Transcript 二重积分的变量变换
§4
二重积分的变量变换
二重积分的变量变换公式
用极坐标计算二重积分
一、二重积分的变量变换公式
v
定理21.13
变换:
设 f ( x , y ) 在闭域 D上连续,
x x(u , v) (u , v) D D
T :
y y (u , v)
D
o
u
满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上一阶偏导数连续;
(2) 在 D上 雅可比行列式
( x, y )
J (u , v )
0;
(u , v )
(3) 变换T : D D 是一一对应的 ,
T
y
D
o
x
则
f ( x, y) d x d y
D
f ( x(u, v ), y(u, v ))
D
J ( u, v ) d u d v
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
在 u ov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
形, 其顶点为
v
vk
v
M 1 (u, v) ,
M 2 (u h, v),
M 3 (u h, v k ) , M 4 (u, v k ).
o
h k , 则
M 2
D
u uh
x
u (u , v)
u
M3
M4
D
M1
o
2
x2 x1 x(u h, v) x(u, v)
M 1
y
形, 其对应顶点为M i ( xi , yi ) (i 1, 2, 3, 4)
令
M 3
T
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边
2
M 4
h o( )
M2
x
x
x4 x1 x(u, v k ) x(u, v)
k o( )
(u , v)
v
y
y
y
同理得 2
h o( )
1
u (u , v)
y4 y1
y
v (u , v)
k o( )
当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四
边形, 故其面积近似为
M 1M 2 M 1M 4
x
u
x
v
h
h
y
u
y
v
k
k
x2 x1 y 2 y1
x4 x1 y 4 y1
x
x
u
y
v
y
u
v
hk J (u , v) hk
因此面积元素的关系为 d J (u , v) d u d v
从而得二重积分的换元公式:
D f ( x, y) d x d y
f ( x(u , v), y (u , v)) J (u , v) d u d v
D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
J
( x, y )
( r , )
cos
sin
r sin
r
r cos
f ( x, y ) d x d y
D
D
f (r cos , r sin ) r d r d
x y
例1. 计算
e
x y
其中D 是 x = 0, y = 0,
dxdy
D
y
x + y = 1 所围区域.
1
解 令 u x y, v x y, 则
x
1
( u v ), y
2
( v u ),
2
1
J (u, v )
1
2
1
2
O
2
x
v
1
2
1
1
1
1
,
2
1
O
1 u
x y
e
x y
u
dxdy
2
1
u
v
( ve ) |
0
v
v
dv
1
dudv
2
D
D
1
e
v
1
2
1
2
1
v (e - e
0
1
1
0
dv
) dv
u
v
v
e-e
4
e v du
1
例2. 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 y x , y x
所围区域 D 的面积. ( 0 m n , 0 )
解
令 u
y
2
v
,
x
y
y
x
y x
y x
v
y nx
2
D
y mx
2
O
x
D
O
m
n
u
二、用极坐标计算二重积分
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数
含有 x2 + y2 时,采用极坐标变换往往能简化二重
积分的计算. 此时,
x r cos , y r sin
( x, y)
cos r sin
J
r
(r , )
sin
r cos
f ( x , y ) d x d y
D
D
f ( r cos , r sin ) r d r d
(i) 若原点在 D 外,D : r1 ( ) r r2 ( ),
则
f (r cos , r sin )r d r d
,
r r2 ( )
D
d
r2 ( )
r1 ( )
f ( r cos , r sin )r d r
(ii) 若原点在 D 内,则
D
r r1 ( )
O
x
f ( r cos , r sin )r d r d
r r ( )
D
2
0
d
r ( )
0
f ( r cos , r sin )r d r
D
O
x
(iii) 若原点在 D 的边界上,则
r r ( )
D
f ( r cos , r sin )r d r d
D
d
r ( )
f ( r cos , r sin )r d r
D : 1 (r ) 2 (r ), r1 r r2 ,
f ( r cos , r sin )r d r d
D
r1
r1
O
2 (r )
2 (r )
1 (r )
r r2
D
r r1
O
rdr
x
0
(iv) 若区域 D 可表示为
f ( r cos , r sin ) d
1(r )
r1
r2
x
例3. 计算
d
I
1 x y
2
D
其中
D: x y R .
2
2
2
2
被圆柱面
例4. 求球体
x y Rx
2
2
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
由对称性可知
解
V 4
4
R x y d
2
2
2
R cos
3
R (
2
r d r d
2
z
R r rdr
2
2
0
y
3
2
D
D
4
R r
2
3
)
r R cos
o
R
D
x
x
y
rR
例5. 计算
其中 D : x y R .
2
解
2
2
作极坐标系变换,有
I
e
r
2
r d r d
2
0
R
d 0 r e
r
2
dr
D
( 1 e
由于 e
x
2
R
2
)
的原函数不是初等函数 ,
故本题无法用直角 坐标计算.
的体积V.
例6. 求椭球体
解: 取 D :
x
2
a
2
y
2
b
2
1, 由对称性
2 c
D
1
x
2
a
2
y
2
b
2
d xd y
令 x a r cos , y b r sin , 则
J
( x, y )
a cos
b sin
( r , )
2
1 r a b r d r d
V 2 c
D
2 abc
a r sin
abr
b r cos
2
0
d
1
0
1 r r d r
2
4
3
abc