Transcript 北师大版九年级数学上册第一章《证明(2)》1.2 直角三角形课件

九年级数学（上册）
第一章 证明(二)
1.2.直角三角形（1）
勾股定理与它的逆定理
开启
八仙过海
智慧
一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？
一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三
角形？
你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形
吗？你能证明你的结论吗？
A
A
A
驶向胜利
的彼岸
600
B
600
CB
CB
与同伴交流你在探索思路的过程
中的具体做法.
600
C
我能行
1
命题的证明
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
已知:如图,在△ABC中AB=AC,∠B=600. A
求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知),
B
0
∴∠C=∠B=60 .(等边对等角).
∴∠A=600(三角形内角和定理).
∴∠A=∠B（等式性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形
意义).
600
C
驶向胜利
的彼岸
回顾反思 1
几何的三种语言
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
′
在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=600(已知).
∴△ABC是等边三角形(有
一个角是600的等腰三角
形是等边三角形).
这又是一个判定等边三角形的
根据之一.
A
B
600
C
驶向胜利
的彼岸
我能行
2
命题的证明
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵∠A=∠B (已知),
∴ BC=AC,(等角对等边).
B
又∵∠B=∠C(已知),
∴ AB=AC,(等角对等边).
∴AB=BC=AC(等式性质).
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形
意义).
A
C
驶向胜利
的彼岸
回顾反思 1
几何的三种语言
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
A
600
′
在△ABC中,
∵∠A=∠B=∠C(已知),
B
∴△ABC是等边三角形(三个角都相
等的三角形是等边三角形).
这又是一个判定靠边三角形的
根据之一.
600
600
驶向胜利
的彼岸
C
我能行
3
命题的证明
1 操作:用两个含有300角的三角
尺，你能拼成一个怎样的三角形？
能拼出一个等边三角形吗？说说
你的理由.
30
300
0
由此你想到，在直角三角形中,
300角所对的直角边与斜边有怎样
的大小关系？能证明你的结论吗？
300 300
结论:在直角三角形中, 300角所对
的直角边等于斜边的一半.
驶向胜利
的彼岸
我能行
4
命题的证明
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等
于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300.
1
求证:BC= 2 AB.
证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300(已知),B
∴∠B=600(直角三角形两锐角互余).
又∵ ∠ACB=900, (已知),
∴∠ACD=900(平角意义).
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图）,
∠ACB=∠ACD（已证）,
AC=AC（公共边）,
∴△ABC≌△ADC（SAS）.
∴△ABD是等边三角形(有一个角600是的等
腰三角形是等边三角形)
1
1
A
300
C
驶向胜利
的彼岸
D
回顾反思 1
几何的三种语言
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于
300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
′
在△ABC中,
∵∠ACB=900,∠A=300.
1
∴BC= 2 AB.(在直角三角形中, 300角
所对的直角边等于斜边的一半).
这又是一个判定两条线段成倍
分关系的根据之一.
B
A
300
驶向胜利
的彼岸
C
例题欣赏 1
学无止境
例2.已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a.
求:腰上的高.
分析:如图,在△ABC中
A
AB=AC=2a,∠B=∠ACB=150,
CD⊥AB于D.
150
150
B
求:CD=?
′
D
解:∵∠B=∠ACB=150(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个外角,
等于和不相邻的两内角的和).
∴CD= 12 AC= 12 ×2a=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角
等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
这里有一个化归的数学思想——即
把问题转化为一个纯数学问题.
驶向胜利
的彼岸
C
隋堂练习 2
含300角的直角三角形
1.已知:如图,
在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D.
求证:BD=AB/4.
′
C
分析:因为∠A=300,所以
BC=AB/2.要证明BD=AB/4,只
要能使BD=BC/2即可,此时若 B
D
∠BCD=300就可以了.而由“
双垂直三角形”即可求得.
你能规范地写出证明过程吗？
你的证题能力有所提高吗?
A
驶向胜利
的彼岸
三角形,认识我吗
隋堂练习 3
2.已知:如图,点P,Q在BC上,且
BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=600,AH⊥BC于H.
(1)求证:AB=AC;
(2)试在图中标出各个角的度数;
(3)求出图中各线段的长度,并说明理由.
′
A
B
P H Q
C
胜利属于敢想敢干的人！
你能与同学们交流探索证题的全
过程吗?
驶向胜利
的彼岸
反过来怎么
心动 不如行动
样——逆向思
维
命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边
的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗?
如果是,请你证明它.
A
已知:如图,在△ABC中
,∠ACB=900,BC=AB/2.
求证:∠A=300.
300
B
C
驶向胜利
的彼岸
反过来怎么
心动 不如行动
样——逆向思
维
证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
在△ABD中,∵∠ACB=900(已知),
∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两
端的距离相等).
又∵BC=AB/2(已知),
BC=BD/2(作图),
B
∴AB=BD(等量代换).
∴AB=BD=AD(等式性质）.
∴△ABD是等边三角形(等边三角形意义).
∴∠B=600(等边三角形意义).
∴∠A=300(直角三角形两锐角互余).
A
300
C
驶向胜利
的彼岸
D
回顾反思 1
几何的三种语言
定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于
斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.
′
在△ABC中
∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知),
∴∠A=300(在直角三角形中,如
果一条直角边等于斜边的一半,
那么它所对的锐角等于300).
这是一个通过线段之间的关系
来判定一个角的具体度数(300)
的根据之一.
B
A
300
驶向胜利
的彼岸
C
试一试
2
成功者的摇篮
1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别
是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得
A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG
等于多少度?你能证明你的结论吗?
B
C
B
C
E
F
E A
G
F
A
(1)
D
A
(2)
D
小结
拓展
回味无穷
 等边三角形的判定:
 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角
形.
 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
 特殊的直角三角形的性质:
 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于
300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
 定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于
斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.
 老师提醒:
 反证法还认识你吗?
独立
作业
知识的升华
习题1.3 1,2,3题.
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之
于人.
• 证明的规范性在于：条理清晰
，因果相应,言必有据.这是初
学证明者谨记和遵循的原则.