Transcript 第十三章二重积分的计算

第十三章 二重积分的计算
（复习课）
一、主要内容
1、二重积分的概念
实例分析 曲顶柱体的体积
n

D
f ( x , y ) d   lim
 f ( i ,  i )   i .
0
i 1
2、二重积分的性质(与定积分的性质类似)
3、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）
4、曲面的面积
所以若曲面方程为 z  f ( x , y ) ( x , y )  D
则该曲面的面积 S 为
S 

D
1  f x ( x , y )  f y ( x , y ) dxdy
2
2
二、常见习题类型与解题思路
1 比较二重积分的大小、估计二重积分的值
2 二重积分的计算
基本步骤
（1）画出积分区域的图形D
（2）根据图形D和被积函数的特点，选择是化成一
次积分还是用换元积分。在直角坐标系下的二次积分
有两种积分次序
先对y后对x积分和先对x后对y积分.
3 交换积分次序及计算二次积分
4 曲面面积的计算
下面将二重积分的计算做了总结
y
y  y2 ( x)
(1) 二重积分化为累次积分的方法
y  y1 ( x)
a
bx
直角坐标系情形 :
• 若积分区域为
则
D
b
y2 ( x )
D f ( x, y) d   a d x y ( x)
f ( x, y ) d y
1
y x  x2 ( y )
d
• 若积分区域为
D
c
则
d
D f ( x, y) d   c
d y
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x, y ) d x
x  x1 ( y ) x
极坐标系情形: 若积分区域为
则
D f ( x, y) d   D f (r cos , r sin  ) rd r d
D
(2) 一般换元公式

x  x(u , v) 下

在变换 
 y  y (u , v)
且J
( x, y )  D
则
D
o
f ( x, y ) d   
D

 ( x, y )
 (u , v )
r   2 ( )
r  1 ( )
0
f [ x(u , v), y (u , v)] J d u d v
利用极坐标计算二重积分
在二重积分的计算中,如果积分域是圆域或部分圆
域,被积函数为
y
x
2
2
f ( x  y ), f ( ), f ( )
x
y
形式,利用极坐
标变换来计算二重积分会十分方便.
积分的变量代换是计算积分的一个有效方法,对二
重积分也有类似的方法.在这类方法中极坐标变换
x  r cos  , y  r sin 
最为常用.下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二
重积分.
1) 极点在D之外
1 ( )  r   2 ( )
, 则
设 D :     

D f (r cos , r sin  )r d r d

  d

 2 ( )
 ( )
D

o
f (r cos  , r sin  )r d r
D f (r cos , r sin  )r d r d
  d 


r   2 ( )

2) 极点在D的边界上

r  1 ( )
1
0  r   ( )
D:
,
    
 ( )
0
f (r cos  , r sin  )r d r
r   2 ( )
o

r  1 ( )
设极点D之内
3)
0  r   ( )
D:
 0    2
D f (r cos , r sin  ) r d r d

2
0
d
 ( )
0
f (r cos  , r sin  ) r d r
r   ( )
D
o
(3) 计算步骤及注意事项
• 画出积分域
• 选择坐标系
• 确定积分序
• 写出积分限
• 计算要简便
域边界应尽量多为坐标线
被积函数关于坐标变量易分离
积分域分块要少
累次积分好算为妙
图示法
不等式
( 先积一条线, 后扫积分域 )
充分利用对称性
应用换元公式
思考与练习
y
且
例1. 设
1
1
1
y
0
x
o x
求 I  d x f ( x) f ( y ) d y .
 
提示: 交换积分顺序后, x , y互换
1
y
yx
1
x
1
I   d y  f ( x) f ( y ) d x   d x
 2I 

0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0 d x x f ( x) f ( y) d y  0 d x
0
d x  f ( x) f ( y ) d y   f ( x) d x  f ( y ) d y  A
2
例2. 交换积分顺序
提示: 积分域如图
r  a cos
r
  arccos
r
a
o
a
r
a
arccos
r
a
x
I  dr
f ( r,  ) d
r
0
 arccos a
例3
x y

1

计算二重积分   4  3
D

 d xd y ,其中 D

为矩形：
D :  2  x  2,  1  y  1.
解1 先积 y 再积 x
x y

1

  4  3
D


2
2

 dxdy 

xy
(y 

y
4
 (2 x 
x
x y

dx
1

 2  1  4  3
2
1
2
)
6
1
1
dx 

2
2
(2 

 dy

x
) dx
2
2
4
)
2
2
8
解2 先积 x 再积 y
x y

  1  4  3  dxdy 
D


1
1
(4 
4y
3
x y

 1 dy  2  1  4  3  dx 
1
2
) dy  (4 y 
2y
3
2
)
1
1
8

1
1
(x 
x
2
8

xy
3
)
2
2
dy
计算二重积分  e
例4
x y
dxdy
,其中区域 D 为矩形：
D
D : 0  x  1, 1  y  2
解
因为 e x  y  e x  e y ,所以
 e
x y
1
2
dxdy  (  e dx )(  e dy )  e
x
0
y
x
1
e
0
1
D
 ( e  1)( e  e )  e ( e  1)
2
2
或先积 y再积 x
 e
x y

dxdy 
1
0
2
dx  e
x y
dy 
1

1
e
x y
0
2
1
dx
)
1
0
D


1
(e
x2
e
x 1
) dx  ( e
x2
e
x 1
0
 ( e  e )  ( e  e )  e ( e  1)
3
2
2
2
y
2
1
y  5x
例5 计算二重积分  ( x  6 y ) dxdy,其中
D
D 是由三条线 y  x , y  5 x , x  1 所围成
y x
的区域.
x 1
解
易知积分区域可表为
D : 0  x  1, x  y  5 x
于是
 ( x  6 y ) dxdy

D


1
0
( xy  3 y )
2

1
0
5x
x
dx 
dx 
5x
( x  6 y ) dy
x

1
0
76 x dx 
2
76
3
.
例6. 计算
其中D 由
y  4  x , y  3x , x  1 所围成.
2
y
2
解: 令 f ( x, y )  x ln( y  1  y )
4
D  D1  D2 (如图所示)
D1
显然, 在 D1上 , f ( x, y )   f ( x, y )
在 D2上 , f ( x, y )   f ( x, y )
 I  
D1
x ln( y 
 
D2
y  3 x
o
2
1  y )d xd y
x ln( y 
y  4 x
2
1  y )d xd y  0
D2
1
x 1
x
2
若 f ≡1 则可求得D 的面积
   d  
D
1
2
2 0
 ( ) d 
2
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问  的变化范围是什么?
(1)
y
r   ( )
(2) y
r   ( )
D
D
o
o
x
答: (1) 0     ;
( 2) 

2
 
x

2
例 7 计算  ( x 2  y 2 ) dxdy ，其 D 为由圆
D
x  y  2 y ， x  y  4 y 及直线 x 
2
2
2
y
3x  0
解
y
2
3 y  0，
所围成的平面闭区域.
y
 2 
3x  0
x
3y  0

3
 1 

6
x  y  4 y  r  4 sin 
2
x
o
 ( x
D
2
2
2
 r  2 sin 
2
x  y  2y
 y ) dxdy 
2


3

6
d
4 sin 
2 sin  r
2
 rdr  15 (

2

3 ).
例8. 计算由
所围成的闭区域 D 的面积 S .
解: 令 u 
y
2
,v
x
x
2
2
x  by
,则
y
y
D
p  u  q
D : 
a  v  b
D
2
1
1

J 

(u , v )
(u , v )
3
( x, y )
 S   d x d y
o
 
D
J dudv 
b
x
v
b
a
o p
D
q
2
y  px
x  ay
( x, y )
1
2
y  qx
1
D
q u
d u  d v  ( q  p )(b  a )

a
3
3 p
的体积V.
例9. 试计算椭球体
解: 取 D :
x
2
a
2
y
2
b
2

 1, 由对称性
 2 c 
D
1
x
2
a
2

y
2
b
2
d xd y
令 x  a r cos , y  b r sin  , 则D 的原象为
D : r  1 , 0    2
J 
( x, y )
a cos 

b sin 
( r , )
 a r sin 
 abr
b r cos 
1  r a b r d r d
 V  2 c 
2
D
 2 abc 
2
0
d
1
0
1 r r d r 
2
4
3
 abc