Transcript 第十三章二重积分
第十三章 重积分
§13.1 二重积分
一、二重积分的概念
二、二重积分的几何意义
三、可积条件
四、二重积分的性质
五、二重积分的计算
六、曲面的面积
七、小结
一 、二重积分的概念
1.背景 曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积× 高
特点:平顶.
z
曲顶柱体体积=?
o
y
特点:曲顶,变高。
x
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二重积分的几何背景是 求曲顶柱体的体积.设
f ( x , y ) 为定义在可求
面积的有界闭域 D上的
z
非负连续函数.求以曲
z f ( x, y)
面 z f ( x , y ) 为顶, D 为
底的柱体 的体积 V.
O
x
采用类似于求曲边梯形面积的方法.
求曲顶柱体的体积采用 “化整为零,局部以常带变,积
零为整”的思想方法,用“分割、近似求和、取极
限”的操作方法来实现,一类大量的“非均匀”
问题都采用类似的方法,从而归结出下面一类积
分的定义.
上页
y
下页
z
z f ( x, y)
y
o
Pk (i ,i )
x
D
i
上页
下页
解 1)分割:对区域D进行网状分割
区域D可分割成n个小区域:
1, 2,
k , , n
2)近似: 每个个小区域 i 内任取一点 ( i ,i ),
则每个小曲顶柱体的体积近似为:
Vk f ( k ,k ). k
3)求和:所有小区域对应小曲顶柱体体
n
n
积之和为
V f (
k
k 1
k
, k ) k
k 1
n
4)取极限:
V lim
T 0
f
k
, k k
k 1
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2.二重积分的概念
⑴4个定义
a分法 将有界闭区域D任意分成n个小闭区域
1, 2,
k ,, n
b 介点 在每个上任取一点,
T max i的直径
C 精度
1i n
d 积分和
n
f (
k
, k ) k
k 1
⑵ 二重积分的定义
设二元函数
二元函数
z f ( x, y ) 是有界闭区域D上的有界函, 若当
T 0 时,
z f ( x, y ) 在区域D 的 积分和存在极限I(与分法无关,
n
也与点的取法无关)
表为
I lim
T 0
即
f
k
, k k
k 1
0, 0, T , Pk ( k ,k ) k ,
上页
下页
n
有
f (
k
, k ) k I
k 1
则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的二重积
分,
记为 f ( x , y )d ,
D
n
即 f ( x , y )d
lim
T 0
f(ξ
k
, η k )Δ Δ k
k 1
.
D
积
分
区
域
被
积
函
数
积
分
变
量
被面
积积积
表元分
达素和
式
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二 、 二重积分的几何意义
f x, y d
(1)如果f x, y 0, 则二重积分
D
为曲顶柱体的体积。
(2)如果 f x, y 0, 则二重积分
为曲顶柱体体积的负值。
解释
f x, y d
解释
D
则二重积分
,
(3)如果f x, y 既有正又有负
f x, y d
D
解释为曲顶柱体体积的代数和。
(其中xoy面上方柱体的体积取正,
xoy面下方柱体的体积取负)。
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三、 可积条件
1 可积的必要条件:
z f ( x, y ) 在可求面积的区域D上有界.
2
可积的充分条件: 有界闭区域D上的连续函数必可积.
3
可积的充要条件:
小和与大和:
函数 z f ( x, y ) 在可求面积的区域D上有界时
T是D的一个分割,把D分成n 个可求面积的小区域
令
mk
inf
( x , y ) k
{ f ( x, y} M k
1, 2,
k ,
sup { f ( x, y}
( x , y ) k
n
关于分割T的小和与大和:s(T ) mk k
k 1
n
S (T ) M k k
k 1
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定理1
z f ( x, y ) 在D上可积的充要条件是:
n
lim [ S (T ) s (T )] lim
T 0
定理2
T 0
k
k
0
k 1
z f ( x, y ) 在D上可积的充要条件是:
z f ( x, y ) 对于任给的正数 存在D的某个分割 T
S (T ) s (T )
使得.
定理3 设 z f ( x, y ) 是定义在有界闭区域D上
的有界函数.若的不连续点都落在有限条光滑
曲线上, 则 z f ( x, y ) 在D上可积.
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四、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质1 当 k为常数时, kf ( x , y )d k f ( x , y )d .
D
D
性质2 [ f ( x , y ) g( x , y )]d f ( x , y )d g( x , y )d .
D
D
性质3
D
对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
f ( x , y )d f ( x , y )d f ( x , y )d .
D
D1
性质4 若 为D的面积,
D2
1 d d .
D
性质5 若在D上 f ( x , y ) g( x , y ),
D
则有
f ( x , y )d g ( x , y )d .
D
D
性质6(中值定理) 设函数f ( x, y ) 在闭区域
D连续,为
之面积,则在D上至少存在一 点 ( , )使得: f x, y d
D
f ( , ).
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五、二重积分的计算
二重积分的计算主要是化为两次定积分计算,简称为化为二次积分或
累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法.
1 特殊区域
矩形区域
[a,b] × [c,d]
f ( x, y )dxdy
d
c
D
b f ( x, y )dx dy
a
b
[
a
d
f ( x, y )dy ]dx.
c
y 2 ( x)
y
x型区域:
a x b, y1 ( x) y y2 ( x)
b
f ( x, y)dxdy [
a
D
y2 ( x )
y1 ( x )
f ( x, y )dy ]dx.
y 1 ( x)
o a
x
b
x
将二重积分化成了先对x积分,后对y积分的二次积分.
Y型区域:x ( y) x x ( y)
1
2
f ( x, y )dxdy
d
c
D
d
c
dy
x2 ( y )
d
c y d.
x2 ( y ) f ( x, y )dx dy
x1 ( y )
y
c
o
f ( x, y )dx.
x
x1 ( y )
将二重积分化成了先对y积分,后对x积分的二次积分.
一般区域 :分割为若干个无公共内点的X型区域或Y型区域的并. y
x y 8
2
例1. 交换下列积分顺序
2
I dx
0
x
2
y
2
2
0
f ( x, y )d y
2 2
2
dx
8 x
0
2
f ( x, y )d y
1
2
2
2
x
D1 D2
0 y 8 x 2
1 2
o
解: 积分域由两部分组成: D : 0 y 2 x ,D2 :
22 2
1
2
x
2
2
0 x2
2
将 D D1 D2
2y x 8 y
D:
0 y2
I
D
f ( x, y ) d x d y
2
0 d y
8 y
2y
2
f ( x, y )d x
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x
2 一般区域
二重积分的换元
v
D
设
f ( x, y) 在闭域 D上连续 ,变换:
定理:
x x(u , v)
T :
y y (u , v)
(u , v) D D
o
u
满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上 一阶导数连续; y
(2) 在 D上 雅可比行列式
( x, y )
J (u , v )
0;
(u , v )
D
o
(3) 变换 T : D D 是一一对应的 ,
定积分换元法
b
则
T
x
x
(,tv))) d u d v
f [f((xt ()]u, v(),
t )yd(tu , v( ))
J
(
u
D f (xa, fy()xd)xddx y
D
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直角坐标转化为极坐标时,
x r cos , y r sin
( x, y )
cos r sin
J
r
( r , )
sin r cos
f ( x, y ) d x d y
D
D
yx
例2. 计算
e
y x d xd y ,
其中D 是 x 轴 y 轴和直线
y
J
u y x , v y x,
( x, y )
(u , v )
12
1
2
1
2
1
2
则 x
1
vu
,y
2
x y 2
vu
2
( D D )
D
ov
2
u
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f (r cos , r sin ) r d r d
所围成的闭域.
解: 令
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e v 1 d u d v
2
D
ee
1
u v
x
v2
D
uv
o
u
其中 D : x 2 y 2 a 2 .
例3.计算
解:
0r a
在极坐标系下 D : 0 2 ,
故
a
r
原式 D
r d r d
例 4 写出积分
2
d
0
0 re
2
(1 e
dr
a
2
D f (x, y)dxdy 的极坐标二次积分 形式,积分区域
2
1 x , 0 x 1}
D {( x, y) | 1 x y
x r cos
y r sin
解 在极坐标系下
1
直线方程为 r
sin cos
所以圆方程为 r 1,
D
f ( x , y )dxdy
)
2
0
d
1
1
sin cos
2
2
x y 1
.
x y 1
,
f ( r cos , r sin )rdr .
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六、曲面的面积
求由方程 z f ( x , y ) ( x , y ) D
z
所确定的曲面 S 的面积.
( i , i , i )
对区域 D 作分割 T , S A
i
i
Ai
Si
n
S lim
| |T | | 0
A
i
i 1
y
O
曲面面积的计算公式
x
先计算 Ai 的面积,
Ai
i
i
cos i
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ni
1
| cos i |
z
Ai
1 f x ( i , i ) f y ( i , i )
2
2
i
Ai
1 f x ( i , i ) f y ( i , i ) i
2
2
n
S lim
||T ||0
Ai lim
i 1
||T ||0
i
i
n
2
2
1 f x ( i ,i ) f y ( i ,i ) i 1 f x ( x , y ) f y ( x , y ) dxdy .
2
i 1
2
D
所以若曲面方程为
z f ( x, y )
则该曲面的面积 S 为
S
( x, y ) D
1 f x ( x , y ) f y ( x , y ) dxdy
2
2
D
如果曲面方程为
则曲面面积 S :
如果曲面方程为
则有公式:
x x( y, z ), ( y, z ) Dy z
S
2
2
1 x y ( y , z ) x z ( y , z ) d yd z
D yz
y y( x , z ), ( x , z ) Dx z
S
Dx z
2
2
1 y x ( x, z ) yz ( x , z ) d xd z
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下页
例1 求圆锥
解
zx
所以
z
x y
2
2
在圆柱体 x 2 y 2 x 内那一部分的面积.
所求面积的曲面的方程为 z
x
x y
2
zy
,
2
S
y
x y
2
,
2
2
y
2
1 z z
2
x
1 z z dxdy
2
x
x y
1
2
y
2
x
2
x y
2
2
2 dxdy
2
y
2
x y
2
2
2
被柱面
例2 计算双曲抛物面
2
4
D
D
D: x y x
2
所截
出的面积 A .
解 曲面在 xoy 面上投影为
A
D
2
2
2
D: x y R ,
2
2
1 z x z y d xd y D
2
2
则
1 x y d xd y
2
3
[ (1 R 2 ) 2 1 ) ]
3
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五、小结
二重积分的定义 (和式的极限)
二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积)
二重积分的性质
作业: P365: 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8.
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思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较,
找出它们的相同之处与不同之处.
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思考题解答
定积分与二重积分都表示某个和式的极限
值,且此值只与被积函数及积分区域有关.不
同的是定积分的积分区域为区间,被积函数为
定义在区间上的一元函数,而二重积分的积分
区域为平面区域,被积函数为定义在平面区域
上的二元函数.
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