Transcript 人教版数学八上13.4最短路径问题

人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
看图思考： 为什么有的人会经常践踏草地呢？
禁止践踏
爱护草坪
绿地里本没有路，走的人多了… …
两点之间，线段最短
将军饮马问题：
两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就
有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学
者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，
向他请教一个百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中
马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
将军饮马：(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中
马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？
A
最短路线：
P
A ---P--- B.
B
根据：
两点之间线段最短.
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途
中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走
路程最短？
A
B
河
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、
AC上的点，你能在BC上确定一点R，
使△PQR的周长最短吗？
(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地
OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，
问：这位将军怎样走路程最短？
M
O
.
草地
驻地A
N 河边
(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部
例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点，
你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，
使△PQR的周长最短吗？
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要
从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河
边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的
最短路线。
最短路线：A
A/
P
Q
B
N
P
Q
B/
A
M
B
l
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有
黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，
试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边
OM、ON后，反弹击中黑球？
C
M
A
B
N
O
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
M
例4变式：
作法:(1)作点A关于OM的对称点A' ,
点B关于ON的对称点B .
'
(2)连结A 和B ，交OM 于C，交ON于D。 A
'
.
'
则点C、D为所求。
B
.
N
.
B'
.
D
A'
.C
O
.
(五)造桥选址问题 两点在一条河两侧
例5.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，A和B两
地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥建在何
处才能使将军从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸
是平行的直线，桥要与河垂直）
A
B
思维分析
1、如图假定任选位置造桥 A
ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到
B的路径是AM+MN+BN，那么
怎样确定什么情况下最短呢？
2、利用线段公理解决问题我们
遇到了什么障碍呢？
Ｍ
Ｎ
B
思维火花
!
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把
桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
各抒己见 1、把A平移到岸边.
子古
搬有
2、把B平移到岸边.
桥愚
3、把桥平移到和A相连.
，公
呵移
4、把桥平移到和B相连.
呵山
，
今
有
学
合作与交流
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检
验.
1、2两种方法改变了.
怎样调整呢？
把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
问题解决
如图，平移A到A1，使ＡA1
等于河宽，连接A1Ｂ交河岸
于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径Ａ
Ｍ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
A
A1
M
Ｍ１
N
Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转
化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
问题延伸
如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一
座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？
（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
A
B
思维分析
如图，问题中所走总路径是
AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．
桥MN和PQ在中间，且方向不
能改变，仍无法直接利用“两
点之间，线段最短”解决问题，
只有利用平移变换转移到两侧
或同一侧先走桥长.
A
M
N
P
Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移
到A点处、都平移到B点处、MN平移
到A点处，PQ平移到B点处
思维方法
沿垂直于第一条河岸方
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
分别交A、B的对岸于N、P
两点，建桥MN和PQ.
最短路径
AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
A
A1
M
N
P
Q
B
将军饮马的实质：
（1）求最短路线问题-----通过几何变换找对称图形。
（2）把A，B在直线同侧的问题转化为
在直线的两侧，化折线为直线，
（3）可利用“两点之间线段最短”
加以解决。
（4）“选桥选址问题”移动桥宽后还是可
利用“两点之间线段最短”加以解决。
反
思
是
进
步
的
阶
梯
我的收获；
我的疑惑；
面对一个新的求线段最短问题时，
我们可以通过怎样的途径去研究它？