,z)=0
F2(x,y,z)=0
x x0
y y0
z z0
旋转轴为直线: X
Y
Z
其中:p0(x0,y0,z0)为轴上的一个定点,
X,Y,Z为旋转轴的方向数
Z
M1
设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意一点,
求出纬圆的方程
P0
O
X
Y
纬圆的方程可以看成下面的两
个曲面的交。
1、过点M0且与轴垂直的平面
Z
M1
P0
O
X
2、以p0点为中心,的p0M1长度为半径的球
又由于M1在母线上故其应满足母线的方程
联立这四个方程并消去参数 x1,y1,z1得到一个三元方程,
即为旋转曲面的方程:F(x,y,z)=0
Y
§4.3 旋转曲面
z
f ( y, z ) 0
曲线 C
绕 z轴
x 0
C
o
y
§4.3 旋转曲面
z
f ( y, z ) 0
曲线 C
绕z轴
x 0
.
C
o
y
x
§4.3 旋转曲面
z
f ( y, z ) 0
曲线 C
x 0
绕 z轴
旋转一周得旋转曲面 S
P
.
M
M(x,y,z) S
S
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP
N (0, y1 , z1 )
x y
2
z1
z
o
2
x
y1
C
y
.
§4.3 旋转曲面
f ( y, z ) 0
曲线 C
x 0
z
绕 z轴
P
旋转一周得旋转曲面 S
.
M
M(x,y,z) S
ff (y11,, zz11)=0
)=0
N (0, y1 , z1 )
S
.
z1
z
C
z1 z
| y1 | MP
x y
2
o
2
y1
y
.
S:f ( x 2 y 2 , z ) 0.
x
建立旋转曲面的方程:
如图
z
M (0, y , z )
f ( y, z ) 0
M
d
设 M ( x , y, z ),
(1) z z1
o
(2)点 M 到 z 轴的距离
d
1
y
x
x y | y1 |
2
1
2
将 z z1 , y1 x y 代入 f ( y1 , z1 ) 0
2
得方程
2
f x 2 y 2 , z 0,
1
方程
f
x y , z 0,
2
2
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
同理: yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0
绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y,
x z 0.
2
2
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求
生成的旋转曲面的方程.
2
2
x
z
(1)xOz 面上双曲线 2 2 1 分别绕 x 轴和 z 轴;
a
c
x
x
绕 x 轴旋转
x2 y2 z2
1
2
2
a
c
旋转双叶双曲面
o
y
o
z
y
z
2
2
x
z
(1)xOz 面上双曲线 2 2 1 分别绕 x 轴和 z 轴;
a
c
x y z
2 1
2
a
c
2
绕 z 轴旋转
2
2
z
z
y
o
x
y
o
x
旋转单叶双曲面
2
2
y
z
2 1
2
(2)yOz 面上椭圆 a
c
z
绕 y 轴和 z 轴;
绕 y 轴旋转
旋
转
椭
球
面
y
y
x z
1
2
2
a
c
2
2
2
x
z
绕 z 轴旋转
x y
z
2 1
2
a
c
2
2
y
2
x
(3)yOz 面上抛物线
y 2 pz 绕 z 轴;
2
x 2 y 2 2 pz
旋转抛物面
z
x
o
z
y
p0
x
o
y
几种 特殊旋转曲面
1
2
3
4
5
双叶旋转曲面
单叶旋转曲面
旋转锥面
旋转抛物面
环面
1 双叶旋转双曲面
x
x y
双曲线 a b
z
绕 x 轴一周
0
y
1 双叶旋转双曲面
x
x y
双曲线 a b
z
绕 x 轴一周
.
z
0
y
1 双叶旋转双曲面
x
x y
双曲线 a b
z
绕 x 轴一周
z
得双叶旋转双曲面
x2 y2 z2
1
2
2
a
b
.
0
y
.
2 单叶旋转双曲面
y
x2 y2
2 2 1
b
上题双曲线 a
z 0
绕 y 轴一周
o
a
x
2 单叶旋转双曲面
上题双曲线
y
x2 y2
2 2 1
b
a
z 0
绕 y 轴一周
o
.
z
a
x
2 单叶旋转双曲面
上题双曲线
y
x2 y2
2 2 1
b
a
z 0
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
x2 z2 y2
2 1
2
a
b
z
a
x
.
3 旋转锥面
x
两条相交直线
x2
y2
2 2 =0
a
b
z = 0
绕 x 轴一周
o
y
3 旋转锥面
x
两条相交直线
x2
y2
2 2 =0
a
b
z = 0
绕 x 轴一周
z
o
y
.
3 旋转锥面
x
两条相交直线
x2
y2
2 2 =0
a
b
z = 0
z
绕 x 轴一周
得旋转锥面
x2 y2 z2
0
2
2
a
b
.
o
.
y
4 旋转抛物面
y 2 az
抛物线 x 0 绕 z 轴一周
z
o
y
4 旋转抛物面
y 2 az
抛物线 x 0 绕 z 轴一周
z
.
o
x
y
4 旋转抛物面
y 2 az
抛物线 x 0 绕 z 轴一周
z
得旋转抛物面
x2 y2
z
a
.
.
o
x
生活中见过这个曲面吗?
y
例
卫星接收装置
.
5环面
圆(x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面
y
o
r
R
x
5环面
圆(x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面
y
o
x
.
z
5环面
圆(x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面
y
生活中见过这个曲面吗?
o
x
.
z
环面方程
( x 2 z 2 R) 2 . y 2 r 2
.
或 ( x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 ) 2 4R 2 ( x 2 z 2 )
5 环面
.
救生圈
二次曲面
二次曲面的定义:
三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面.
相应地平面被称为一次曲面.
讨论二次曲面形状的截痕法:
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相
截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加
以综合,从而了解曲面的全貌.
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面.
椭球面
定义 在空间直角坐标系中, 方程
x2 y2 z2
2 2 1
2
a
b
c
表示的曲面称为椭球面或椭圆面,
其中
a, b, c
为任意的正常数
当 a b c 时,方程表示的曲面是球面.
当 a, b, c中有两个相等时,方程表示旋转椭球面.
当 a, b, c都不相等时,方程表示的曲面是椭球面.
1 对称性
对称中心
x2 y2 z2
椭球面 2 2 2 1
a
b
c
椭球面关于坐标原点对称 对称平面
椭球面关于坐标面对称
椭球面关于坐标轴对称
2 范围
对称轴
椭球面有界的
x a, y b, z c
它在六个平面
x a, y b, z c 围成的长方体中.
x2 y2 z2
椭球面 2 2 2 1
a
b
c
3 与坐标轴的交点
椭球面与其对称轴的交点称为曲面的顶点
(a,0,0),(0, b,0)(0,0, c)
4 与坐标面的交线
x2 y2 z2
2 2 2 1
a
b
c
x0
y2 z2
2 2 1
b
c
x0
交线是椭圆
x2 z2
2 2 1
a
c
y0
x2 y2
2 2 1
a
b
z0
主截线
(或主椭
圆)
x2 y2 z2
椭球面 2 2 2 1
a
b
c
用平面 z h 截曲面得到的交线的方程是
x2 y2
h2
2 2 1 2
a
b
c
zh
当 z c 时,交线是椭圆,这个椭圆的半轴分别是
h2
a( 1 2 )
c
h2
b( 1 2 )
c
它的两轴端点分别是
x
2
z
h
h2
( a( 1 2 ), 0, h) a 2 c 2 1 (0, b( 1 2 ), h)
c
c
y
0
2
2
两轴端点分别在两个主椭圆上
y2 z2
2 2 1
b
c
x0
当 z c 时,交线为一点 (0,0, c) (0, 0, c)
x2 y2
h2
2 2 1 2
a
b
c
zh
当 z c 时,无图形
椭球面可以看成是由一个椭圆的变动
(大小位置都改变)而产生的,
这个椭圆在变动中保持所在平面与 xoy
面平行,且两轴的端点分别在两个顶椭圆上.
z
c
o
a
x
b
y
椭球面的几种特殊情况:
(1) a b,
x2 y2 z2
2 2 1 旋转椭球面
2
a
a
c
2
2
x
z
z
由椭圆
绕
轴旋转而成.
1
2
2
c
a
y 0
x2 y2 z2
2 1
方程可写为
2
a
c
旋转椭球面与椭球面的区别:
与平面 z
z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
2
2
a
2
2
2
x
y
(
c
z
1)
2
.
截面上圆的方程
c
z z
1
( 2) a b c ,
x2 y2 z2
2 2 1 球面
2
a
a
a
方程可写为 x 2 y 2 z 2 a 2 .
抛物面
椭圆抛物面
x2 y2
定义:由方程 2 2 2 z所表示的曲面叫做椭圆抛物面
a
b
a, b 为任意的正常数
分析得到:
1、椭圆抛物面对称于xoz与yoz坐标面,也对称于z轴,其没有
对称中心
2它与对称轴的交点的坐标为(0,0,0),此点叫做椭圆抛物面的顶点
3、对于方程左端是一个>0的数,则椭圆抛物面在xoy平面的一侧,
即是在z>0的一侧
平行截割法
1、用坐标面去截割
x2=2a2z
y=0
(1)
用XOZ平面截
用YOZ平面截
y2=2b2z
(2)
x=0
这两个抛物线叫做椭圆抛物面的主抛物线,其开口方向都与的正向
一致
通过上式我们观察得到:
1、(1)(2)两个抛物面是相互垂直的
2、其顶点与轴都重合
3、有相同的开口方向
当用z=0来截曲面,得到一点(0,0,0)
x2
2、用平行于坐标面的平面截曲面
2
2
y
x +
2a2h 2b2h =1
z=h
对于相交的曲线为一个椭圆,其两对顶点为
当y=0时,( a 2h ,0,h)
当x=0时,(0, b 2h ,h)
易验证得:此两个点分别满足下面两个方程:
x2=2a2z
y=0
(1)
y2=2b2z
(2)
x=0
即是:椭圆的两对顶点在此两个抛物面上。