Transcript 幻灯片1

抛物线
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简
单性质．
2．能解决直线与抛物线的位置关系等问题．
[理 要 点]
一、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离 相等的点 的
轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物
线的 准线 ．
二、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
图形
范围
对称轴
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x轴
顶点坐标
原点O(0,0)
焦点坐标
p
( ，0)
2
准线方程
p
x＝－
2
离心率
p
(－ ，0)
2
p
x＝
2
e＝1
标准方程 x2＝ 2py(p＞0)
x2＝ －2py(p＞0)
图形
范围
对称轴
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
y轴
顶点坐标
原点O(0,0)
焦点坐标
p
(0， )
2
p
(0，－ )
2
准线方程
p
y＝－
2
p
y＝
2
离心率
e＝1
[究 疑 点]
1．抛物线的定义中定点F与直线的位置关系有何要求？
提示：在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，
若定点F在定直线上，则可得动点的轨迹为过F且垂
直于l的直线．
2．若抛物线方程为y2＝2px，那么p有几何意义吗？
提示：不一定，只有当y2＝2px(p>0)时，p的几何意
义是抛物线的焦点到准线的距离．
[题组自测]
1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，
则点P的轨迹为
(
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
)
解析：依题意知，点P到直线x＝－2的距离等于它到
点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．
答案： D
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、
P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，
则有
(
)
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
p
解析：抛物线的准线方程为 x＝－ ，由定义得|FP1|＝x1
2
p
p
p
＋ ，|FP2|＝x2＋ ，|FP3|＝x3＋ ，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋
2
2
2
p
p
＋x3＋ ＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p，由 2x2＝x1＋x3 得
2
2
2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
答案：C
3．(2010·辽宁高考)设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，
P 为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足．如果直线 AF 的斜
率为－ 3，那么|PF|＝
A．4 3
B．8
C．8 3
D．16
(
)
解析：如图，由直线 AF 的斜率为－ 3，
得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，∴∠PAF
＝60°.又由抛物线的定义知|PA|＝|PF|，
∴△PAF 为等边三角形，由|HF|＝4 得
|AF|＝8，∴|PF|＝8.
答案：B
4．(2010·青岛三月模拟)在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)
的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是
(
A．(－2,1)
B．(1,2)
C．(2,1)
D．(－1,2)
)
解析：如图所示，直线l为抛物线y＝
2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1
⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，
∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，
当且仅当A、P、N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A
点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D项．
答案：B
本题中条件若变为“抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物
线上的动点，又A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值及取到最
小值时P的坐标”．
解：可判断 A 仍在抛物线内部，以抛物线上的点 P 到准线
1
l：x＝－ 的距离为 d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
2
7
当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为 ，此时 P 点纵坐标
2
为 2，代入 y2＝2x 得 P 坐标为(2,2)．
[归纳领悟]
抛物线的定义实质上是一种转化思想即：
1．抛物线上点到焦点距离转化到点到准线距离．
2．抛物线上点到准线距离转化到点到焦点距离起到化繁为
简的作用．注意定义在解题中的应用．
[题组自测]
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是
A．(2,0)
B．(－2,0)
C．(4,0)
D．(－4,0)
p
解析：由 p＝4，∴ ＝2，∴F(－2,0)．
2
答案：B
(
)
2．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A、
B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，
则此抛物线的方程是
(
A．y2＝12x
B．y2＝8x
C．y2＝6x
D．y2＝4x
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可得x1
＋x2＋p＝8，又AB中点到y轴的距离为2，∴x1＋x2＝
4，∴p＝4.
答案：B
)
3．(2010·长春模拟)当 a 为任何值时，直线(a－1)x－y＋
2a＋1＝0 恒过定点 P，则过 P 点的抛物线的标准方程
为
(
)
9
4
2
A．y ＝－2x 或 x ＝3y
9
4
2
B．y ＝2x 或 x ＝3y
9
4
2
C．y ＝2x 或 x ＝－3y
9
4
2
D．y ＝－2x 或 x ＝－3y
2
2
2
2
x＋2＝0，
解析：由
－x－y＋1＝0
得定点 P(－2,3)，
9
∵抛物线过定点 P，当焦点在 x 轴上时，方程为 y ＝－2x，
2
4
当焦点在 y 轴上时，抛物线方程为 x ＝3y.
2
答案：A
4.(2010·重庆高考)已知过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的
直线交该抛物线于 A、B 两点，|AF|＝2，则|BF|
＝________.
解析：设点 A，B 的横坐标分别是 x1，x2，则依题意有焦
点 F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，x1＝1，直线 AF 的方程是 x
＝1，此时弦 AB 为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.
答案：
2
[归纳领悟]
抛物线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”．
注意：焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一写成y2
＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一写成x2
＝ay(a≠0).
[题组自测]
1．连结抛物线x2＝4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛
物线交于点A，设点O为坐标原点，则△OAM的面积
为________．
解析：线段 FM 所在直线方程 x＋y＝1 与抛物线交于 A(x0，
x＋y＝1
y0)，则 2
x ＝4y
⇒y0＝3－2 2或 y0＝3＋2 2(舍去)．
1
3
∴S△OAM＝ ×1×(3－2 2)＝ － 2.
2
2
3
答案： － 2
2
2．(2011·洛阳模拟)过点 M(1,0)作直线与抛物线 y2＝4x 交
1
1
于 A、B 两点，则|AM|＋|BM|＝________.
解析：设直线方程为 y＝k(x－1)，代入 y2＝4x，得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
2k2＋4
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝
，x1x2＝1，
k2
1
1
1
1
∴
＋
＝
＋
|AM| |BM| x1＋1 x2＋1
x1＋x2＋2
＝
＝1.
x1x2＋x1＋x2＋1
答案：1
3．(2010·浙江金华)已知过点 A(－4,0)的动直线 l 与抛物线
G：x2＝2py(p>0)相交于 B、C 两点．当直线 l 的斜率
1
是 时， AC ＝4 AB .
2
(1)求抛物线 G 的方程；
(2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取
值范围．
1
解：(1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线 l 的斜率是 时，
2
1
l 的方程为 y＝ (x＋4)，即 x＝2y－4.
2
x2＝2py
由
x＝2y－4
得 2y2－(8＋p)y＋8＝0，
y1y2＝4 ①

∴
8＋p
y1＋y2＝ 2
②
，又∵ AC ＝4 AB ，∴y2＝4y1，
由①，②，③及 p>0 得：y1＝1，y2＝4，p＝2，则抛物线
G 的方程为：x2＝4y.
(2)设 l：y＝k(x＋4)，BC 的中点坐标为(x0，y0)，
x2＝4y
由
y＝kx＋4
得 x2－4kx－16k＝0，④
xC＋xB
∴x0＝
＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
2
1
∴线段 BC 的中垂线方程为 y－2k －4k＝－k(x－2k)，
2
∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2
＝2(k＋1)2，
对于方程④，由 Δ＝16k2＋64k>0 得：k>0 或 k<－4.
∴b∈(2，＋∞)．
[归纳领悟]
1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0，
将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方
程my2＋ny＋q＝0.
(1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；
当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；
当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．
(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与
抛物线的对称轴平行．
2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据)
2
p
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝ .
4
2p
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2 (θ 为 AB 的倾斜角)．
sin θ
p2
(3)S△AOB＝
(θ 为 AB 倾斜角)．
2sinθ
1
1
2
(4)
＋
为定值p.
|AF| |BF|
(5)以 AB 为直径的圆与准线相切．
(6)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切．
(7)∠CFD＝90°.
一、把脉考情
从近两年高考内容上看，考查的重点为抛物线的方程、
几何性质或与抛物线相关的综合问题，主要涉及题型为选
择、填空题．
从能力上看，主要考查学生的数形结合能力及分析问
题解决问题的能力，焦点、弦及P的几何意义仍是考查的
热点，注意与向量知识的交汇考查．
二、考题诊断
1．(2010·湖南高考)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，
则点P到该抛物线焦点的距离是
A．4
B．6
C．8
D．12
(
)
p 4
解析：由抛物线的方程得 ＝ ＝2，再根据抛物线的定义，
2 2
可知所求距离为 4＋2＝6.
答案：B
2．(2010·山东高考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点
且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的
中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 (
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
)
p
解析：抛物线的焦点 F( ，0)，所以过焦点且斜率为 1 的直线
2
p
p
方程为 y＝x－ ，即 x＝y＋ ，将其代入得：y2＝2px＝2p(y＋
2
2
y1＋y2
p
2
2
2
)＝2py＋p ，所以 y －2py－p ＝0，所以
＝p＝2，所以
2
2
抛物线的方程为 y2＝4x，准线方程为 x＝－1.
答案：B
3．(2010·浙江高考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点
A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准
线的距离为________．
p
解析：抛物线的焦点 F 的坐标为( ，0)，线段 FA 的中点 B
2
p
p
的坐标为( ，1)，代入抛物线方程得 1＝2p× ，
4
4
2
解得 p＝ 2，故点 B 的坐标为( ，1)，故点 B 到该抛物线准
4
2
2 3 2
线的距离为 ＋ ＝
.
4
2
4
3 2
答案：
4
4．(2010·全国卷Ⅱ)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线为 l，
过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A，与 C 的一个
交点为 B.若 AM ＝ MB ，则 p＝________.
p
解析：由题知准线 l 为 x＝－ (p>0)，
2
过 M(1,0)且斜率为 3的直线为 y＝ 3(x－1)，
p
p
则 A(－ ， 3(－ －1))，
2
2
设 B(x0，y0)，由 AM ＝ MB 知 M 为 AB 的中点，又 M(1，0)，
 p
－2＋x0＝2
所以
 3－p－1＋y0＝0
2

p

x0＝2＋2
即
y0＝ 3p＋1
2

，代入 y2＝2px(p>0)得，
p
p
2
3( ＋1) ＝2p(2＋ )，
2
2
整理得，p2＋4p－12＝0，解得 p＝2 或 p＝－6(舍去)．
答案：2
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