Transcript 二重积分的变量变换

§4
二重积分的变量变换
二重积分的变量变换公式
用极坐标计算二重积分
一、二重积分的变量变换公式
v
定理21.13
变换:
设 f ( x , y ) 在闭域 D上连续,
 x  x(u , v) (u , v)  D  D
T :
 y  y (u , v)
D
o
u
满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上一阶偏导数连续;
(2) 在 D上 雅可比行列式
 ( x, y )
J (u , v ) 
 0;
 (u , v )
(3) 变换T : D  D 是一一对应的 ,
T
y
D
o
x
则

f ( x, y) d x d y
D

 f ( x(u, v ), y(u, v ))
D
J ( u, v ) d u d v
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
在 u ov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
形, 其顶点为
v
vk
v
M 1 (u, v) ,
M 2 (u  h, v),
M 3 (u  h, v  k ) , M 4 (u, v  k ).
o
h k , 则
M 2
D
u uh
x
u (u , v)
u
M3
M4
D
M1
o
2
x2  x1  x(u  h, v)  x(u, v) 
M 1
y
形, 其对应顶点为M i ( xi , yi ) (i  1, 2, 3, 4)
令 
M 3
T
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边
2
M 4
h  o(  )
M2
x
x
x4  x1  x(u, v  k )  x(u, v) 
k  o(  )
(u , v)

v
y
y

y
同理得 2
h  o(  )
1
u (u , v)
y4  y1 
y
 v (u , v)
k  o(  )
当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四
边形, 故其面积近似为
  M 1M 2  M 1M 4
x

u
x
v
h
h
y
u
y
v
k
k

x2  x1 y 2  y1

x4  x1 y 4  y1
x
x
u
y
v
y
u
v
hk  J (u , v) hk
因此面积元素的关系为 d   J (u , v) d u d v
从而得二重积分的换元公式:
D f ( x, y) d x d y
  f ( x(u , v), y (u , v)) J (u , v) d u d v
D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x  r cos , y  r sin 
J 
 ( x, y )
 ( r , )

cos 
sin 
 r sin 
r
r cos 
  f ( x, y ) d x d y
D
 
D
f (r cos  , r sin  ) r d r d 
x y
例1. 计算
 e
x y
其中D 是 x = 0, y = 0,
dxdy
D
y
x + y = 1 所围区域.
1
解 令 u  x  y, v  x  y, 则
x 
1
( u  v ), y 
2
( v  u ),
2
1
J (u, v ) 
1
2
1

2
O
2
x
v
1
2
1
1

1
1
,
2
1
O
1 u
x y

e
x y
u
dxdy 


2
1
u
v
( ve ) |
0
v
v
dv 
1
dudv 
2
D
D
1

e 
v
1

2
1
2
1
v (e - e
0
1

1
0
dv 
) dv 
u
v
v
e-e
4
e v du
1
例2. 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 y   x , y   x
所围区域 D 的面积. ( 0  m  n , 0     )
解
令 u
y
2
v 
,
x
y
y
x
y  x
y x
v

y  nx
2
D
y  mx
2
O
x
D

O
m
n
u
二、用极坐标计算二重积分
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数
含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重
积分的计算. 此时,
x  r cos  , y  r sin
( x, y)
cos  r sin

J 
r
 (r , )
sin
r cos 
  f ( x , y ) d x d y
D


D
f ( r cos  , r sin  ) r d r d 
(i) 若原点在 D 外，D : r1 ( )  r  r2 ( ),   
则
 f (r cos , r sin )r d r d    
 ,
r  r2 ( )
D


 d  
r2 ( )
r1 ( )
f ( r cos  , r sin  )r d r
(ii) 若原点在 D 内，则

D
r  r1 ( )
O
x
f ( r cos  , r sin  )r d r d 
r  r ( )
D


2
0
d

r ( )
0
f ( r cos  , r sin  )r d r
 
D
O
x
  
(iii) 若原点在 D 的边界上，则

r  r ( )
D
f ( r cos  , r sin  )r d r d 
D


 d  
r ( )
f ( r cos  , r sin  )r d r
D : 1 (r )     2 (r ), r1  r  r2 ,
f ( r cos  , r sin  )r d r d 
D


r1
r1
O
   2 (r )
2 (r )

1 (r )
r  r2
D
r  r1
O
rdr
x
0
(iv) 若区域 D 可表示为

 
f ( r cos  , r sin  ) d 
   1(r )
r1
r2
x
例3. 计算
d
I  
1 x  y
2
D
其中
D: x  y  R .
2
2
2
2
被圆柱面
例4. 求球体
x  y  Rx
2
2
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
由对称性可知
解
V  4 
 4
R  x  y d
2
2
2

R cos

3
R (
2
r d r d

2

z
R  r rdr
2
2
0
y
3
2
D
D
4
R r
2
3
)
r  R cos 
o
R
D
x
x
y
rR
例5. 计算
其中 D : x  y  R .
2
解
2
2
作极坐标系变换，有
I
 e
r
2
r d r d 

2
0
R
d  0 r e
r
2
dr
D
  ( 1 e
由于 e
x
2
R
2
)
的原函数不是初等函数 ,
故本题无法用直角 坐标计算.
的体积V.
例6. 求椭球体
解: 取 D :
x
2
a
2

y
2
b
2
 1, 由对称性
 2 c 
D
1
x
2
a
2

y
2
b
2
d xd y
令 x  a r cos , y  b r sin  , 则
J 
( x, y )
a cos 

b sin 
( r , )
2
1  r a b r d r d
 V  2 c 
D
 2 abc 
 a r sin 
 abr
b r cos 
2
0
d
1
0
1 r r d r 
2
4
3
 abc