Transcript 第六章定积分的应用

第六章 定积分的应用



第一节 定积分的微元法
第二节 定积分在几何中的应用
第三节 定积分在物理中的应用
本章用定积分方法分析和解决一些实际问题.通过一些
实际例子，不仅可以掌握某些量的计算公式，而且更重要
的是学会运用微分元法将一个未知量表达成定积分的分析
方法.
第一节 定积分的微元法
在第十六章中，利用定积分表示曲边梯形的面积、变
速直线运动的路程这些量时，均采用了分割、近似、求和、
取极限四个步骤，建立了所求量的积分式.以求曲边梯形面
积为例子，简单回顾一下求解过程.
设 函 数 y  f ( x ) 在 区 间  a , b  上 连 续 , 且 f ( x )  0, 求 以 曲 线
y  f ( x )为 曲 边 , 以  a , b  为 底 的 曲 边 梯 形 的 面 积 A .
(1) 分 割 将  a , b  任 意 分 成 n 个 子 区 间  x i 1 , x i  , ( i  1, 2,
, n ), 相
应 地 将 曲 边 梯 形 分 成 n个 小 曲 边 梯 形 ;
(2) 近 似 在 每 一 个 子 区 间  x i 1 , x i  上 任 取 一 点  i , 以 f ( i ) 和  x i
为 边 长 的 小 矩 形 的 面 积 近 似 替 代 相 应 的 小 曲 边 梯 形 的 面 积  Ai ,
即  Ai  f (  i )  x i
n
n
i 1
i 1
(3)求 和 曲 边 梯 形 面 积 A的 近 似 值 为 A    Ai   f ( i ) x i
(4) 取 极 限  = m ax{  x1 ,  x 2 ,
n
A  lim  f ( i ) x i 
  0 i 1

,  x n }, 于 是
b
f ( x ) dx
a
在 上 述 四 步 中, 若 从 任 意 分 割 后 的 若 干 子 区 间 上 任 取 一 个
代 表 来 讨 论 , 这 个 代 表 区 间 可 记 为  x , x  d x  , 而 点  i可 以 用 x来
代 替 , 那 么 ( 2 )中 的 近 似 形 式 f ( i )  x i 可 表 示 为 f ( x ) d x , 它 和 ( 4 )中

b
的定积分
f ( x ) d x被 积 表 达 式 相 同 , 从 而 可 以 把 上 述 四 步 简 化
a
为两步.
y
y  f ( x)
(1) 选 取 积 分 变 量 x   a , b  , 在
 a , b  上 任 取 一 代 表 性 区 间  x , x  dx 
如 图17  1所 示 , 区 间  x , x  dx  上 的 小
dA
曲 边 梯 形 的 面 积  A可 近 似 以 数 f ( x )为
高 , dx为 底 的 小 矩 形 面 积 f ( x ) dx , 即
 A  f ( x ) dx
O
a
x
x  dx
图6  1 微 元 法 图 形
b
x
(2 ) 将 上 式 右 端 在 区 间  a , b  上 积 分 , 得 A 

b
f ( x ) dx一 般 地 ,
a
若 所 求 量 A与 x 变 化 区 间  a , b  有 关 .且 关 于 区 间  a , b  具 有 可 加 性 ,
在  a , b  上 的 任 意 一 个 小 区 间  x , x  dx  上 找 出 所 求 量 的 一 微 小 量
的 近 似 值 d A  f ( x ) dx , 然 后 把 它 作 为 被 积 表 达 式 , 从 而 得 到 所 求
量 A的 积 分 表 达 式 A 

b
f ( x ) xdx
a
这 种 方 法 叫 做 微 元 法( 或 叫 做 元 素 法 ) , d A  f ( x ) xdx 称 为 所 求
量 A的 微 元 或 元 素 .
思考题
1. 使 用 定 积 分 微 元 法 要 满 足 哪 些 条 件 ?
2. 请 用 定 积 分 表 示 由 曲 线 y =
1
答案
, y  x, x  2所 围 图 形 的 面 积 S .
x
3. 应 用 微 元 法 解 决 实 际 问 题 , 最 重 要 的 一 步 是 什 么 ?
答案
答案
课堂练习题
1. 求 由 曲 线 y = ln x, y 轴 和 直 线 y = ln a , y = ln b  b > a > 0 
所 围 图 形 的 面 积.
2. 曲 线 r = 2 a cos  所 围 图 形 面 积 S 为 多 少 ?
答案
答案
第二节 定积分在几何中的应用
一、平面图形的面积
1. 在直角坐标系下的计算
(1) 根 据 第 一 节 的 分 析 可 知 , 由 曲 线 y  f ( x )  0, x  a , x  b ,
( a  b ) 及 x 轴 所 围 成 的 图 形 ( 见 图 6  1), 其 面 积 微 元 dA  f ( x ) dx
面积A 

b
f ( x ) dx
a
( 2 )由 上 , 下 两 条 曲 线 y  f 1 ( x ), y  f 2 ( x ),  f 2 ( x )  f 1 ( x ) 
及 x  a , x  b , ( a  b ) 所 围 成 的 图 形 ( 见 图 6- 2), 其 面 积 微
元 dA 
f
2
( x )  f1 ( x )  , 面 面 积 A 

b
a
f
2
( x )  f1 ( x )  d x
y
d
y
x  g1 ( y )
y  f2 ( x)
y  dy
x  g2( y)
dA
O
a
x
x  dx
b
y
x
c
y  f1 ( x )
6-2
x
O
6-3
微元法求面积
微元法求面积
(3)由 左 右 两 条 曲 线 x  g 1 ( y ), x  g 2 ( y ),  g 2 ( y )  g 1 ( y ) 
及 y  cy  d , ( c  d ) 所 围 成 的 的 图 形 ( 见 图1 7  3), 其 面 积 微
元 dA   g 2 ( y )  g 1 ( y )  , 面 积 A 

b
c
g
2
( y )  g1 ( y )
例 1 求 抛 物 线 y  4  x 与 x轴 所 围 成 的 平 面 图 形 面 积 .
2
解 如 图 6  4所 示 , 取 积 分 变 量 为 x, 为 了 确 定 平 面 图 形 所 在 范 围 ,
y  4 x
2
先 求 抛 物 线 y  4  x 与 x轴 的 交 点 . 为 此 解 方 程 组 
y  0
2
y
交 点 为 (  2, 0) 与 (2, 0), 可 知 积 分
4
区 间 为  - 2, 2  , 其 面 积 微 元 为 dA 
y  4 x
2
(4  x ) dx 故 所 求 图 形 面 积 为
2
A

2

2
(4  x ) dx  2
2
2
32
(4  x ) dx 
3
2
0
2
O
2
图6-4 例1示意图
x
例 2 计 算 由 两 条 抛 物 线 y  x 与 y  x所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 .
2
2
y  x
解 如 图 6  5 所 示 , 取 x为 积 分 变 量 . 解 方 程 组  2
y  x
得 交 点 为 ( 0, 0) 与 ( 1, 1) , 故 积 分
y
2
区 间 为  0, 1 , 其 面 积 微 元 为 d A 
y  x
2
(
x  x ) d x .( 等 式 右 端 为 什 么 不
2
2
能表示为( x -
x ) d x ?)因 而 所 求
y  x
2
图形面积为
A

1
1
3
1
2 2 1 3
( x  x ) dx 
x  x

 3
3  0 3
2
0
O
x
图6-5 例2示意图
例 3 求 由 抛 物 线 y  2 x与 直 线 y  x  4 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 .
2
1 2

x  y
2
解 如 图 6  6 所 示 , 取 y为 积 分 变 量 比 较 简 便 . 解 方 程 组 
 x  4  y
得 交 点 (2,  2 ) 与 (8, 4 ), 所 以 积
分 区 间 为   2, 4  .其 面 积 元 素 为
y 

dA   ( y  4 ) 
dy , 故 所 求 图

2 

2
形面积为
A

y  2x
2
(8, 4)
y x4
O
y 

(
y

4
)


 dy
2 
2 
4
2
(2,  2)
4
1 3
1 2
  y  4 y  y   18
6  2
2
图6-6 例3示意图
y
例4 求摆线
 x  a ( t  sin t )
, (0  t  2  )

 y  a (1  cos t )
的 第 一 拱 与 x轴 所 围 成 的 图 形
面 积 ( 见 图 6- 7)
2 a
O
图6-7 例4示意图
解 以 x为 积 分 变 量 , 当 t  0时 , x  0;
当 t  2  时 , x  2  .一 进 应 用 积 分
的换元法得所求面积
A



2 a
ydx 
0

2
a (1  cos t ) d  a ( t  sin t ) 
0
2
a (1  cos t ) dt  a
2
0
2
x

2
2
0
1  cos 2 t

 1  2 cos t 
2


 dt

x
2
a
2
sin 2 t 
3
2
t  2 sin t 
 3 a
 2
4  0
 x  x (t )
一般地, 当曲边梯形的曲边由参数方程 
, (  t   )
 y  y (t )
给 出 时,则 曲 边 梯 形 的 面 积 为 A 


y ( t ) x '( t ) dt

式 中 , y ( t )  0;  与  分 别 为 曲 边 左 , 右 端 所 对 应 的 参 数 值 .
2.在极坐标系下的面积计算
设 曲 线 的 方 程 由 极 坐 标 给 出 : r  r ( ),      , 求 曲 线
r  r ( ), 半 直 线    ,    所 围 成 的 曲 边 扇 形 的 面 积 ( 见 图
6-8 )
利 用 微 元 法 , 取 极 角  为 积 分 变 量 , 变 化 区 间 为  ,   , 在 任
意 子 区  ,  +d   上 ,曲 边 扇 形 面 积 的 部 分 量 可 用  处 的 极 径 r
( )为 半 径 , 以 d  为 圆 心 角 的 扇 形 来 近 似 代 替 , 即 面 积 的 微 元
为 dA 
2
1
r
(

)
d  , 在  ,   上 积 分 , 得 曲 边 扇 形 面 积 为


2
A



2
1
r ( )  d 

2
r  r ( )
  a (1  cos  )

  d


O
2a
x

O
图6-8 微元法求曲边扇形面积
x
图6-9
例5、例10示意图
例 5 计 算 心 形 线  =a (1  cos  ), ( a  0) 所 围 成 的 图 形 面 积 .
解 如 图17  9 所 示 ,由 于 图 形 对 称 于 极 轴 , 只 要 算 出 极 轴 以 上 部 分
图 形 的 面 积 Ai , 再 乘 以 2 即 得 所 求 的 面 积 A .
显 然 在 极 轴 以 上 部 分  的 变 化 区 间 为  0,   , 面 积 微 元 为
dA 
因此
A1 


0
1 2
 a
2

1 2
1
2
r ( ) d   (1  cos  ) d 
2
2
1 2
1 2
2
a (1  cos  ) d   a
2
2


0
1
3
  2 cos   cos 2
2
2



(1  cos  ) d 
2
0

 d

1 2 3
1
3

2
a
  2 sin   sin 2
 a
 2

2
4
4
0
故 所 求 的 面 积 A  2 A1 
3
2
a
2
二、旋转体的体积
求 由 曲 线 y  f ( x )直 线 x  a , x  b ( a  b ) 及 x轴 所 围 成 的 曲
边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 形 成 的 立 体 (叫 旋 转 体 )的 体 积 ( 见 图
6  10)
y
y  f ( x)
取 横 坐 标 x为 积 分 变 量 , 在 区 间
 a , b  上 任 取 一 子 区 间  x , x  dx  在
其上的小旋转体可近似看成底半
b
a
O
x
x  dx
径 为 y , 高 为 dx的 小 圆 柱 体 , 即 体 积
微元
dV   y dx    f ( x )  dx
2
2
图 6  10 绕 x 轴 求 体 积
x
则旋转体体积
V 

b

 y dx  
2
a
b
2
( 6- 7)
f ( x ) dx
a
同 理 可 以 得 到 : 由 由 线 x   ( y ), 直 线 y  c , y  d ( c  d ) 与 y
轴 所 围 曲 边 梯 形 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 形 成 的 旋 转 体 ( 见 图 6- 11)
的体积为
V 

d
 x dy  
2
c

d
 ( y ) dy
2
( 6- 8)
c
d
x   ( x)
c
O
图 6  11 绕 y轴 求 体 积
x
例6 求椭圆
x
2
a
2

y
2
b
2
 1绕 x 轴 旋 转 所 得 旋 转 体 的 体 积 .
解 该 旋 转 体 可 以 看 作 由 曲 线 y  b a 2  x 2 绕 x 轴 旋 转 而 成 (见
a
6-12 )
图
取 积 分 变 量 为 x , 积 分 区 间 为   a , a  , 体 积 微 元 为 dV   y dx
2

b
2
a
2
( a  x ) dx 故 所 求 体 积 为
2
2
V 

a

a
b
2
a
2
( a  x ) dx 
2
2
a
2 b
a
2
2

a
( a  x ) dx
2
2
0
2 b  2
1 3
4
2
a
x

x


ab
2
3  0
3
a 
特 别 情 况 , 若 a  b , 例 6变 成 圆 绕 x 轴 旋 转 成 为 球 体 , 其 体 积
2

V 
4
3
a
3
y
y
b
O
a
r
O
a
h
x
x
b
图6-12
图6-13
例6示意图
例7示意图
例 7 求 底 圆 半 径 为 r , 高 为 h的 圆 锥 体 的 体 积 .
解
以 圆 锥 全 的 轴 线 为 x 轴 , 顶 点 为 原 点 ( 见 图 6  13).过 点 O 及 点
P ( h , r )的 直 线 方 程 为
y
r
x
h
r
此 圆 锥 体 可 看 作 由 直 线 y  x , x  0, x  h 及 x 轴 所 围 成 的 直 角
h
三 角 形 绕 x 轴 旋 转 围 成 的 .由 旋 转 体 体 积 的 计 算 公 式 , 得 所 求 圆 锥
体的体积
V 

h
0
2
h
r x 
1
r 
2
  x  dx  2     r h
h  3 0 3
h 
2
3
三、求平面曲线弧长
现 在 来 计 算 曲 线 y  f ( x ) 上 相 应 于 x从 a 到 b的 一 段 弧 的 长 度 .
设 函 数 y  f ( x )在  a , b  上 具 有 一 阶 连 续 导 数 , 选 取 x   a , b 
为 积 分 变 量 , 任 取 一 子 区 间  x, x  dx  , 相 应 的 小 弧 段 M N的 长
y
度可以用曲线在点M
 x,
f ( x)处 的
切 线 上 相 应 的 小 直 线 M T的 长 度 近
y  f (x)
似 代 替 , 如 图 6- 14所 示 , 由 于 切 上
小直线段MT 
N
M
y
T
Q
(dx)  (dy ) 
2
1  ( y ') d x 于 是 可 取 弧 长 微 元 为
2
dy
O
a
x
2
x  dx
b
图6-14 微元法求弧长
x
dl 
1  ( y ') dx
2
( 微 小 的 切 线 段 长 度 替 代 与 之 相 应 的 微 小 弧 线 段 的 长 度 .)
所以, 所求弧长为
l

b
1  ( y ') dx
2
a
 x   (t )
如果曲线是由参数方程 
, (  t   ) 表 示 , 则 弧 长 微 元 为
 y   (t )
dl 
( dx )  ( dy ) 
2
2
于是弧长为
 '( t ) dt    '( t ) dt  
2
l



2
 '( t ) 
2
 '( t )    '( t )  dt
2
  '( t )  dt
2
2
若 曲 线 由 极 坐 标 r  r ( ), ( 1     2 ) 表 示 , 依 坐 标 变 换 公 式
x  r cos  , y  r sin  不 难 得 出 弧 长 微 元 为
 r ( ) 
dl 
2
  r '( )  d 
2
于是
l

1
2
 r ( )    r '( )  d 
2
2
例 8 计 算 半 径 为 R的 圆 的 周 长
解
圆 心 在 原 点 , 半 径 为 R的 圆 方 程 是 x  y  R .由 于
2
2
2
对 称 性,整 个 圆 周 长 等 于 第 一 象 限 的 一 段 圆 弧 长 度 的4
倍 .此 时 y 
R  x ,y' 
2
x
2
R  x
2
dl 
1  y ' dx 
2

1 

.
2
2

dx 
2
2 
R x 
x
R
R x
2
dx
2
所以圆周长

R
l4

R
1  y ' dx  4
2
0
0
R
x

dx  4 R arcsin
 2 R


2
2
R 0
R x
R
 x  a cos t
例9 求星形 
, ( a  0)的 全 长 ( 见 图 6  15).
3
 y  a sin t
2
解 由于星形线关于两个坐标轴对称, 所以所求曲线的长度是
该 曲 线 在 第 一 象 限 内 曲 线 长 的 4倍 . 取 t 为 积 分 变 量 .
dy
2
 3 a sin t cos t
dt
dx
2
  3 a cos t sin t
dt
于是弧长微元为
dl 
a
(  3 a cos t sin t )  (3 a sin t cos t ) dt
2
2
2
2
2
l4
0
y  a sin t
3
O
a
所要求的弧长为

x  a co s t
3
 3 a sin t cos tdt

y

 sin t  2
3 a sin t cos tdt  12 a 
 6a

 2 0
2
a
a
图6-15 例9示意图
x
例 10 求 心 形 线 r  a (1  cos  ), ( a  0)的 弧 长 ( 见 图 6-9
)
解 由 于 心 形 线 关 于 极 轴 对 称 , 因 此 只 需 计 算 x轴 上 方 的 半 条 曲
线 的 长 度 再 乘 以 2即 可 .取  为 积 分 变 量 , 积 分 区 间 为  0,   , 弧 长
微元为
r  r ' d 
dl 
2
2
a (1  cos  )  a (sin  ) d 
2
 a 2(1  cos  ) d   2 a cos
2

2
2
d
于是所求弧长为


l  2
2 a co s
0


 

d   4 a 2 sin
 8a


2
2 0

思考题
1. 请 写 出 曲 线 y  f
 x  , x  a , x  b及 x轴 所 围 曲 边 梯 形 绕 x
轴 旋 转 后 形 成 的 旋 转 体 的 体 积 公 式.
答案
2." 球 体 可 以 看 成 是 椭 球 体 的 特 殊 情 况 " 该 命 题 是 否 正 确 .
答案

 x =  t 
3. 若 曲 线 弧 是 由 参 数 方 程 
  t    给 出,

 y   t 
请 写 出 弧 长 微 元 ds.
答案
课堂练习题
2
1. 求 由 曲 线 y = 2x + 3与 y = x 所 围 图 形 的 面 积 .
答案
2. 计 算 由 抛 物 线 y  4 x 及 直 线 x  2 所 围 图 形 绕 x 轴 旋 转 得
2
答案
到的旋转体体积.
a
3. 由 弧 长 公 式 求 对 数 螺 线 r = e 相 应 于 自   0 到    的
这 段 弧 长.
答案
第三节 定积分在物理中的应用
定积分的应用十分广泛，自然科学、工程技术中的许多
问题都可以使用定积分这种数学模型来解决.下面讨论一些
物理方面的实例，旨在加强读者微元法建立定积分模型.
一、变力做功
由 物 理 学 可 知,在 大 小 f 的 常 力 的 作 用 下,物 体 沿 力 的 方 向
作 直 线 运 动 , 当 物 体 移 动 一 段 距 离 s时 , 力 所 做 的 功 为
W  F s
但在实际问题中，物体在运动过程中所受到的力是变化
的，这就是下面要讨论的变力做功问题.
例 1 把 一 个 带 +q电 量 的 点 电 荷 放 在 r 轴 上 坐 标 原 点 O 处 , 它
产生一个电场. 这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学
知 道 , 如 果 有 一 个 单 位 正 电 荷 放 在 这 个 电 场 中 距 离 原 点 O为
r的 地 方 , 那 么 电 场 对 它 的 作 用 力 大 小 为
f k
q
r
2
, (k为 常 数 )
如 图 6  17 所 示 , 当 这 个 单 位 正 电 荷 在 电 场 中 从 r  a 处 沿
r  a 处 沿 r 轴 移 动 到 r  b , ( a  b )处 时 , 计 算 电 场 力 对 它 所 做 的
功.
q
O
a
x
图6-17
x  dx
电场力所做的功
b
r
解 (1) 取 积 分 变 量 为 r , 积 分 区 间 为  a , b  ;
(2 ) 在 区 间  a , b  上 作 取 一 小 区 间  r , r  dr  , 与 它 相 应 的 电 场
力所做的功近似于把f  k
元
dW 
q
2
作 为 常 力 所 做 的 功,从 而 得 到 功 微
r
dk
r
2
dr
(3)所 求 的 电 场 力 所 做 的 功 为
W 

b
a
dk
r
2

b
dr  kq
a
dr
r
2
b
 1
1 1
 kq 
 kq

(功 为 单 位 )
 r 
 a b 
a
一 般 地 , 若 大 小 为 f ( x )的 变 力 将 某 一 物 体 沿 力 方 向 从 x  a
移 到 x  b处 , 则 变 力 所 做 的 功 为
W 

b
f ( x ) dx
a
( 6- 12)
下面再举一个计算功的问题，但它通过定积分的微元法，
先求功微元，再求定积分，并给出了一个解决此类问题的数
学模型.
例2 修建一座大桥墩时先要下围囹,
10m
并抽尽其中的水以便施工, 已知半径是
2m
10 m的 圆 柱 形 围 囹 的 上 沿 高 出 水 面 2 m ,
x
18m
dx
河 水 深 18 m ,问 抽 尽 围 囹 内 的 水 做 多 少 功 ?
解 以围囹上沿圆心为原点, 向下的方
向 为 x 轴 的 正 向 , 建 立 如 图1 7  1 8 所 示
的 坐 标 系.
(1) 取 水 深 x为 积 分 变 量 , 它 的 变 化 区 间
为  2, 20  ;
图6-18 例题 抽水做功
( 2 ) 相 应 于  2, 2 0  上 任 一 小 区 间  x , x  d x  的 一 薄 层 水 的 高
度 为 d x , 水 的 密 度 为  kg / m , 这 薄 层 水 的 重 力 为  Sd x ( 其 中 是
3
薄 层 水 的 底 面 积 .) 把 薄 层 水 抽 出 围 囹 外 时 , 需 要 提 升 的 距 离 近
似 为 x ,因 此 需 做 的 功 近 似 为
dW  x  Sdx  100  xdx即 所 求 微 元 ;
(3) 在  2, 20  上 求 定 积 分 , 就 得 到 所 求 的 功 为
W 

20
100  xdx  50  x
2
20
2
 6.078  10 (J )
8
2
二、液体压力
从 物 理 学 知 道 , 如 果 有 一 面 积 为 A的 平 板 , 水 平 地 放 置 在 液
体 深 度 为 h处 , 那 么 , 平 板 一 侧 所 受 的 液 体 压 力 等 于 底 面 积 为
A , 高 为 h的 液 体 柱 的 质 量 , 即
P   hA
式 中,  为 液 体 的 密 度 .
但是在实际问题中, 平板放置并不总水平, 现就垂直放置
的平板的一侧所受的液体压力进行进行计算. 另外, 倾斜放
置在液体内的平板的一侧所受的压力也可以用定积分的微
元法计算.
例 3 洒 水 车 水 箱 规 格 尺 寸 如 图 17- 19所 示 , 当 水 箱 半 满 时 ,
求水箱椭圆端面的一侧所受的压力.
解 建 立 如 图 6  20 所 示 的 直 角 坐 标 系 , 水 箱 端 面 椭 圆 曲 线 方 程 为
x
2
b
2

y
2
a
2
 1, (0  x  b )
2b
l*
2a
图6-19
例3水箱
(1) 取 积 分 变 量 为 x , 积 分 区 间  0, b  ;
( 2 ) 在  0, b  上 任 取 一 小 区 间  x , x  d x  , 而 面 积 为
dA  2
a
b
b  x d x的 小 窄 条 ( 见 图 6  2 0阴 影 部 分 )
2
2
一侧所受的液体压力, 也就是压力微元为
dP  2
a
2
2
 x b  x dx
b
(3)所 求 的 液 体 压 力 为
P 


b
2
0
O
x
b
a
 2 a

2
2
2
2
 x b  x dx  
(b  x )
 3 b

b
0
2
2
 ab ( 压 力 单 位 )
3
3
2
x  dx
b
图6-20
例3液体压力
a y
例4 设有一竖直的闸门, 形状是等腰梯形, 它的某些尺寸
如 图 6- 21所 示 , 当 水 面 齐 闸 门 顶 时 , 求 闸 门 所 受 的 水 压 力 .
解 (1) 建 立 直 角 坐 标 第 , 如 图 6  22 所 示 , 取 积 分 变 量 x , 积 分
区 间  0, 6  ;
6cm
O
A (0, 3)
y
x
x  dx
B (6, 2)
4cm
图 6  21 例 4闸 门
x
图 6  22 例 4闸 门 所 受 压 力
( 2 ) 在 此 坐 标 系 中 , 直 线 A B的 方 程 为 y  
x
3
6
在 区 间  0, 6  上 任 取 一 小 区 间  x , x  d x  , 与 相 应
 x

的 小 薄 片 的 面 积 近 似 于 宽 为 dx, 长 为 2 y  2    3 
 6

的 小 矩 形 面 积,这 个 小 矩 形 的 受 到 的 压 力 近 似 于 把
这个小矩形放在平行于液体表面且距液体表面深度
为 x的 位 置 上 一 侧 所 受 到 的 压 力 . 由 于

x

  9.8  10 , dA  2    3  dx , h  x
 6

3
所以压力微元为
 x

 x

3
3
d P  9 .8  1 0  x  2    3  d x  9 .8  1 0   
 6 x  dx
 6

 3

2
(3)所 求 水 压 力 为
P 

6
 x

9.8  10   
 6 x  dx
 3

2
0
6
x
5
3 
2 
 9.8  10  
 3 x   8.23  10
 9
0
一般地液体的计算公式为

a
3
3
P 
y
O
b
 xf ( x ) dx
a
x
x  dx
b
x
图6-23 液体压力计算
式 中 ,  为 液 体 的 密 度 , f ( x )为 薄 片 曲 边 的 函 数 式 ( 见 图 6  23)
三、引力
由 万 有 引 力 定 律 知 道 , 两 质 量 分 别 为 m 1和 m 2 , 相 距 为 r的 质
点间的引力为
F k
m1 m 2
r
2
, (k为 引 力 常 数 )
已经知道，一个均匀细杆和一个质点也会产后引力，下
面用定积分的微元法来分析计算这样的实际问题.
例 5 设 有 一 长 为 l, 质 量 为 M 的 均 匀
l
a
细 杆 , 另 有 一 质 量 为 m的 质 点 和 细 杆
m
O
x
x  dx
图6-24 细杆对质点的引力
在 一 条 直 线 上 ,它 到 细 杆 的 近 端 距 离
为 a,计 算 细 杆 对 质 点 的 引 力 .
选 取 坐 标 系 如 图 6  24 所 示 .
解
(1) 取 积 分 变 量 为 x , 积 分 区 间 为  0, l  ;
(2) 在  0, l  上 任 取 一 小 区 间  x , x  dx  , 看 点 m 与  x , x  dx  对
应 的 一 小 段 细 杆 的 引 力 ,即 引 力 微 元 为
M
m
dx
km M
dx
l
dF  k


2
2
l
(a  x)
(a  x)
( 其 实 看 是 将  x , x  dx 内 的 一 段 细 杆 看 成 是 一 个 质 点 .)
(3)所 求 引 力 为
F 

l
0
l
km M
dx
km M 
1 
km M



2 
l
(a  x)
l  a  x  0 a ( a  l )
思考题
1. 如 何 应 用 定 积 分 计 算 变 力 所 作 的 功 .
答案
2. 思 考 解 决 物 理 问 题 的 一 般 步 骤 .
答案
课堂练习题
1. 某 物 体 以 速 度 V = 3 t  2 t  m / s  作 直 线 运 动 , 计 算 出 该 物
2
体 从 t  0到 t  3  s  这 段 时 间 内 的 平 均 速 度 .
 a
2. 计 算 周 期 为 T 的 矩 形 脉 冲 电 流 , i = 
 0
答案
0  t  c 
c < t  T 
的 有 效 值.
答案
1.(1) 所 求 量 Q 是 区 间  a,b  上 的 关 于 区 间 的 可 加 量 .
( 2 ) 在 部 分 区 间  x, x + d x  上 所 求 增 量 Q 应 有 线 性 近 似 式
Q  f
 x  dx, 且
Q f
 x  dx
是 d x的 高 阶 无 穷 小 .
返回
2. S = 
2
1
1

 x - dx
x

返回
3.是 列 出 微 元 .
返回
1.解 : 如 左 图 以 y 为 积 分
变量则所求图形的面积为:
ln b
ln a
O
1 a
b
S=

l nb
ln a
e dy  e
y
y
ln b
ln a
 b  a.
返回

2.解 : S  2 2

0
 4a
2
1
2
 2 a cos   d 
1 
2

 4a
2

2
cos  d 
2
0
a .
2
2 2
返回
1.V  

b
a
y dx  
2

b
f
a
2
 x  dx
返回
2.是 正 确 的 .
返回
3.ds 



   t       t   dt .
2
2
返回
1 . 解 : 作 图 可 知 两 曲 线 的 交 点 分 别 为   1,1  ,  3, 9  .以 x为 积
分变量则
x 

2
S =   2 x + 3- x  dx   3 x  x 

1
3


3
3
3

2
1
32
.
3
返回
2 . 解 : V旋 

2
0
 y dx 
2

2
0
  4 x  dx  4 

2
0
xdx  4 
x
2
2
2
 8 .
0
返回
3.解 : S 



r  r  d 
2
2
0
1 a
2


0
a

e d 

e
2 a
a e
2
2 a
d
0
1 a
a
2
e
a
 1 .
返回
1.先 求 出 功 的 微 元 dw , 然 后 结 合 实 际 确 定 积 分 区 间  a , b  ,
则所求的功w 

b
dw .
a
返回
2 .1 明 确 所 要 研 究 的 物 理 问 题 中 的 物 理 规 律 ; 2 根 据 所 求
量 a的 范 围 选 取 适 当 坐 标 系 ; 3 确 定 积 分 变 量 , 各 分 变 量 的 取
值 范 围  a ,b  ; 4 利 用 物 理 规 律 得 到 积 分 微 元 d Q; 5 列 出 各 分
Q 

b
dQ.
a
返回
1.解 :  
1
 3t

30
3
0
2
 2 t  dt 
1
3
3
t
3
t
2

 12  m / s  .
0
返回
2.解 : I 
1
T

T
i
0
2
 t  dt

a dt  0  


T
1
c
0
2
c
a.
T
返回