Transcript 3.为什么它们平行

北师大版
八年级 下册（第六章）
1.公理:
人们在长期实践中总结出来的，并作为
判定其他命题真假的根据.
2.定理:
用推理的方法得到的真命题.
3.证明:
除公理外，一个命题的正确性需要经过推理，
才能作出判断，这个推理的过程叫做证明.
如图，直线AB、CD被直
线EF所截，图中哪些角是
同位角？哪些角是内错角？
哪些角是同旁内角？
E
A
C
G
H
F
公理：两条直线被第三条直线所截，如果
同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行。
B
D
你认为“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补
那么这两条直线平行”这个命题正确吗？说明理由。
已知：如图，∠1和 ∠2是直线a、 b被直线c截出的同
旁内角，且∠1与 ∠2互补。求证：a ∥b .
证明：∵ ∠1与 ∠2互补（已知），
a
∴ ∠1＋ ∠2＝ 180 °（互补的定义）
∴ ∠1＝ 180 °－ ∠2（等式的性质）
b
∵ ∠３＋ ∠2＝ 180 °（１平角＝ 180 °）
∴ ∠３＝ 180 °－ ∠2（等式的性质）
∴ ∠1＝ ∠３（等量代换）
∴ a ∥b（同位角相等，两直线平行）
c
3
2
1
证明一个命题的一般步骤：
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知,求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
小明用下面的方法 作出了平行
线，你认为他的作法吗？为什么？
定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，
那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两条直
线平行。
已知：如图，∠1和 ∠2是直线a、
b被直线c截出的内错角，且∠1=
∠2。求证：a ∥b .
证明： ∵ ∠1= ∠2（已知）
∠1+ ∠3=180 ° （1平角=180 ° ）
∴ ∠2+ ∠3=180 ° （等量代换）
∴ ∠2与 ∠3互补（互补的定义）
∴ a ∥b（同旁内角互补，两直线平行）
1
3
2
借助“同位角相等，两条直线平行”这
一公理，你还能证明哪些熟悉的结论？
练习：1 、蜂房的底部由三个全等的四边形
围成的，每个四边形的形状如图所示，其中
∠α=109°28′， ∠β=70°32′。试确定
这三个四边形的形状，并说明你的理由。
解： ∵∠A+∠D=180o
∴ AB∥CD
D
C
同理可证：AD∥BC
∴ ABCD为平行四边形
即所求三个四边形为平行四边形
A
B
2、证明：对顶角相等。
已知：如图，直线AB、CD相交于点O， ∠1和∠2是对
顶角，
求证： ∠1＝ ∠2。
证明：∵ ∠1+∠AOC=180 °（1平角=180 ° ），
∠2+∠AOC=180 ° （ 1平角=180 ° ），
∴ ∠1＝ ∠2（同角的补角相等）。
3、完成下列推理，并在括号中写出相应的根据。
（1）如图甲所示
∵ ∠ADE＝ ∠DEF（已知）
∴ AD ∥
EF
（
内错角相等，两直线平行
）
又∵ ∠EFC+ ∠C= 180 °
∴ EF ∥
∴ AD ∥
BC
（
同旁内角互补，两直线平行 ）
BC 。
（平行于同一条直线的两条直线互相平行 ）
（2）如图乙所示
∵ AC ⊥ AB，BF ⊥ AB （
已知
）
∴ ∠ CAB = ∠ ABF=90 ° （
∵ ∠ CAD= ∠ EBF=30 ° (
∴ ∠ABD = ∠EBA
∴
（
AD∥
垂直的性质
）
已知)
（ 等式的性质 ）
BE。
内错角相等，两直线平行
）
继续
已知：如图直线a、 b被直
线c所截，且∠1+∠2=180 °
求证： a ∥b。
你有几种证明方法？
方法1：
∵ ∠ 1 + ∠ 2 = 180 °
∠ 1 + ∠ 4 = 180 °
4
3
方法2：
∵ ∠ 1 + ∠ 2 = 180 °
∠1=∠3
∴∠2 =∠4
∴ ∠ 2 + ∠ 3= 180 °
∴ a ∥b
∴ a ∥b
（同位角相等,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
小结
证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论;
(2)根据题意画出相应的图形;
(3)根据题设和结论写出已知,求证;
(4)分析证明思路,写出证明过程.