Transcript 第十三章二重积分

第十三章 重积分
§13.1 二重积分
一、二重积分的概念
二、二重积分的几何意义
三、可积条件
四、二重积分的性质
五、二重积分的计算
六、曲面的面积
七、小结
一 、二重积分的概念
１．背景 曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积× 高
特点：平顶.
z
曲顶柱体体积=？
o
y
特点：曲顶，变高。
x
下页
二重积分的几何背景是 求曲顶柱体的体积.设
f ( x , y ) 为定义在可求
面积的有界闭域 D上的
z
非负连续函数.求以曲
z  f ( x, y)
面 z  f ( x , y ) 为顶, D 为
底的柱体 的体积 V.
O
x
采用类似于求曲边梯形面积的方法.
求曲顶柱体的体积采用 “化整为零,局部以常带变,积
零为整”的思想方法,用“分割、近似求和、取极
限”的操作方法来实现，一类大量的“非均匀”
问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积
分的定义．
上页
y
下页
z
z  f ( x, y)
y
o
Pk (i ,i )
x
D

 i
上页
下页
解 1)分割:对区域D进行网状分割
区域D可分割成n个小区域：
 1， 2，
  k , ,  n
2）近似： 每个个小区域  i 内任取一点 ( i ,i ),
则每个小曲顶柱体的体积近似为：
Vk  f ( k ,k ). k
3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体
n
n
积之和为
 V  f (
k
k 1
k
, k ) k
k 1
n
4）取极限：
V  lim
T 0
 f 
k
, k    k
k 1
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2.二重积分的概念
⑴4个定义
a分法 将有界闭区域D任意分成n个小闭区域
 1， 2，
 k ,,  n
b 介点 在每个上任取一点，
T  max  i的直径
C 精度
1i  n
d 积分和
n
 f (
k
, k ) k
k 1
⑵ 二重积分的定义
设二元函数
二元函数
z  f ( x, y ) 是有界闭区域D上的有界函， 若当
T  0 时，
z  f ( x, y ) 在区域D 的 积分和存在极限I（与分法无关，
n
也与点的取法无关)
表为
I  lim
T 0
即
 f 
k
, k    k
k 1
  0,   0,  T   , Pk ( k ,k )   k ,
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n
有
 f (
k
, k ) k  I  
k 1
则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的二重积
分，
记为  f ( x , y )d ，
D
n
即  f ( x , y )d
 lim
T 0
 f(ξ
k
, η k )Δ Δ k
k 1
.
D
积
分
区
域
被
积
函
数
积
分
变
量
被面
积积积
表元分
达素和
式
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二 、 二重积分的几何意义
 f x, y d
（1）如果f x, y   0, 则二重积分
D
为曲顶柱体的体积。
（2）如果 f x, y   0, 则二重积分
为曲顶柱体体积的负值。
解释
 f x, y d
解释
D
则二重积分
,
（3）如果f  x, y 既有正又有负
 f x, y d
D
解释为曲顶柱体体积的代数和。
（其中xoy面上方柱体的体积取正，
xoy面下方柱体的体积取负）。
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三、 可积条件
1 可积的必要条件：
z  f ( x, y ) 在可求面积的区域D上有界.
2
可积的充分条件： 有界闭区域D上的连续函数必可积．
3
可积的充要条件：
小和与大和：
函数 z  f ( x, y ) 在可求面积的区域D上有界时
T是D的一个分割，把D分成n 个可求面积的小区域
令
mk 
inf
( x , y ) k
{ f ( x, y} M k 
 1， 2，
 k ,
sup { f ( x, y}
( x , y ) k
n
关于分割T的小和与大和：s(T )   mk  k
k 1
n
S (T )   M k  k
k 1
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定理1
z  f ( x, y ) 在D上可积的充要条件是：
n
lim [ S (T )  s (T )]  lim
T 0
定理2
T 0
  
k
k
0
k 1
z  f ( x, y ) 在D上可积的充要条件是：
z  f ( x, y ) 对于任给的正数  存在D的某个分割 T
S (T )  s (T )  
使得．
定理3 设 z  f ( x, y ) 是定义在有界闭区域D上
的有界函数．若的不连续点都落在有限条光滑
曲线上， 则 z  f ( x, y ) 在D上可积.
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四、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当 k为常数时， kf ( x , y )d k f ( x , y )d .


D
D
性质２  [ f ( x , y )  g( x , y )]d   f ( x , y )d   g( x , y )d .
D
D
性质３
D
对区域具有可加性 ( D  D1  D2 )
 f ( x , y )d   f ( x , y )d   f ( x , y )d .
D
D1
性质４ 若 为D的面积，
D2
 
 1  d   d .
D
性质５ 若在D上 f ( x , y )  g( x , y ),
D
则有
f ( x , y )d   g ( x , y )d .
D
D
性质6(中值定理) 设函数f ( x, y ) 在闭区域
D连续，为
之面积,则在D上至少存在一 点 ( , )使得：  f  x, y d
D
 f ( , ).
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五、二重积分的计算
二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简称为化为二次积分或
累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法.
1 特殊区域
矩形区域

[a,b] × [c,d]
f ( x, y )dxdy 

d
c
D
 b f ( x, y )dx  dy 


 a

b
 [
a
d
f ( x, y )dy ]dx.
c
y  2 ( x)
y
x型区域：
a  x  b, y1 ( x)  y  y2 ( x)
b
 f ( x, y)dxdy   [
a
D
y2 ( x )
y1 ( x )
f ( x, y )dy ]dx.
y  1 ( x)
o a
x
b
x
将二重积分化成了先对x积分，后对y积分的二次积分.
Y型区域：x ( y)  x  x ( y)
1
2


f ( x, y )dxdy 
d
c
D


d
c
dy 
x2 ( y )
d
c  y  d.
 x2 ( y ) f ( x, y )dx  dy


 x1 ( y )

y
c
o
f ( x, y )dx.
x
x1 ( y )
将二重积分化成了先对y积分，后对x积分的二次积分.
一般区域 ：分割为若干个无公共内点的X型区域或Y型区域的并． y
x  y 8
2
例1. 交换下列积分顺序
2
I   dx
0
x
2
y
2
2
0
f ( x, y )d y  
2 2
2
dx
8 x
0
2
f ( x, y )d y
1
2
2
2
x
D1 D2
0  y  8  x 2
1 2

o
解: 积分域由两部分组成: D : 0  y  2 x ,D2 : 
22 2

1
2

x

2
2

 0 x2
2
将 D  D1  D2
2y  x  8  y

D:
 0 y2
I  
D
f ( x, y ) d x d y 
2
0 d y 
8 y
2y
2
f ( x, y )d x
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x
2 一般区域
二重积分的换元
v
D
设
f ( x, y) 在闭域 D上连续 ,变换:
定理:
 x  x(u , v)
T :
 y  y (u , v)
(u , v)  D  D
o
u
满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上 一阶导数连续; y
(2) 在 D上 雅可比行列式
 ( x, y )
J (u , v ) 
 0;
 (u , v )
D
o
(3) 变换 T : D  D 是一一对应的 ,
定积分换元法
b
则
T
x

x

(,tv))) d u d v
f [f((xt ()]u, v(),
t )yd(tu , v( ))
J
(
u
D f (xa, fy()xd)xddx y 
 D
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直角坐标转化为极坐标时,
x  r cos , y  r sin 
 ( x, y )
cos   r sin 
J 

r
 ( r , )
sin   r cos 
  f ( x, y ) d x d y
D
 
D
yx
例2. 计算
e
y x d xd y ,
其中D 是 x 轴 y 轴和直线
y
J 
u  y  x , v  y  x,
 ( x, y )
 (u , v )

 12
1
2
1
2
1
2

则 x
1
vu
,y
2
x y 2
vu
2
( D  D )
D
ov
2
u
 
下页
f (r cos  , r sin  ) r d r d 
所围成的闭域.
解: 令
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e v 1 d u d v 
2
D
ee
1
u  v
x
v2
D
uv
o
u
其中 D : x 2  y 2  a 2 .
例3.计算
解:
 0r a
在极坐标系下 D : 0    2 ,
故
a
r
原式  D
r d r d  
例 4 写出积分
2
d
0
0 re
2
  (1  e
dr
a
2
D f (x, y)dxdy 的极坐标二次积分 形式,积分区域
2





1 x , 0  x  1}
D {( x, y) | 1 x y
 x  r cos 

 y  r sin 
解 在极坐标系下
1
直线方程为 r 
sin  cos
所以圆方程为 r  1,


D
f ( x , y )dxdy 
)

2
0
d 
1
1
sin   cos
2
2
x  y 1
.
x y 1
,
f ( r cos  , r sin  )rdr .
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六、曲面的面积
求由方程 z  f ( x , y ) ( x , y )  D
z
所确定的曲面 S 的面积.
( i , i ,  i )

对区域 D 作分割 T , S  A
i
i
Ai
Si
n
S  lim
| |T | | 0
 A
i
i 1
y
O
曲面面积的计算公式
x
先计算 Ai 的面积,
Ai 
 i
i
cos  i
下页

ni
1
| cos  i |
z
Ai
1  f x ( i , i )  f y ( i , i )
2
2
i
Ai 
1  f x ( i , i )  f y ( i , i ) i
2
2
n
S  lim
||T ||0
 Ai  lim
i 1
||T ||0
i
i
n
2
2
1  f x ( i ,i )  f y ( i ,i )  i  1  f x ( x , y )  f y ( x , y ) dxdy .

2
i 1
2
D
所以若曲面方程为
z  f ( x, y )
则该曲面的面积 S 为
S

( x, y )  D
1  f x ( x , y )  f y ( x , y ) dxdy
2
2
D
如果曲面方程为
则曲面面积 S ：
如果曲面方程为
则有公式：
x  x( y, z ), ( y, z )  Dy z
S

2
2
1  x y ( y , z )  x z ( y , z ) d yd z
D yz
y  y( x , z ), ( x , z )  Dx z
S

Dx z
2
2
1  y x ( x, z )  yz ( x , z ) d xd z
上页
下页
例1 求圆锥
解
zx 
所以
z
x y
2
2
在圆柱体 x 2  y 2  x 内那一部分的面积.
所求面积的曲面的方程为 z 
x
x y
2
zy 
,
2
S 
y

x y
2
,
2
2
y
2
1 z  z 
2
x

1  z  z dxdy
2
x
x y

1
2
y
2
x
2
x y
2
2
2 dxdy 
2

y
2
x y
2
2

2

被柱面
例2 计算双曲抛物面
2
4
D
D
D: x  y  x
2
所截
出的面积 A .
解 曲面在 xoy 面上投影为
A  
D
2
2
2
D: x  y  R ,
2
2
1  z x  z y d xd y  D
2
2
则
1  x  y d xd y 
2
3
 [ (1  R 2 ) 2  1 ) ]
3
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五、小结
二重积分的定义 （和式的极限）
二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）
二重积分的性质
作业: P365: 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8.
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思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较，
找出它们的相同之处与不同之处.
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下页
思考题解答
定积分与二重积分都表示某个和式的极限
值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不
同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为
定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分
区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域
上的二元函数．
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