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24.1.2垂直于弦的直径
问题：把圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两
个半圆有何关系？最后得出什么结论？
结论：圆是轴对称图形，直径所在的直线就是它的对称轴.
问题：已知：在⊙O中，AB是弦，做直
径CD，使CD⊥AB，垂足为E，图1是
轴对称图形吗？
在图1中，你能找到哪些线段相等？
圆弧呢？证明你的结论.
图1
24.1.2垂直于弦的直径
分析：在Rt△AOE和Rt△BOE中，利用HL定理证明两三角形全等
可得AE=BE.
利用轴对称可知 AC  BC, AD  BD
.
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两
条弧.
24.1.2垂直于弦的直径
问题： 1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧
形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦
的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径.（精确到0.1米）
C
A
D
R
O
B
24.1.2垂直于弦的直径
【例1】已知在⊙O中，弦AB的长8cm，圆心O到AB的距离为
3cm，求⊙O的半径.
解：连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE=3cm，AE=BE
AB=8cm，
∴AE=4cm.
在RtAOE中，有OA= OE 2  AE2 = 32  42 =5（cm）.
∴⊙O的半径为5cm.
24.1.2垂直于弦的直径
【例2】已知：如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的
弦AB交小圆于CD两点.求证：AC=BD.
【解析】此题可用三角形全等来证明，
构造△AOC与△BOD即可；但是若利用垂
径定理来证明 会更简单.
证明：过O作OE⊥AB，垂足E，
则AE=BE，CE=DE.
∴AE-CE=BE-DE.
即AC=BD.
图1
24.1.2垂直于弦的直径
【例3】如图2，若⊙O的半径为5，弦AB长为8，
求拱高.
解：过O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C,则
CD为拱高，
1
则AD= AB=4，
2
在Rt△AOD中，d= r 2  AD2  52  42  3
∴CD=2.
图2
24.1.2垂直于弦的直径
中心
1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是
过圆心的任一条直线
________________________,
对称中心是__________.
圆心
2.已知⊙O的半径为R,弦AB的长也是R,则∠AOB的度数是
_______.
60°
3. 圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm,
则这条弦的长是_____cm.
2
4.已知⊙O中,OC⊥弦AB于C,AB=8,OC=3,则⊙O的半径长等于
________.
5
24.1.2垂直于弦的直径
5.如图1,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的
3≤OP≤5
取值范围____________________.
C
C
B
A
O
D
A
P
图1
B
A
D
图2
O
E
B
图3
6.已知:如图2,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么
拱形的半径__________m.
10
7.如图3,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB, CD=CE,
则 AC 与 BC 的大小关系是_______________.
相等
24.1.2垂直于弦的直径
8．圆中两弦CD与AB互相垂直,垂足为E, 若DE=3厘米,
EC=7厘米,则圆心到AB的距离OF是_______厘米．
2
9. P为⊙O内一点, PO=3cm, 过P的最短弦为8cm, 则过P
10cm
的最长弦的长等于_______．
10. AB⊥CD,垂足为E， CD为⊙O直径, 且AB=20, CE=4,
14.5
那么⊙O的半径是_____．
24.1.2垂直于弦的直径
11.如图4,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有
( A )
A.0条
B.1条
C.2条
D.4条
12.如图5,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上两点,并且AC=BD.试判
断OC与OD 的数量关系并说明理由.
13.如图6,⊙O表示一圆形工件,AB=15cm,OM=8cm,并且MB:MA=1:4,
求工件半径的长.
A
O
O
O
A
图4
C
D
图5
B
A
M
图6
B
24.1.2垂直于弦的直径
本节的主要内容是垂径定理的内容，垂径定理及
其推论反映了圆的重要性质，是证明线段、角相等、
垂直关系的重要依据，同时也为进行一些圆的计算和
作图问题提供了方法和依据.