Transcript 三重积分
§5
三重积分
三重积分的概念
化三重积分为累次积分
三重积分换元法
一、三重积分的概念
问题的提出 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )
求立体 V 的质量 M
为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积
记为 Vi
其次在每个小块 Vi 上任取一点 ( i , i , i )
M i f ( i , i , i ) Vi
则 Vi 的质量
然后对每个小块 Vi 的质量求和：
n
M f ( i , i , i ) Vi
i 1
最后，取极限
n
M lim f ( i , i , i ) Vi
||T || 0
其中
i 1
|| T || max { Vi 的直径 }
0 i n
定义 1
设 f ( x, y, z ) 为定义在三维空间可求体积
的有界区域 V 上的有界函数, 把 V 任意地分成 n 个小
区域 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积记为 Vi
记 || T || max { Vi 的直径 }
0 i n
在每个小块 Vi 上任取一点 ( i , i , i ), 若极限
n
lim f ( i , i , i ) Vi
||T || 0
i 1
存在，则称 f ( x, y, z ) 在 V 上可积，并称此极限为
f ( x, y, z ) 在 V 上的三重积分，记为
f ( x , y , z ) dV 或 f ( x , y, z ) dxdydz
V
V
三重积分具有与二重积分相似可积条件和有关的性质.
例如
dV
V
V 的体积
二、化三重积分为累次积分
设 f ( x, y, z ) 在长方体 V [a, b] [c, d ] [e, h]
上连续，则
f ( x, y, z ) dxdydz
b
a
V
dx dy f ( x , y , z ) dz
d
h
c
e
V {( x, y, z ) | z1 ( x, y) z z2 ( x, y), ( x, y) D}
设
f ( x , y, z ) dxdydz
则
V
dxdy
D
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z ) dz
D {( x, y) | y1 ( x ) y y2 ( x ), a x b}
z
f ( x , y, z ) dxdydz
V
V
dx
dy
b
y2 ( x )
z2 ( x , y )
a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
z z2 ( x , y )
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) dz
o
y
D
x
y y1 ( x )
y y2 ( x )
xd xd yd z,
例. 计算
其中V 为三个坐标
V
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
解
x d x d y d z d x d y
1 x 2 y
0
V
z
xdz
D
1
2
x(1 x 2 y ) d x d y
D
1
1 ( 1 x )
2
0
0
x d x
x1
(1 x 2 y ) d y
1
1
2
3
( x 2 x x )d x
4 0
48
1
1
1
2
y
x
1
y
例1
z
dxdydz
计算 2
2
x
y
V
其中 V 为由平面 x = 1, x = 2, z = 0
O
y = x, z = y 所围的区域.
dxdydz
1
解 2
2
x y
V
y
dz
2
dxdy 2
0 x y2
x
D
2
x
y
y
2
dxdy dx 2
dy
2
2
1
0 x y
x y
D
2 1
1
2
2
x
ln(x y ) |0 dx ln 2
1 2
2
y
y
y x
D
O
1
x
2
若 V 可以表示为：
则三重积分可采用先在区域 Dz 上计算二重积分，
再计算一个定积分的方法来计算
z
b
f ( x , y, z ) dxdydz
V
Dz
dz f ( x , y, z ) dxdy
b
a
Dz
a
O
x
y
例. 计算
z D
z
c
z
I z dxdydz
2
V
x2 y2 z2
其中 V 是椭球体 2 2 2 1
a
b
c
c z c
解: V :
x2 y2
z2
Dz : 2 2 1 2
a
b
c
by
a
x
2
z
d
x
d
y
d
z
d
z
z
d
x
d
y
z
dz dxdy
2
V
c
2
c
Dz
c
c
Dz
2
z
4
2
3
2 z ab(1 2 ) dz abc
0
c
15
c
x2 y2 z2
计算 I ( 2 2 2 ) dxdydz
例3
a
b
c
V
2
2
2
x
y
z
z
2 2 1
其中 V 是椭球体
2
a
b
c
2
c
x
解 I 2 dxdydz
a
Dz
V
y2
z2
O
2 dxdydz 2 dxdydz
b
c
x
V
V
z2
dxdydz
2
c
V
z
2
c z
z2
dxdy 2 dz dxdy
2
cdz
c c
c
Dz
D
c
z
z2
z2
4
2 ab(1 2 ) dz abc
c c
c
15
c
y
三、三重积分换元法
x x( u, v , w )
设变换T : y y( u, v , w ), 把 uvw 空间中的区域
z z( u, v , w )
V 一对一的映射为xyz 空间中的区域V，函数
x x(u, v , w )，y y(u, v , w )，z z(u, v , w )
的一阶偏导数在V 内连续且函数函列式
x
u
( x , y , z ) y
J ( u, v , w )
( u, v , w ) u
z
u
x
v
y
v
z
v
x
w
y
0, ( u, v , w ) V
w
z
w
则 f ( x , y , z ) dxdydz
V
f ( x( u, v , w ), y( u, v , w ), z( u, v , w )) | J | dudvdw
V
1、柱面坐标变换
x r cos
T y r sin
z z
0 r
0 2
z
z
z
( x, y, z )
坐标面分别为
r 常数
圆柱面
常数
半平面
z 常数
垂直于轴 z 的平面
o
y
( x, y,0)
x r
cos
( x, y, z )
J ( r , , z )
sin
( r , , z )
0
r sin
r cos
0
0
0 r
1
f ( x, y, z ) dxdydz
V
f ( r cos , r sin , z ) r drd dz
V
例3 计算
2
2
(
x
y
)dxdydz
V
其中V是曲面2( x y ) z与z 4为边界的区域.
2
2
其中 V 为由
例. 计算
x y 2 x 及平面
z 0, z a (a 0), y 0 所围成半圆柱体.
2
柱面
2
解: 作柱面坐标变换
z x y d x d yd z z r r d r d d z
z
a
a
drd zr d z
d
r
d
r
2
2
2
V
a
2
2
0
0
D
4a
3
2
2
0
V
2
8 2
cos d a
9
3
2 cos
2
0
o
y
2
r 2 cos
x
2. 球坐标变换
x r sin cos
T : y r sin sin
z r cos
0 r
0
0 2
z
o
r ( r , , )
x
坐标面分别为
r 常数
球面
常数
常数
半平面
锥面
y
f ( x, y, z ) dxdydz
V
f ( r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sin drdd
V
例. 计算
其中 V 为锥面
所围立体.
与球面
解
在球面坐标系下
2
d sin d
0
4
0
1
5
R (2 2 )
5
z
R
0
4
r dr
4
o
x
y
例. 计算
其中 V 为锥面
所围立体.
与平面
解
z
4
o
2
d
0
0
4
h
cos
0
d
x
r cos r 2 sin d r
4
h
4
y
解
z
h4
4
4
o
x
y
解
z
h
4
4
4
o
x
y
若平面区域 D 关于 x 轴对称，则下列积分的值为零
若平面区域 D 关于 y 轴对称，则下列积分的值为零
例如，若 D 是以原点为圆心的圆，则
思
考
进一步，对于变量的奇、偶函数，
可得到与定积分类似的性质.
若空间区域 V 关于 xy 平面对称，则有：
若空间区域 V 关于 xz 平面对称，则有：
若空间区域 V 关于 yz 平面对称，则有：
例如，若 V 是以原点为球心的球体，则
立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为
V f ( x , y ) d xd y
D
• 占有空间有界域 V 的立体的体积为
V d xd yd z
V
例4 求由圆锥体
z x 2 y 2 cot
x 2 y 2 ( z a )2 a 2
所确定的立体体积，其中 0 , a 0
2
和球体
解
z
立体的体积为
dV
2
0
2 a cos
0
0
d d
r sin dr
2
a
V
2
0
3
8a
cos 3 sin d
3
4a
(1 cos 4 )
3
O
3
x
y
例5 求 I z dxdydz
V
其中 V 为由
x2 y2 z2
2 2 1 与
2
a
b
c
所确定的区域.
解
作广义球坐标变换
于是
J abcr2 sin
2
z0
x ar sin cos
T : y br sin sin
z cr cos
I z dV d 2 d cr cos abcr 2 sin dr
0
0
1
0
V
abc 2
4