Transcript 第四节 对面积的曲面积分

第四节 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的定义
二、对面积的曲面积分的计算法
一、对面积的曲面积分的定义
实例
若曲面  是光滑的，它的面密度为连
续函数  ( x , y , z ) ，求它的质量.
所谓曲面光滑,
即曲面上各点处都
有切平面,且当点在
曲面上连续移动时,
切平面也连续转动.
设曲面  是光滑的，函数 f ( x , y , z ) 在
1.定义
 上有界，把  分成 n 小块 S i ( S i 同时也表示
第 i小块曲面的面积，设点 ( i , i , i ) 为 S i 上任
意取定的点，作乘积 f ( i , i , i )  S i ，并作和
n
 f ( , ,
i 1
i
i
i
)  S i , 如果当各小块曲面的直径的
最大值  趋近于零时，这和式的极限存在，则
称此极限为函数 f ( x , y , x ) 在曲面  上对面积的
曲面积分(或第一类曲面积分)
 f ( x , y, z ) dS .
记为

即
n
 f ( x, y, z )dS  lim  f ( , , )S
 0

i 1
i
i
i
i
.
其中 f ( x , y, z )叫被积函数， 叫做积分曲面.
2.对面积的曲面积分的性质
若可分为分片光滑的曲面  1及 2 , 则
 f ( x , y, z )dS   f ( x , y, z )dS   f ( x , y, z )dS .

1
2
二、对面积的曲面积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面  : z  z( x , y ), 则
 f [ x , y, z( x , y )]
1  zx  zy dxdy
2
2
Dxy
2. 若曲面  : y  y( x , z ), 则
 f ( x , y, z )dS  

f [ x , y( x , z ), z ] 1  yx  yz dxdz
2
2
Dxz
3. 若曲面  : x  x( y , z ), 则
 f ( x, y, z )dS   f [ x( y, z ), y, z ]

D yz
1  xy  xz dydz .
2
2
dS
例 1 求曲面积分  , 其中 是球面 x 2  y 2  z 2  a 2
z

被平面 z  h(0  h  a )截出的顶部.
解  的方程为
z a x y .
2
2
2
 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy：x 2  y 2  a 2  h2 .
因为
1  zx  z y 
2
2
a
.
2
2
2
a x y
由计算公式，有
dS
adxdy
 z  D a 2  x 2  y 2 .
利用极坐标，得
xy
2
a h
dS
rdr
ardrd
 z  D a 2  r 2  a 0 d 0 a 2  r 2
2
2
xy
2
2
a h d (a  r )
a 2
  0 d 0
2
2
2
a r
2
2
 aln( a  r )0
2
2
a 2  h2
a
 2a ln .
h
例 2 计算  ( x  y  z ) dS，其中 为平面 y  z  5

被柱面 x  y  25 所截得的部分 .
2
2
解 积分曲面为
:z  5 y
投影区域为：
Dxy  {( x , y ) x  y  25}
2
2
dS  1  zx  zy dxdy
2
2
 1  0  ( 1) dxdy  2dxdy
2
故  ( x  y  z )dS  2  ( x  y  5  y )dxdy

D xy
 2  ( 5  x)dxdy
D xy
2
 2  d  ( 5  r cos  ) rdr  125 2 .
0
5
0
例 3 计算  xyz dS , 其中 是由平面 x  0，

y  0 , z  0 及 x  y  z  1 所围成的四面体的
整个边界曲面 .
解 整个边界曲面 在平面 x  0, y  0, z  0
及 x  y  z  1 上的部分依次记为  1 ,  2 ,  3及  4
z
于是
1
 xyzds   xyzdS   xyzdS

1
O
2
  xyzdS   xyzdS .
3
4
1
x
1
y
显然有
 xyzdS  0 ,  xyzdS  0 ,  xyzdS  0 .
1
2
3
在  4 上, z  1  x  y , 所以
dS  1  z x  z y dxdy  3dxdy
2
2
 xyzdS   xyzdS  

4
3 xy(1  x  y )dxdy ,
D xy
 3  xdx 
1
0
1 x
0
y(1  x  y )dy
(1  x )
 3 x 
dx
6
3

.
120
1
0
3
例 4 计算  xdS，其中 是圆柱面 x  y  1,
2
2

平面 z  x  2 及 z  0 所围成的空间立体的表 面 .
解
      

1
2
3
2
2

:
z

x

2
,
其中  1 : z  0, 2
3 : x  y  1 .
投影域 D1 : x 2  y 2  1 .
显然
 xdS   xdxdy   cos d  r dr  0 .
2
1
D1
 xdS   x
2
D1
0
1  1 dxdy  0 .
1
0
2
讨论  3 时，将投影域选在坐标面 xOz 上 .
(注意：y   1  x 分为左、右两片)
2
（左右两片投影相同）
 xdS   xdS   xdS
3
 31
 32
 2 x 1  y  y dxdz
2
x
D xz
2
z
xOz
2
x
 2 x 1 
dxdz
2
1 x
D
xz
 2  1
1
x2
x
x  2x
dx  0 dz  2
dx
2
1 x
1 x
1
2
1
2
令 x  sin t , 则

x2  2 x
sin t  2 sin t
2  1
dx   
 cos tdt
2
1 x
cos t
2
1
2

2

   sin2 tdt  
2
2

 xdS  0  0     .
