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第3章 数据拟合
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代数插值是根据给定的数据表(函数表), 按
某些条件构造一个代数多项式pn ( x)近似代
替函数f ( x),要求函数pn ( x)经过点( xi , yi ).
但由于数据表中给定的数据xi , yi是从实验
或测量中得到的, 有误差, 且个别点的误差
可能较大, 这时用代数插值所得到的插值多
项式pn ( x)必然保留原来数据的误差, 为了
避免这种情况的发生, 产生了数据拟合法.
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3.1 单变量数据拟合及最小二乘法
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单变量数据拟合法的一般过程:
根据给定函数y  f ( x)的函数表,用几何
描点法或凭经验选择一个近似函数F ( x),
以反映函数表中数据的一般趋势, 再使用
最小二乘法确定F ( x)中的未知参数,从而
得到f ( x)的近似函数F ( x).
x
x1
x2
…
xn
y = f(x)
y1
y2
…
yn
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note :
与插值法的不同点:拟合函数F ( x)
不一定经过点( xi , yi )(i  0,1,
, n ).
question :
满足条件的拟合函数F ( x)有很多,
哪一个是"最好"的呢?
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定义3.1: 记 i  f ( xi )  F ( xi ) (i  1, 2,
, n)
则称 i为f ( x)与F ( x)在xi处的偏差.
定义3.2:以"偏差的平方和最小"为原则选择
近似函数的方法称为最小二乘法.亦即使得
n

i 1
2
i
n
  [ f ( xi )  F ( xi )] 最小的函数F ( x)就
2
i 1
是"最好"的函数.
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例 :已知一组实验数据如下表, 用单变
量数据拟合法求其拟合函数.
x
-1
0
1
2
3
4
5
6
y = f(x) 10
9
7
5
4
3
0
-1
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散点图
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note :
每选择两个不同的( xi , yi )点就得到一组的a,
b值.而这些a, b值一般不是完全相同的, 只有
通过最小二乘法才能得到合理的a, b值.
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解 : 令F（x)  a  bx为（
f x）的近似函数，
a，b为待定参数
i  （
f xi）- F（xi） yi - a - bx（
...,8)
i i  1，
根据最小二乘法应使
8
8
  （y - a - bx ）
2
i 1
i
2
i 1
i
i
最小
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8
令
8
  （y - a - bx ）  （a，b）
2
i 1
i
2
i 1
i
i
转化为多元函数求极小值的问题
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8
 (a, b)
 2（yi - a - bxi） (3.2)
a
i 1
8
 (a, b)
 2（yi - a - bxi）xi （3.3）
b
i 1
令上两式分别等于零，整理得：
8
8
8a  ( xi )b   yi
i 1
8
(3.4)
i 1
8
8
( xi )a  ( xi 2 )b   xi yi
i 1
i 1
(3.5）
i 1
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将(3.4)(3.5)式联立，就得到关于两个未知
参数a，b的一个线性代数方程组，通常称
为正规方程组。
将xi 和yi带入正规方程组，解得
a  8.6429, b  -1.6071
故拟合函数
F ( x)  8.6429 -1.6071x
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单变量数据拟合法的一般步骤 :
1.按给定的数据表画出散点图
2.分析散点图, 确定拟合函数F ( x)的
类型
3.用最小二乘法确定拟合函数F ( x)
中的未知参数
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