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第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


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第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


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第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


Slide 4

第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


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第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


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第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


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第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


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第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


Slide 9

第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


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第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


Slide 11

第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


Slide 12

第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


Slide 13

第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


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第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


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第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’


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第三章

平面机构的运动分析

基本要求：
1． 能用解析法或图解法对平面二级机构进行运动分析;
2． 理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心的概念），并能用
“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3.

用瞬心法对简单平面高副、低副机构进行速度分析。

重点和难点：
重点： 平面机构速度瞬心的确定；

用相对运动图解法（解析法）对机构进行速度分析。
难点： 两构件重合点间的运动分析。

第三章

平面机构的运动分析

§3－1

机构运动分析的目的和方法

§3－2

用速度瞬心法作机构速度分析

§3－3

用矢量方程图解法作机构的速度及加速度

分析

§3－1 机构运动分析的目的与方法
一、机构运动分析的目的
根据机构原动件的已知运动规律确定：

1）构件的角位移、角速度和角加速度；
2）求机构中任一构件的任一点的轨迹，位移，速度和加速度。
通过机构进行位移（或轨迹）分析：确定机构运动所需的

运动空间，防止各运动构件的相互干涉，检验构件上某一点的
运动是否满足预定要求。
通过对机构进行速度分析：

1）了解从动件的速度变化是否满足工作要求；
2）确定各构件及构件上某点的加速度和角加速度，及其变化规
律。

二、机构运动分析的方法
常采用的方法：瞬心法、图解法、解析法。
图解法—— 形象、直观、简单。但精度不高，且求
系列位置时需反复作图。
解析法—— 精确度高，采用不同的数学工具，可分
为直角坐标解析法、矢量法，矩阵法、
复数矢量法等。随着电子计算机的普及
解析法将得到广泛的应用。

§3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用
一、速度瞬心
当构件i 和构件j 作平面相对运动时，

Ai(Aj)
Bii(B
(Bj))
B

vAiAj

在任一瞬时，都可以看作是绕该两构件某
vBiBj

一重合点的转动，该重合点称为 速度瞬心 。
简称瞬心(Pij)。

BiBj

Pij

瞬心 ——重合点的相对速度为零；绝对速度相同。
相对瞬心——该点的绝对速度不为零。

绝对瞬心——该点的绝对速度为零。
二、瞬心数目
N＝ n ( n - 1) / 2

j

三、机构中瞬心位置
1 . 直接成副的构件瞬心的确定（直接观察法）
1

用转动副联接

P12

2
P12

P12

∞

用移动副联接

1

P12

∞

1

2

2

用高副联接

1

2

2 .三心定理

1
P12

2

M

vM1M2

三心定理——三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直

线上。

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用
例1 铰链四杆机构。已知原动件2以2等角速回转，及各构件

的尺寸。确定机构的全部瞬心及 4。
解：瞬心数目
N＝n(n-1)/2＝6
P12 、P23 、P34、P14 （观察法）

P13

P13 、P24 （三心定理）
P13
P13

P34

C

3
B

1

2

3

1

4

3

2

P24

P12

P23

利用绝对瞬心P24

P14

P43

P23

P12
A

ω2

1

v p 24   2  A P24  l   4 D P24  l

 4   2 AP24 D P24

 2  4  AP24 D P24

4

ω4
P14

D

例 2 曲柄滑块机构。已知构件的长度，曲柄AB
的角速度2，用瞬心法求滑块的速度vc 。
解

确定机构的瞬心数目及位置
利用瞬心P24

v

P24
2

v C  v P 24   2  l ( AP24 )
方向向左

B

P24

P23

3

P14

ω2

P12

4

A

1

∞

P34

C

例 3 凸轮机构，已知凸轮的角速度2和各构件尺寸。
用瞬心法求从动件3的速度。
解

确定机构的瞬心数目及位置
共有三个瞬心P12、P13、P23

v p 23  v p 2  v p 3  v 3
v3   2  l P

12

P23

3

K

2

vP23

ω2

P12

瞬心法的优缺点：

1

P23 P13

1）对简单的平面机构，特别是平面高副机构进行速度
分析时较为简单。

2）对构件数目的复杂机构，由于瞬心数目多，使解题
变得很复杂，瞬心可能位于所画图纸之外。
3）不能对机构进行加速度分析 。

∞

§3－3 用矢量方程图解法作机构速度
和加速度分析
矢量方程图解法的基本原理是应用理论力学中刚体平面运

动和点的复合运动的两个相对运动原理。
分为两类问题：


同一构件上两点之间的速度及加速度关系



两构件重合点间的速度和加速度关系

一、 同一构件上两点速度和加速度之间的关系

已知各构件的长度和原动件1的角速度1 ，求图中点C、E
的速度vc、vE 和加速度ac、aE，以及构件2、3的角速度2 、3和
角加速度2 、3。

构件上任一点C的运动 =（随基点B）平动 +（绕B基点）转动

ω2

1 .速度分析

vc
方向 CD
大小 ？

=

2

vB + vCB
AB
1lAB

3

B

CB
？

1

E
1

A

作图步骤：
m/s
1）选定速度比例尺    ( m m )
2) 任取一点p（速度极点）作pb // vB
3) 作vCB的方向线；作vc的方向线。
pbvB bc vCB

vc = vpc vCB = v bc
2 = vCB/ lBC (顺时针)
vE = vB + vEB =
方向 ?
√
BE
大小 ？ √
？

C

ω3
D

4

b

p

e

c

3 = vC/ lCD (逆时针)
vC + vEC
√
CE
√
？

速度多边形的特点：

ω2

C

2

1）极点引出的矢量代表构件上的
绝对速度，方向由p点指向该点（
pbvB ）。极点p代表所有构件上
速度为零的点即绝对瞬心点。

3

B

1

E
1

A

D
4

b

2）连接速度多边形上任意两点的
矢量，代表机构中这两点间的相对
速度，其方向与相对速度下标相反
（ bc vCB ）。

p

e
c

3) ∵ bce ∽BCE，bce为BCE的速度影像。利用速度

影像当已知构件上两点速度，则可求出构件上任一点的速度
。

p’

2. 加速度分析

α2

2

C

ω2

α3

3

B

1

c’’

E

ω3

1

A

D

b’

4

aC

e’

c’

c’’’



a



n
C



aC

 aB  a
ω12 lAB
ω

n
CB
2
2 lBC





aCB

大小 ω32 lCD
？
方向 CD
CD
BA
C B
选定加速度比例尺 ，作加速度多边形。

aE


大小
方向

aB  a

ω22 lBE
n
EB



EB


 2  a C B lC B

？
CB



 a EB  aC  a
？

ω
BE

n
EC
2
2 lCE



EC


 3  a C D lC D



 a EC
？
CE

加速度多边形的特点 ：
α2

2

C

ω2

A

E

1

α3

3

B

1

p'
c''

ω3

e'

c'

D
4

b'
c'''

1）从极点引出的矢量代表构件上的绝对加速度（ p'b' aB），
方向由p‘指向该点。极点p’代表所有构件上加速度为零点。

2）连接加速度多边形上任意两个代上角标（'）点的矢量，代
表机构中两点的之间的相对加速度，其方向与相对加速度下相
反。
3）∵ b' c' e' ∽BCE，b' c' e'为BCE的加速度影像。利用加

速度影像当已知构件上两点加速度，则可求出构件上任一点的加
速度。

二、两构件重合点间的速度和加速度之间的关系

已知：构件长度为lAC、lBC、原动件1以等角速度1逆时针转，
试求：3和3。

1

动点在某瞬时的绝对运动

2

B

ω1

= 牵连运动 + 相对运动
1 .速度分析
vB2 =
大小 ？
方向 BC

A

3

ω3
vB1 + vB2B1
1lAB
AB

vB2B1 = vb1b2

C

？
//AB

vB3 = vB2 = vpb2

3 = vB2 / lBC (逆时针)

p
b2
b1

p’

2 .加速度分析
2

1

ak

B

p

ω1

B2B1

α3

3

b2’’

b2

A

ω3

b2’

b1

C

k’


aB2  aB2  aB2
n

大小
方向

ω32 lBC
B C

？
BC

aB3 = aB2= ap 'b2'


 3  a B 3 l BC

逆时针

 a B1  a B 2 B1 
k

ω12 lAB
BA

2vB2B1
AB

r

a B 2 B1
？
// AB

b1’