Transcript 第十章定积分的应用

§2由平行截面面积求体积
一、平行截面面积为已知的立体的体积
二、旋转体的体积
三、小结
一、已知平行截面面积的立体的体积
设一立体在x轴上的投影区间为[a, b] ，过x点垂直于x轴
的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。
(1) 在[a, b]内插入分点： a=x0<x1<x2<  <xn-1<xn=b，
O a
x1
xi-1 xi
xn b
x
(2)过xi(i=1, 2,  , n-1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成
n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)xi。
将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值
n
V   S(i)xi。
i =1
(3) 立体体积为
n
V = lim
T 0
 S ( x ) =  S ( x)dx
b
i
i =1
a
例 1 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立
体的体积.
解 取坐标系如图
-R
底圆方程为
x y =R
2
2

o
2
y
x
R
x
垂直于x 轴的截面为直角三角形
1 2
2
A
(
x
)
=
(
R
x
) tan  ,
截面面积
2
1 R 2
立体体积 V =  (R - x 2 ) tan dx = 2 R 3 tan  .
2 -R
3
例2
求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆
直径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积.
解
y
取坐标系如图
底圆方程为
o
x 2  y 2 = R2 ,
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
x
R
截面面积 A( x ) = h  y = h R 2 - x 2
R
1
2
2
2
2
立体体积 V = h
R
x
dx
=

R
h.
-R
x
二、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内
一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做
旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
旋转体：
由连续曲线 y=f (x)、直
线 x=a 、a=b 及 x 轴所围成
的曲边梯形绕 x轴旋转一周
而成的立体。
讨论：
O
旋转体的体积怎样求？
y
y=f (x)
a
b
x
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y = f ( x ) 、
直线 x = a 、 x = b 及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
x  [a , b ]
在[a , b]上任取小区
间[ x , x  dx ] ，
y
o
y = f ( x)
x x  dx
取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素， dV = [ f ( x )]2 dx
b
旋转体的体积为 V = [ f ( x )]2 dx

a
x
曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积：V =
2
2
y
x

=
1
例 3 求椭圆 2
2
a
b
绕x轴旋转产生的旋转体的体
积。
y
b
O
b
a [f(x)] dx。
2
b
y=
a2 - x2
a
a x
解：椭圆绕 x 轴旋转产生
的旋转体的体积：
2
a b
a
2
2
2
Vx =2 y dx =2 2 (a -x )dx
0 a
0
b2 2
x3 a 4
2
=

ab
= 2  2 (a x )0
。
3
3
a
下页
例 4
连接坐标原点 O 及点 P ( h, r )的直线、直线
x = h及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋
转构成一个底半径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算圆
锥体的体积．
y
解 直线 OP方程为
r
y= x
h
P
r
o
取积分变量为x ， x  [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x  dx ] ，
h
x
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的
体积为
y
2
r 

dV =   x  dx
h 
P
r
o
h
圆锥体的体积
V =
h
0
3 h
r 
r  x 
hr 2

 x  dx = 2   =
.
3
h  3 0
h 
2
2
x
2
3
2
3
2
3
例 5 求星形线 x  y = a (a  0) 绕 x 轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
3
2
3
2
3
解 y =a -x ,


 y =  a - x 


旋转体的体积
2
3
2
2
3
3

V =   a - x
-a

a
2
3
x  [- a , a ]
2
3
3
-a

32
3
 dx =

a
.

105

o
a x
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x =  ( y ) 、直线 y = c 、 y = d 及y 轴所围
成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
y
体积为
V =
d
c
d
2
[

(
y
)]
dy

x =  ( y)
c
o
x
例6
求摆线 x = a( t - sin t )，y = a(1 - cos t )的
一拱与 y = 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转
构成旋转体的体积.
y(x )
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
Vx = 
2 a
0
 y 2 ( x )dx
a
2a
2
=   a 2 (1 - cos t ) 2  a(1 - cos t )dt
0
= a
3
2
0
(1 - 3 cos t  3 cos 2 t - cos 3 t )dt = 5 2 a 3 .
绕 y轴旋转的旋转体体积
可看作平面图OABC 与OBC
y
B x = x2 ( y )
2a C
x = x1 ( y )
A
o
2 a x
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
2a
2a
V y =   x 2 ( y )dy -   x 12 ( y )dy
2
0
0

=   a 2 ( t - sin t ) 2  a sin tdt
2

-   a 2 ( t - sin t ) 2  a sin tdt
0
= a
3
2
0
( t - sin t ) 2 sin tdt = 6 3 a 3 .
2
y
=
4
x
例 7 求由曲线
及 y = 0 所围成的图形
绕直线 x = 3旋转构成旋转体的体积.
解
取积分变量为y , y  [0,4]
体积元素为
P
2
dy
= [( 3  4 - y )2 - ( 3 - 4 - y )2 ]dy
= 12 4 - ydy,
V = 12 
0
M
2
dV = [ PM - QM ]dy
4
Q
4 - ydy = 64.
3
三、小结
绕 x 轴旋转一周


旋转体的体积 
绕 y 轴旋转一周

平行截面面积为已知的立体的体积