Transcript 二重积分的概念(史晓艳）

第十章 多元函数积分学
第一节 二重积分的概念与性质
辽宁地质工程学院

史晓艳

第十章
多元函数积分学
前面学过一元函数定积分，它的被积
函数是一元函数，积分范围是一个区间。
作为推广，多元函数的积分学是将这种和
式的极限概念加以推广，被积函数可以是
多元函数，被积范围可以是平面区域、空
间区域或是曲线弧段。本章将讲解二重积
分、三重积分和坐标的曲线积分的概念，
学习它们的性质、计算方法和一些应用。
§10.1
二重积分的概念与性质
10.1.1
两个实例
10.1.2 二重积分的定义
10.1.3
二重积分的性质
10.1.4
小结与习题
10.1.1 两个实例
1 求曲顶柱体的体积
一曲顶柱体其顶为曲面 z  f ( x , y )底面为平
面区域 D,求此曲顶柱体的体积。
解：对区域D进行网状分割（如图）
1)
区域 D 可分割成 n 个小区域：
  1，   2，
  i , ,  n
z
z  f ( x, y )
y
o
( i ,  i )
x
曲顶柱体的体积 V

D
n
 lim
0

i 1
 i
f ( i ,  i )   i .
在每个小区域中任取一点 ( i , i )    i
2）近似代
替：
每个小曲顶柱体的体积  V i  f ( i , i )   i
3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体
n
n
积之和为
 V  
i
i 1
f ( i ,  i )   i
i 1
n
4）取极限：
V  lim
0
 f 
i 1
其中   max   i的直径
1 i  n

i
, i     i
2 平面薄片的质量
设平面薄片占有xoy面上的区域为D，它在点
（ x , y )处的密度为 r ( x , y )
求：此薄片的质量
1)
区域 D 可分割成 n 个小区域：
  1，   2，
  i , ,  n
2）取点
 i ,  i     i
n
3）作和
 r 
i
, i     i
i 1
4）取极限
n
M  Lim
0
 r 
i 1
i
, i     i
二
定义
二重积分的定义
设 f ( x , y ) 是有界闭区域 D 上的有界函
数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域   1 ，
  2 ,  ，   n ，其中   i 表示第 i 个小闭区域，
也表示它的面积，在每个   i 上任取一点( i , i ) ，
作乘积
f ( i ,  i )   i ，
n
并作和

i 1
f ( i ,  i )   i ，
( i  1,2 , , n ) ，
如果当各小闭区域的直径中的最大值  趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y )
在闭区域 D 上的二重积分，
记为  f ( x , y ) d  ，
D
n
即  f ( x , y ) d   lim  f ( i ,  i )   i .
0
i 1
D
积
分
区
域
被
积
函
数
积
分
变
量
被面
积积 积
表元 分
达素 和
式
注： 1 在二重积分定义中，对区域D的划
分是任意的，故 如果在直角坐标系中用平
行于坐标轴的直线网来划分 D，则除了包含，
边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域
都是矩形闭区域。设矩形小闭区域   i
的边长为  x j 和  y k ,
则
 i  x jyk
故在直角坐标系中，
直角坐标系下面积元素
d   dxdy ,
y
d
图示
 f  x , y d 
D

f ( x , y ) dxdy
D
D
yk
0
x j
x
2 存在性：当 f ( x , y ) 在闭区域D上连续时，函数 f ( x , y )
在D上的二重积分必定存在。以后总假定 f ( x , y ) 在D 上
的二重积分是存在的。
3 由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数
在D上的二重积分 V 

f ( x, y )
f ( x, y )d ,
D
平面薄片的质量是面密度  ( x , y ) 在薄片所占闭区域D上的
二重积分：M 
  ( x , y ) d  .
D
4 二重积分的几何意义：
1）如果 f  x , y   0 , 则二重积分
为曲顶柱体的体积。
 f  x , y d 
解释
D
2）如果 f  x , y   0 , 则二重积分  f  x , y d  解释
为曲顶柱体体积的负值。
D
,
3）如果 f  x , y 既有正又有负 则二重积分
 f  x , y d 
D
解释为曲顶柱体体积的代数和。
（其中xoy面上方柱体的体积取正，
xoy面下方柱体的体积取负）。
三
二重积分的性质
性质1 被积函数的常数因子可以提到二重
积分号的外面，即：
 kf  x , y d 
D
 k  f  x , y d 
D
性质2 函数的和（或差）的二重积分等于
各个函数的二重积分的和（或差）。
  f  x , y   g  x , y d    f  x , y d    g  x , y d 
D
D
D
性质3 (区域可加性) 如果闭区域D被有限条曲
线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积
分等于在个部分闭区域上的二重积分的和.
D  D1  D 2 , 则
例如
 f  x , y d 

D
性质4
 f  x , y d    f  x , y d 
D1
D2
如果在D上 f ( x , y )  1
 1 d 
D

 d 


为D 之面积
D
（高为1的平顶柱体的体积在数值上等于
柱体的底面积。）
性质5 若在D上，f ( x , y )  g ( x , y ), 则：

f ( x , y )d  

D
g ( x , y )d  ,
D
特别地，
  f ( x, y)  f ( x, y)  f ( x, y)


D
f ( x , y )d  

D
f ( x , y ) d
例1 比较下列积分的大小：
1） 
 ( x  y ) d 
与
( x  y ) d
2
3
D
D
其中D: ( x  2 )  ( y  1)  2
2
2
解：在区域 D内，显然有
x  y  1 , 故在D内
( x  y)
2
 ( x  y)
y
x y 1
D
3
(0,1)
  ( x  y ) d  
2
D
 ( x  y )
D
3
d
0 (1,0)
.
(3,0)
x
2）

ln( x  y ) d 
 [ln( x  y )] d  ,其中区域
2
与
D
D为
D
顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。
B(1,1)
解：BC的方程
D内
1  x  y  2,
所以  ln(
D
x+y=2
0  ln(x  y)  1
x  y ) d    [ln( x  y )] d 
2
D
A(1,0)
B(2,0)
性质6（估值定理） 设在D上f(x,y)的最大值为M，最
小值为m，A为D的面积，即
m  f ( x )  M 则 mA 
证明：

f ( x , y ) d   MA
D
因为
m  f (x)  M
 md 

由性质5
D
所以
mA 

f ( x , y )d  
 Md 
D

D
f ( x , y ) d   MA
D
例2
I 
 ( x 
y  1 )d  ,
D
其中 D 是矩形闭区域： 0  x  1 , 0  y  2
解：
f ( x, y)  x  y
在D内的最大值为4，最小值为1
区域D的面积为2
所以由性质6得
2
 ( x 
D
y  1)d   8
性质7(中值定理)
设 函 数 f ( x , y ) 在闭区域
D连续， 为 之面积,则在D上至少存在一点 ( ,  )
使得：
 f  x , y d 
 f ( ,  ).
D
证明：由性质6得，
m 
1


D
f ( x , y )d   M
根据据闭区域上连续函数的介值定理，在D上至少
存在一点 ( ,  ),
使得
即
f ( , ) 

D
1


f ( x , y )d
D
f ( x , y ) d   f ( ,  )
四
小结
二重积分的定义 （和式的极限）
二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）
二重积分的性质