Transcript 九年级数学(上)第二章 二次函数

想一想：
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它
的顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断
y
实数a的范围,并说明理由.
M
1
B
A
O
1
x
九年级数学(上)第二章
二次函数
二次函数的应用
已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,
面积为ycm2,问何时矩形的面积最大？
已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为
xcm.,面积为ycm2,问何时矩形的面积最大？
解： ∵周长为12cm,一边长为xcm则另一边为（6－x）cm
∴ y＝x（6－x）＝－x2＋6x
（0< x<6）
＝－(x－3) 2＋9
∵ a＝－1<0, ∴ y有最大值
当x＝3cm时，y最大值＝9 cm2，此时矩形的另一边也为3cm
答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积
最大。
例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成
中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，
面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
D
B
C
例1:在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长
方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
A
D
∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x）
B
C
＝－4x2＋24 x
（0<x<6）
2
b
4
ac

b
(2)当x＝  2a  3 时，S最大值＝
＝36（平方米）
4a
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x≤8
∴ 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32平方米
如图，在ΔABC中，∠B＝90°，点Q从点A开始沿AB边向点B
以1厘米／秒的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2厘
米／秒的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，若AB=10，
BC=14几秒后ΔPQB的面积最大？最大面积是多少？
A
Q
C
P
B
1.某工厂为了存放材料，需要围一个周长
160米的矩形场地，问矩形的长和宽各取
多少米，才能使存放场地的面积最大。
用6米长的铝合金型材料做一个矩形窗框，窗框
的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最
大面积是多少？
最值应用题——面积最大
窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等于
6m，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该如
何设计？
A
O
B
D
C
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,
下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有
的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通
过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的
面积是多少?
x
x
y
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半
部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的
长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多
(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
157 xx
解1由4 y7 xx15 得y
4
2
x 2
 157 xx  x
2窗户面积S 2 xy
2 x 

2
4
2


2
7
15  225
7 2 15
  x
 
 x  x
2
14 
56
2
2
x
x
y
b
15
4ac  b 2 225
或用公式 : 当x  

 1.07时, y最大值 

 4.02.
2a 14
4a
56
例3.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的
围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一
个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃
的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再
围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽
的门（木质）。花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花
圃的面积最大？
D
H
G
C
A
E
F
B
例3.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为
了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买
回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的
方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花
圃各放一个1米宽的门（木质）。
花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
解：设AD=x,则AB=32-4x+3=35-4x
从而S=x(35-4x)-x=-4x2+34x
∵AB≤10
∴6.25≤x
D
H
G
C
A
E
F
B
S=-4x2+34x，对称轴x=4.25,开口朝下
∴当x≥4.25时S随x的增大而减小
故当x=6.25时，S取最大值56.25
已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如
果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为
(6，5)
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米 ) .
y
6
B(6,5)
4
2
o
A(0,2)
2
4
6
8
10
12
x
y
6
B(6,5)
4
C
A(0,2)
12
2
4
10
6
8
x
o
解: ( 1) 设函数解析式为: y=a( x- 6)2  5
1
又由A(0, 2), 得a  
,
12
1
1
y  
( x  6) 2  5; y  
x2  x  2
12
12
1
(2)当 
x 2  x  2  0时,
12
x  6  2 15.(负值舍去) .
2
 x  6  2 15  13.75
最值应用题——运动观点
• 在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以
1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移
动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
–运动开始后第几秒时，
△PBQ的面积等于8cm2
D
C
–设运动开始后第t秒时，
五边形APQCD的面积为Scm2，
写出S与t的函数关系式，
Q
并指出自变量t的取值范围；
–t为何值时S最小？求出S的最小值。
A
P
B