Transcript 立体的体积

第五章 定积分的应用
第三节 立体的体积
一平面图形绕平面内的一条直线旋转所成的立
体称为旋转体,该直线称为旋转轴.
常见的旋转体有圆柱体、圆锥体、圆台体和球体.
如何求旋转体的体积?
求由y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边
梯形绕x轴旋转形成的旋转体的体积.
y
取横坐标x为积分变量,
在区间[a,b]上任取一子区间
[x,x+dx],
在其上的小旋转
y
体可近似看成底半径为y, 高
为dx的小圆柱体, 即有体积
微元 dV   y2dx   f 2  x  dx
则旋转体的体积为V  

b
a
o a
x
x+dx b
y dx    f 2  x dx
2
b
a
x
由x= ψ(y),直线y=c,y=d及y轴所围成的曲边梯
形绕y轴旋转形成的旋转体的体积.
y
d
y+dy
x
o
体积为 V  

d
c
x
x dy    
2
d
c
2
 y dy
例1
x2 y2
求由椭圆 2  2  1 所围的平面图形绕
a b
x 轴旋转所成的旋转体的体积.
解
利用图形的对称性.
(一) 选取积分变量为 x [0, a]，任取一个子区
间 [x, x + dx]  [0, a]，
在子区间[x , x + dx] 上旋转体的微元为：
dV1= y2 dx，
于是
2
x
2
V  2V1  20 y dx  20 b2 (1  2 )dx
a
4
 ab2 .
3
y
a
a
O
x x+dx
x
(二)选积分变量 y [0, b]，任取子区间
[y , y + dy]  [0, b]. 在子区间 [y , y + dy]上
体积的微元为
dV1= 2xydy，
则
4a b 2 2
4 2
y b  y dy  ab .
V  2V1  4 xydy 

0
0
b
3
b
y
y +dx
y
O
dy
x
x
2y
x x
例 2 求 y = x2 与 y2 = x 所围图形绕 x 轴旋转
所成的旋转体体积. 绕y轴旋转形成的旋转体体积呢?
解 选积分变量 x  [0, 1] (两曲线的交点为
(0, 0) 和 (1, 1)) ， 任取子区间[x, x + dx]  [0, 1]，
其上的体积的微元为
2
dV  ( y12  y22 )dx,
y2 = x
y
y12  x
(1, 1)
V   ( y12  y22 )dx
1
0
3
  ( x  x )dx  .
0
10
1
4
O
x x+dx
x
小结
旋转体体积公式
绕x轴旋转:
V    y dx    f 2  x dx
b
2
a
b
a
2
V


x
d
y



绕y轴旋转:
c
c  y dy
d
2
d
练习
y=x2,x=0,x=2,y=0所围成的平面图形分别
绕x轴及y轴旋转形成的旋转体的体积.
y=x2
y
o
2
x