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5.1.2垂线
问题1.如图1，（1）∠AOC的对顶角
是哪个角？这两个角的关系怎样？
（2）∠AOC的邻补角有几个？
是哪几个角？
问题2：如图2，当∠AOC＝90°，口
答∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？
为什么？直线AB、CD的位置关系怎
样？
图1
图2
5.1.2垂线
问题3：什么样的两条直线互相垂直？
定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角
是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直
线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
垂直的记法：直线AB、CD互
相垂直，记作“AB⊥CD”或
“CD⊥AB”，读作“AB垂直于
CD”，如果垂足为O，记作
“AB⊥CD，垂足为O”
图3
5.1.2垂线
垂直定义的理解与应用
1.如果直线AB、CD相交于点O，∠AOC=90°（或其它三个角中
的一个角等于90°），那么AB⊥CD
这个推理过程可以写成
∵∠AOC=90°（已知），
∴AB⊥CD（垂直的定义）．
2.如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，任意一个都是直角.
这个推理过程可以写成:
∵AB⊥CD（已知），
∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
5.1.2垂线
垂线性质1
探究：在图中，任意位置画直线 l 的垂线，能画几条？过点
A, 点B画直线 l 的垂线分别能画几条？
B
l
A
垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
问题3. “过一点”包括几种情况？“有且只有”是什么意
思？
5.1.2垂线
垂线段最短
问题：如图，连接直线 l 外一点P与直线 l 上各点
A,B,C,D,E,…,其中PA⊥ l (我们称PO为点P到直线 l 的垂线
段).比较线段PA,PB,PC,PD,PE,…中，哪一条最短？
P
垂线的性质1：连接直线外一点
与直线上各点的所有线段中，垂
线段最短.
B C
D
A
E
点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫
做点到直线的距离.
5.1.2垂线
【例1】判定下列说法是否正确：
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，
则这两条直线互相垂直；
（2）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条
直线互相垂直；
（3）两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条
直线互相垂直；
（4）两条直线相交，若有一组邻补角相等，是这两条
直线互相垂直.
5.1.2垂线
分析：两条相交直线所成四个角中有一个角是直角，
就可以判定两直线垂直，因为（1）是垂直定义（2）、
（3）（4）题，根据已知条件都能推出一个角是直角，
所以这四种说法都正确.
解：这四种说法都正确.
5.1.2垂线
【例2】如图1，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下面的结论中，正
确的个数是（ ）个.
①点B到AC的垂线段是线段AB；
A
②线段AC是点C到AB的垂线段；
③线段AD是点D到BC的垂线段；
B
D
C
④线段BD是点B到AD的垂线段.
图1
A．1 B．2 C．3
D．4
分析：由垂线段的定义知③是错误的，其余的均是正确的.
解：选择C.
5.1.2垂线
【例3】如图2，直线AB、CD互相垂直，垂足为O点，直线EF
过O点，∠DOF=36°，求∠AOE的度数.
C
E
解：∵直线AB、CD互相垂直，（已知）
∴∠BOD=90°（垂直定义）
A
∵∠BOF与∠DOF互为余角（余角定义）
∴∠BOF+∠DOF=90°
∵∠DOF=36°（已知）
∴∠BOF=90°-36°=54°
∵直线AB与直线EF交于O点（已知）
∴∠AOE=∠BOF（对顶角相等）
∴∠AOE=54°（等式性质）
O
B
F
D
图2
5.1.2垂线
【例4】如图3，已知直线AB、CD、EF相交于O点，CD⊥AB，
∠AOE：∠AOD=2：5，求∠BOF、∠DOF的度数.
解：∵CD⊥AB于O点 ∵∠AOE：∠AOD=2：5
2
E
∴∠AOE=90°×
=36°
5
A
∴∠AOD=∠BOD=90°（垂直定义）
∵直线AB、EF相交于点O点
∴∠BOF=∠AOE（对顶角相等）
∴∠BOF=36° ∵∠DOF=∠DOB-∠BOF
∴∠DOF=90°-36°=54°
答：∠BOF、∠DOF的度数分别是36°、54°
C
B
O
F
D
图3
5.1.2垂线
1.两条直线互相垂直时，所成的四个
角中有____个直角。
4
2.过一点__________一条直线与已知
有且只有
直线垂直。
3.如图5-1（1）,OA⊥OB,OD⊥OC,O
为垂足,若∠AOC=35°,则
∠BOD=________.
145°
B
O
C
A
(1)
如图5-1
D
5.1.2垂线
A
4.如图（2）,AO⊥BO,O为垂足,直线
CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则
60°
∠BOD=________.
5.如图（3）,直线AB、CD相交于点O,
若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射
线OE 与直线AB的位置关系是
垂直
_________.
B
C
O
D
(2)
E
A
C
D
O
(3)
B
5.1.2垂线
6.如图5-11已知 钝角∠AOB,点D
在射线OB上.
(1)画直线DE⊥OB；
(2)画直线DF⊥OA，垂足为F.
7.已知：如图5-12，直线AB，OC
交于点O，OD平分
∠BOC，OE平分∠AOC.试判断OD
与OE的位置关系.
C
D
E
A
O
图5-12
B
5.1.2垂线
8.如图5-15,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为
垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,
那么点C到AB的距离是_______,点A到BC的
4.8
距离是________,点B到CD
的距离是
6
_____,A、B两点的距离是________.
6.4
10
9.如图5-16,在线段AB、AC、AD、AE、AF中
AD最短.小明说垂线段最短, 因此线段AD的
长是点A到BF的距离,对小明的说法,你认为
小明说法是错误的,因为AD与BE是否垂直无判定
____________________________________.
C
B
A
D
图5-15
A
B C D
图5-16
E F
5.1.2垂线
10.(1)用三角尺画一个是30°的∠AOB,在边OA上
任取一点P,过P作PQ⊥OB, 垂足为Q,量一量OP的
长,你发现点P到OB的距离与OP长的关系吗?
(2)若所画的∠AOB为60°角,重复上述的作图和测
量,你能发现什么?
5.1.2垂线
本节课知识结构
1、垂线的定义
当两条直线相交成的四个角中，有一个角是
直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直
线叫做另一条支线的垂线。它们的交点叫做垂足.
2、垂线的性质
(转下一页)
5.1.2垂线
(接上一页)
（1）在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一
条直线与已知直线垂直.
（2）连接直线外一点与直线上的各点的所有线段中，
垂线段最短。简称“垂线段最短”.
3、点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫
做点到直线的距离.