26.1 二次函数（第5,6课时）
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Transcript 26.1 二次函数（第5,6课时）
yx
y 2x
2
2
8
6
4
y
2
－4
－2
1
2
2
4
x
2
例3 (1)画出函数
y
1
2
x 1 1的图象，
2
1
解：作函数 y x 1 1 的图象：
2
2
···
x
y
1
2
x 1
2
1
－4
－3
··· －5.5 －3
－4
－2
－2
－1
－4
－6
1
－1.5 －1 －1.5 －3
2
－2
0
4
2
···
－5.5 ···
例3:(2)指出它的开口方向、对称轴及顶点．(3)抛物线
y
1
x
2
经过
2
怎样的变换可以得到抛物线 y 1 x 1 2 1
2
－4
－2
2
4
－2
－4
－6
1
抛物线 y x 1 1 的开口方向向下、对称轴是x=－1，顶点是
2
2
（－1，－1）．
把抛物线
y
1
x
2
向下平移1个单位，再身左平移1个单位，
2
就得到抛物线 y 1 x 1 2 1
2
一般地，抛物线y a x h k 与 y ax 2 形状
相同
2向上（下）向左（右）
______，位置不同，把抛物线y=ax
2
2
平移
y a x h k
_______，可以得到抛物线
平移的方向、
h，k
距离要根据_________的值来决定．
抛物线
y a x h k
2
有如下特点：
向上
向下
（1）当a>0时，开口______；当a<0时，开口_______；
x=h ；
（2）对称轴是直线______
（h,k)
（3）顶点坐标是_________
练习
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（1）y =2( x+3)2+5;（2）y = －3(x－1)2－2;
（3）y = 4(x－3)2+7; （4）y = －5(x+2)2－6.
解： （1）a=2>0开口向上，对称轴为x=－3，顶点坐标为（－3，5）;
（2）a=－3<0开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1,－2）;
（3）a=4>0开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3,7）;
（2）a=－5<0开口向下，对称轴为x=－2，顶点坐标为（－2, －6）.
例 题 选 讲
例2 已知抛物线的顶点为（－1，－3），与轴交点为
（0，－5）求抛物线的解析式？
解： 设抛物线的顶点为（－1，－3）
所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3
y
x
o
由条件得：点( 0,-5 )在抛物线上
a-3=-5,
得a=-2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3
即：y=－2x2-4x－5
竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式
h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，
v0(m/s) 是抛出时的速度。一个小球从地面以40m/s的速度
竖直向上抛出去，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如
图所示。
(1) 观察右图，h 的值是多少?
h(m)
0
80
(2) h和t的关系式是
。
60
40
(3) 小球何时达到最大高度，
最大高度是多少?
(4)小球经过多少秒后落地?
20
0
t(s)
2
4
6
8
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的
顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为
1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，
因此可设这段抛物线对应的函数是
y = a( x －1 )2 ＋3 (0≤x≤3).
由这段抛物线经过点（3，0）可得
0＝a(3－1)2＋3.
解得
a
3
2
1
3
4
3
1
因此 y x 1 3 0 x 3
2
4
当x = 0时，y = 2.25，也就是说，水管应长2.25m.
2
3
yx
y 2x
2
2
8
6
4
y
2
－4
－2
1
2
2
4
x
2
我们来画
y
1
x 6 x 21
2
2
的图象，并讨论一般地怎样画
二次函数 y ax bx c a 0
2
的图象．
我们知道，像 y a x h k 这样的函数，容易确定相应抛物线的
2
顶点为（h,k)，二次函数
y
1
2
x 6 x 21
2
也能化成这样的形式吗？
2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
另
b
2a
h,
4 ac b
4a
配方
b
4 ac b
y ax
2a
4a
2
2
＝k
所以，有y=a(x－h)2+k
因此，任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移得
到
当h>0向左平移h个单位，当h<0向
8
右平移|h|个单位，
6
当k>0时，向上移k个单位，当k<0时，
向下移k个单位，
就可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像．
例如，y=2x2－8x＋12,通过配方
得y=2(x－2)2＋4就可以通过平移 －4
y=2x2得到，如演示所示
4
2
－2
2
4
一般地，我们可以用配方求抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)的顶点与对
称轴
2
y ax bx c
2
b
4 ac b
a x
2a
4a
因此，抛物线
y ax bx c
2
2
的对称轴是 x
b
2a
b 4 ac b 2
坐标是
,
2
a
4
a
这是确定抛物
线顶点与对称
轴的公式
顶点
练习1、填表
抛物线
开口
对称轴
y=a(x–h)2+k（a>0） 向上
x=h
y=ax2+bx+c（a<0） 向下
x=- b
2a
顶点坐标
（h，k)
4ac-b2
b
(,
)
2a
4a
配方可得
1
y
x
2
6 x 21
2
由此可知，抛物线 y
是直线 x = 6
1
1
2
x 6 2 3
x 6 x 21
2
2
的顶点是（6，3），对称轴
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
x
y
1
2
x 6 x 21
··
·
2
··
·
y
10
3
7.5
4
5
5 3.5
y
1
2
5
O
5
10 x
6
7
3
3.5
x 6 x 21
2
8
9
5 7.5
··
·
··
·
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化
而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？
分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值．
s
矩形场地的周长是60m，一边长为l，
则另一边长为
l m
2
60
，场地的面积
200
S＝l ( 30－l )
即
100
S＝－l 2 +30l
( 0 < l < 30 )
O
5 10 15 20 25 30 l
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是
函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大
值．由公式可求出顶点的横坐标．
( 0 < l < 30 )
S＝－l 2 +30l
因此，当
l
b
2a
S有最大
4ac b
4a
2
30
2 1
30
15 时，
2
4 1
225
值，
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大（S＝225m2）
一般地，因为抛物线 y ax bx c 的顶点是最低（高）点，
2
所以当 x
b
2a
有最小（大）值
时，二次函数 y ax bx c
2
4ac b
4a
2
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的
值最小（大）？
（2） y x 2 x
2
（1） y 3 x 2 x
2
（3） y 2 x 8 x 8
2
（4） y
1
2
1
2
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
x顶
2
23
1
3
y顶
1 1
顶点坐标为 ,
3 3
对称轴x
1
1
3
1
当x 时，y最小值＝3
3
2
43
3
x 4x 3
2
（2） y x 2 x
2
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
x顶
2
2 1
1
y顶
顶点坐标为 1,1
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝1
2
2
4 1
1
（3） y 2 x 8 x 8
2
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
4 2 8 8
2
x顶
8
2 2
2
y顶
顶点坐标为 2, 0
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
4 2
0
（4） y
1
x 4x 3
2
2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
x顶
4
2 0.5
4
y顶
顶点坐标为 4, 5
对称轴x 4
当x 4时，y最小值＝- 5
4 0.5 3 4
4 0.5
2
5
2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直
角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最
大值是多少？
(1)桥拱的最高点到桥面的距离是多少？
(2)两个桥拱的最高点之间的距离是多少？
(3)你能求出左边桥拱的表达式吗？
如图，一座双拱桥的两个拱具有相同的抛
物线形状，按照图中的直角坐标系，右边
1 2 1
的一条抛物线可以用 y
x x6 表
180
y
3
示，而且左右两条抛物线关于y轴对称。
0
x
?
课 前 复 习
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y=ax2+bx+c
• 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
• 顶点式：y=a(x-h)2+k
封面
例题
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为
y=ax2+bx+c(a≠0)
________________
2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设
y=a(x-h)2+k(a≠0)
抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
(x2,0),通常设解析式为_____________
练习
根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点
的纵坐标是3 。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的
最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，
并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1
∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的
对称轴是x=1 ，最高点在直线y=2x+4上。
（1）求抛物线解析式.
（2）求抛物线与直线的交点坐标.
解：∵二次函数的对称轴是x=1
∴图象的顶点横坐标为1
又∵图象的最高点在直线y=2x+4上
∴当x=1时，y=6
∴顶点坐标为（ 1 ， 6）
例 题 选 讲
例 已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）
一般式：
y=ax2+bx+c
3
两根式：
y=a(x-x1)(x-x2)
顶点式：
y=a(x-h)2+k
并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
解： 设所求的二次函数为
y=a(x＋1)(x－1）
y
由条件得：
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
得： a=-1
x
o
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
即：y=－x2+1
封面
例题
例 题 选 讲
例
4
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度
为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里
(如图所示)，求抛物线的解析式．
解：
设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知
抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
评价 通过利用给定的条件
可得方程组
列出a、b、c的三元
一次方程组，求出a、
b、c的值，从而确定
函数的解析式．
过程较繁杂，
封面 练习
例 题 选 讲
例
4
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度
为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里
(如图所示)，求抛物线的解析式．
解： 设抛物线为y=a(x-20)2＋16
根据题意可知
∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
评价
通过利用条件中的顶
点和过愿点选用顶点
式求解，
方法比较灵活
封面 练习
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时，y<0。
(3)、求它的解析式和顶点坐标；
y
O
x
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、
负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交
于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求
抛物线解析式。
解： ∵点A在正半轴，点B在负半轴
OA=4，∴点A（4，0）
y
OB=1， ∴点B（-1，0）
又 ∵ ∠ACB=90°
B O
∴OC2=OA·OB=4
C
∴OC=2，点C（0，-2）
A x
课 堂 练 习
1、 一个二次函数，当自变量x= -3时，函数值y=2
当自变量x= -1时，函数值y= -1，当自变量x=1时
，函数值y= 3，求这个二次函数的解析式？
1 3
2、 已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标是
2、 2 ，
与Y轴交点的纵坐标是，求这个抛物线的解析式？
封面 小结