Transcript 发挥集体智慧，提高课堂效益

福州高级中学
陈锦平
一、什么是集体备课
• 集体备课是指教师在以自己所有的
生活感受和知识储备教会学生如何
学习、如何思索、逐渐成长的备课
基础上形成的一种共同研究教什么、
怎么教、学什么、怎么学、考什么、
怎么考的一种集思广益的备课形式。
二、集体备课的意义
• 社会赋予我们相同的职责
• 教师自身发展的需要
• 提高年段的学科成绩
三、 如何进行有效的集体备课？
• 1、学校制度保障 严格管理
• 2、教研组制定集体备课的流程
• 3、老师通力合作
三、 如何进行有效的集体备课？
抓住“课标”与“教材”的基准
抓住“制定”与“达成”的契合
抓住“情境”与“情感”的交汇
抓住“例题”与“方法”的结合
函 数 的 奇 偶 性
知识与技能
过程与方法
①理解奇函数和偶函数的概念，重
点是理解概念的本质特征，难点是
经历概念的数学化提炼过程。
②掌握用定义判断奇偶性的方法
情感、态度
价值观
教学目标定位比较实在
函 数 的 奇 偶 性
知识与技能
①经历从初中“图形对称性”到高中“函
数奇偶性”的概念形成过程
②经历从几个具体共同属性到一般抽象函
过程与方法 数本质性的数学化提炼过程
③体验数学思想方法，如函数思想、数形
结合思想等
④发展数学理性思维（从观察、归纳到概
情感、态度 括、论证），积累数学活动经验
价值观
教学目标定位比较实在
函 数 的 奇 偶 性
知识与技能
①经历从初中“图形对称性”到高中“函
数奇偶性”的概念形成过程
②经历从几个具体共同属性到一般抽象函
过程与方法 数本质性的数学化提炼过程
③体验数学思想方法，如函数思想、数形
结合思想等
④发展数学理性思维（从观察、归纳到概
情感、态度 括、论证），积累数学活动经验
价值观
教学目标定位比较实在
• 问题1：能否用辗转相减将98与63转化成较
小的数，从而求出最大公约数.
• 问题2：为什么7既是63和35的最大公约数既
是98和63的最大公约数？
• 问题3：从中看出计算的规律是什么？
• 问题4：更相减损术的关键步骤是哪种逻辑结
构？
• 引导学生得出：更相减损术是一个反复执行
直到差数等于0停止的步骤，这实际上是一个
循环结构。
• 问题5：写出更相减损术的程序框图
x =m
m=n
n=x
m－n＝r
r = m+ n
是
98 － 63 = 35
m <n?
63－35 = 28
否
r=m－n
35－28＝ 7
m=n
n=r
r=0?
是
否
28 － 7＝21
21 － 7＝14
14 － 7＝7
程序框图
开始
x =m
m=n
n=x
输入m,n
是
m<n?
否
r=m － n
m=n
n=r
r=0?
是
输出m
结束
否
程序：
INPUT m, n
DO
IF m<n THEN
x=m
m=n
n=x
END IF
r=m－ n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在
BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥BC。
D
A
E
B
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，
D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。求证：
DE⊥BC。
D
A
方法一)证明：
延长DE交BC边
于F点
E
B
F
图1
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，
D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
D
求证：DE⊥BC
A
方法二)证明：
过C点做AB的平
行线，交DE的延
长线于N点
E
F
B
C
图2
N
已知：如图，在△ABC
中，AB=AC,E在AC上，
D 在BA的延长线上，
AD=AE，连结DE。
D
A
求证：DE⊥BC。
E
方法三)证明：
B
C
F
图3
G
过B点做AC的平
行线，交DE的延
长线于G点
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在
AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，
连结DE。求证：DE⊥BC。
Q
D
方法四)证明：
过B点做DE的平
行线，交CA的延
长线于Q点
A
E
B
图4
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的
延长线上，AD=AE，连结DE。求证：DE⊥BC。
R
D
方法五)证明：
过C点做DE的平
行线，交BA的延
长线于R点
A
图5
E
B
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D
在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥BC。
O
D
方法六)证明：
过D点做BC的延
长线，交CA的延
长线于O点，并
延长DE交BC于F
点
A
E
图6
B
C
F
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D
在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥BC。
D
方法七)证明：
过A点做BC的平
行线，交DE于P
点
A
P
图7
E
B
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D
在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥BC。
D
方法八)证明：
过E点做BC的平
行线，交AB于K
点，并延长DE
交BC于F点
A
图８
K
（证明略）
B
E
F
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D
在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥ＢC。
D
方法九)证明：
过E点做AB的平
行线，交BC于M
点，并延长DE交
BC于F点
A
图９
E
（证明略）
B
M
F
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D
在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥ＢC。
D
方法十)证明：
过D点做AC的平
行线，交BC的延
长线于H点，并
延长DE交BC于F
点
A
E
（证明略）
B
F
C
图１０
H
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D
在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥ＢC。
D
图中AR这条线段
的引出可以看成
是：
方法十一)证明：
过A点做DE的平
行线，交BC于R
点，并延长DE交
BC于F点
A
1、过A点做DE的
平行线
2、过A点做BC的
垂线
E
（证明略）
B
R
图1１
F
C
3、∠BAC的角平
分线
4、BC边的中线
D
D
E
E
E
CB
D
A
E
B
A
A
A
B
D
C
CB
C
例如：已知动点 P
x2 y2
与双曲线   1 的两个焦点
2
3
F1, F2 的距离之
和为 6， (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;
(2)若 PF1  PF2  3 ,求 PF1 F2 面积;
(3)若已知 D（0,3），M,N 在 C 上且 DM   DN 求实数  的取值范
围
D
M
F
A
F
1
N
B
2
X
思路 1 数学直觉好的同学会说：
“显然当点 M,N 运
动到 AB 的位置时，  将取得最小值或最大值，口算
1
5
1
5
就能得到 和 5，因此    5
D
M
A
F1
N
F2
B
思路2 以点D为圆心，DB为半径作一个圆，其方程为 x  ( y  3)  25 ，
2
2
现考虑圆与椭圆的位置关系，联立两个方程得它们只有一个公共点，
因此 A，B 点分别是椭圆上和点 D 距离最近和最远的点。
D
M
A
F1
N
F2
B
思路 3
1
5
当直线 DMN 的斜率不存在时，易求   ,   5
当直线 DMN 的斜率存在时，可设直线方程为 y＝kx＋3，代入
x2 y2
椭圆方程 
1
9
4
整理得； (4  9k 2 ) x 2  54kx  45  0 ，由   0 可得 k 2 
5
①
9
设 M，N 的坐标分别为(x1,y1) (x2,y2),依题意得 x1＝  x2，根据韦达定
理可得：x1＋x2＝（1＋  ）x2＝ 
消去 x2 得；
(1   ) 2

将①代入②得③ 4 

54 k
45
；x1x2＝  x22＝
2
4  9k
4  9k 2
54  6
②
4
5( 2  9)
k
(1   ) 2


36
5
1
5
所以    5
M
D
A
F1
N
F2
B
问题 3 上述三个步骤非常关键，学生往往忽略了①，而②体现了方
程思想，也提醒大家解题中要强化问题的目标意识，③的难度大学生
在此望而却步。能否避免分类讨论、
思路 4
x2 y2
直线 DN 方程为 x＝m（y－3），代入椭圆方程   1
9
4
整理得； (4n  9) y  24n y  36(n  1)  0 ，由   0 可得 n 2 
2
2
2
2
9
①
5
设 M，N 的坐标分别为(x1,y1) (x2,y2),则 y1－3＝  （y2－3）根据韦达
24n 2
36(n 2  1)
定理可得：y1＋y2＝ 2
；y1y2＝ 
4n  9
4n 2  9
②
1
 5
5
D
M
A
F1
N
F2
B
思路五：设 M，N 的坐标分别为(x1,y1) (x2,y2),则 x1＝x2，y1－3＝ （y2
x2
y2
x2 (y 2  3  3) 2
－3）因为 M，N 在椭圆上，所以 
 1及

1
9
4
9
4
2
2
消去 x2 得： 6 (  1) y 2  (13  5)(  1) ，  ＝1 或 y 2 
1
所以    5
5
D
M
A
F1
N
F2
B
2
(13  5)
而 y2  2 ，
6
思路六：设 p 为椭圆上的任一点（3cosθ，2sinθ），
6 2 126

5
(sin


) 
则 DP =（3cosθ－0） +(2sinθ-3） =
,
5
5
2
2
2
当 sinθ＝－1 或 1， DP 的值也取得最值
D
M
A
F1
N
F2
B
例如：
若

2
 

2
，
cos 
2

求函数 f ( ) 
的最小值
2
cos 
解法 1：利用函数的单调性
令 cos ＝t，0<t  1
t
2
2
t
原题等价于求函数 f (t )   ，当 t  (0,1] 时的最小值
t1  t 2 2(t 2  t1 ) t1  t 2
4
设 0  t1  t 2  1 ， f (t1 )  f (t 2 ) 


(1 
) 0，
2
t1t 2
2
t1t 2
 f (t1 )  f (t 2 ) 所以 f(t)在（0,1〕上单调递减，
5
2
从而〔f(t)〕min＝f（1）＝ ，即〔f(α)〕min＝
5
2
解法 2：利用基本不等式
cos 
2
cos 
1
3
f ( ) 



=
2
cos 
2
2 cos  2 cos 
cos 
1
3

; h( ) 
令 g ( ) 
2
2 cos 
2 cos 


∵     ∴ 0  cos   1
2
2
cos
1
g ( ) 

 1(当且仅当cos＝1时取等号）
2
2 cos
3
h( ) 
(当且仅当cos＝1时取等号）
2 cos
5
∴ cos＝1时，即＝0时，〔f(α)〕min＝
2
解法 3：利用导数求
 sin  2 sin 
1
2
cos2   4
f ( ) 
 2   sin  (  2 )   sin  
2
2 cos 
cos 
2 cos2 
'


( ,0)
2
0

(0, )
2
f ' ( )
－
0
＋
f ( )

极小值

所以 当 ＝0时， 〔f(α)〕min＝
5
2
解法 4：利用判别式法求解
将原式化为 cos2   2 y cos  4  0, 令 cos ＝t，0<t  1
原题等价于求函数 t 2  2 yt  4  0 ，在 t (0,1] 有解时 y 的最小值
4 y 2  16  0
5

由  2 y  4 y 2  16 ，解得 y 
2
1
0 
2

5
5
〔f(t)〕min＝ ，即〔f(α)〕min＝
2
2
解法 5：利用方程的实根分布求解
将原式化为 cos2   2 y cos  4  0, 令 cos ＝t，0<t  1
原题等价于求函数 t 2  2 yt  4  0 ，在 t  (0,1] 有解时 y 的最小值
令 f (t )  t 2  2 yt  4  (t  y) 2  4  y 2 , t  (0,1]其函数图像是以 t＝y 为对称
轴、过定点（0,4）,且开口向上的抛物线(如图)
8
6
4
2
-15
-10
-5
5
10
-2
-4
-6
-8
由   4 y 2  16  0 ，得 y<－2（舍去）或 y>2，即对称轴 t>2,所以，要
使 t 2  2 yt  4  0 ，在 t  (0,1] 有解，只需 f（1）  0，即 1-2y+4  0，故
y
5
5
即〔f(α)〕min＝
2
2
解法 6：利用数形结合求解
cos 
2
cos2   4
cos2   (4)
f ( ) 

＝
＝
，可以看成是动点
2 cos 
2 cos
2 cos  0
p(2 cos , cos2  )到定点 Q（0，－4）连线的斜率，p 点轨迹是抛物线
1 2
y  x (0  x  2) 的一段，从图像不难看出：当点 p 处于端点（2,1）
4
1  ( 4 ) 5
时，PQ 的斜率最小，〔f(α)〕min＝
＝
20
2
原题展示
如图，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方
形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG。
求证：BG=CE E
G
A
D
F
B
C
来源
八下课本作业题
变式一：条件不变、增加探究结论
（2）观察图形猜想CE与BG之间的位置关系，并证明
你的猜想。
（3）图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？请
说出是怎样的变换？
E
G
A
D
F
B
C
变式二：添加条件，探索新结论
(4)如上图，AB＝11，AC＝7，连结EG，
求BC2+EG2的值
E
G
A
D
O
F
B
C
（2007甘肃陇南中考题）
四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，
并证明你的猜想
G
F
加强知识
的巩固
A
B
D
C
E
变式三：改变条件，探究原结论
把“正方形ABCD、DEFG”改为“矩
形ABCD、DEFG（长宽不等）”，上面两
个结论还成立吗？若不成立，请问在什
么条件下成立？
G
F
A
（1）通过类比，加深全等与相似
知识的理解与巩固
（2）培养学生的探索、创新精神
D
B
C
E
变式四：图形旋转，探究原结论
四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，
并证明你的猜想.
G
F
A
B
D
E
C
旋转演示
变式四：图形旋转，探究原结论
（3）正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，使AD
与GD重合如图（1）时，上述两个结论是否成立?
（4）正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，如
图（2），上述两个结论是否成立？
G
B
GF
A
G
F
A
F
C
B
C
B
D
C
图（1）
ED
E
ED
A
图（2）
（5）如图（2），连结BF，求CG:BF:AE的值. 旋转演示
2008年浙江省义乌市中考题
如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与
C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，
连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系
及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线
的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转
任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方
法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
2008年浙江省义乌市中考题
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，
BC=b，CE=ka， CG=kb (a≠b，k>0)，第(1)题①中得到
的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要
说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，
k=0.5，求的BE2+DG2值．
变式五：根据图形或变式图形，求面积
1.如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，
面积分别为7和11，则△CDE的面积等于
。
E
C
B
D
A
F
G
2.如图，直线上有三个正方形a、b、c，若a、c的
面积分别为5和11，则b的面积为（
）
Ａ．4
Ｂ．6
Ｃ．16
Ｄ．55
b
a
c
变式五：根据图形或变式图形，求面积
3.如图，梯形ABCD中，AB∥DC， ∠ADC＋
∠BCD＝90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、
BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、
S2、S3，则S1，S2，S3之间的关系是______.
S2
S1
（1）补形法，旋转法 D
（2）数形结合思想和转
化思想
S3
A
B
C
1. (05年温州市中考题)在直线l上依次摆放着七个正
方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积
（1）启发学生寻找基本图
分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次
形，利用基本图形解题，
是S1培养图形识别和观察能力.
、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______.
（2）方程思想
1
S1
2
S2
3
S3
S4
2.如图，分别以Rt△ABC的三边向形
外作正方形ABGH、BCEF、ACDI，
若直角边BC=1，AC=2，则六边形 G
DEFGHI的面积。
H
I
A
B
F
C
E
D
变式六：图形改变，探究定点定值问题
如图，已知C为定线段AB外一动点，分别以
AC、BC为边在△ABC外作正方形CADF和
CBEG，求证：不论点C的位置在AB的同侧
怎样变化，线段DE的中点M为定点。
从图形运动中找出规律，
转化为一般的几何证明
问题，探究解决新问题 D
的策略，训练思维的灵
活性。
F
G
C
A
E
B
演示
变式七：变换条件结论，提高探索能力
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC、BC为边向
△ABC外分别作正方形CBHF和正方形ACDE,连结DF，过点
C作CG⊥AB,垂足为G，且CG的反向延长线与DF交于点I。
1
1
(1)求证： CI 
AB  DF
2
2
(2)当∠ACB≠90°时，以上结论成立吗？若
不成立，关系又怎样？
D
C
I
B
A
E
F
F
G
C
I
H
A
H
D
G
B
E
变式七：变换条件结论，提高探索能力
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC、BC为边向
△ABC外分别作正方形CBHF和正方形ACDE,连结DF，过点
C作CG⊥AB,垂足为G，且CG的反向延长线与DF交于点I。
（3）当∠ACB为钝角，且分别向△ABC内作正方
形CBHF和ACDE,问：此时线段CI与AB间的数量关
1
系如何?CI是否平分DF？线段CI与 AB是否相等？
2
第（1）小题是常规题，第
D
（2）（3）小题又是探索
题，第（3）小题图形变化， I
E
寻找基本图形，培养识图
能力、探究能力和发散思
C
维能力。
A
C
B
A
F
F
G
I
H
H
D
G
B
E
变式八：改变条件，挖掘内在联系
（1）万变不离其宗，
如图，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正
揭示问题的实质；
三角形ABD和正三角形ACE，连结CD、BE。
（2）使知识进一步理
（1）求证：BE=DC
解和内化，培养思维
的准确性，提高解决
（2）求直线猜想CD与直线BE的夹角
问题的能力以及应变
能力。
D
E
A
B
C
变式九：根据结论，探究条件
如图，在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同
侧作等边三角形ABD,ACE,BCF
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题
①当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？
②当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？
③当△ABC满足什么条件时，以D,A,E,F为顶点的四
F
边形不存在？
（1）考查知识点丰富 D
（2）培养学生思维的全
面性与创新性，空间想象
能力、逻辑推理能力；
（3）渗透分类与转化的
数学思想方法。
（4）体现数学的整体性
E
A
B
C
变化演示
2008年广东佛山市中考题
如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等
边三角形.
(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；
(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的
图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.
F
分类思想
D
E
A
B
C
变式十：添加背景材料，与函数相结合
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°∠ACB=30°，
BC=2，四边形ABDE和ACFG均为正方形.
（3）在（2）的情况下，求经过A、B、O三点
（2）在（1）的图形中，如果点A是一次函数
(1)以点C为坐标原点，BC与x轴重合，画出直角坐
标系，并求点E、F、G的坐标.
的抛物线的解析式。
y  0.5 x  2 上的一个动点，点A运动到什么
位置时，正方形ABCD和AOEF的面积和最小？最
小面积是多少？
（1）充分运用数形结合和建立函
数模型求面积和的最小值，（2）
G
提高学生的知识、能力和心理等
综合素质
F
E
A
D
C
B
原
题
三角形
相似
三角形
全等
三角
函数
等腰
三角形
直角
三角形
添辅助
线方法
等边
三角形
方程
图形
运动
函数
数与式
平行
四边形
圆
三角形
综合
应用
四边形
思想
方法
解决问
题策略
教材习题
菱形
正方形
矩形
梯形
转化
建模
数形
结合
分类
方程
2007年高考数学全国卷Ⅱ(理科)22题
已知函数f ( x)  x  x
3
（I）求曲线y  f ( x)在点M (t , f (t ))处的切线方程；
（II）设a  0，如果过点(a, b)可作曲线y  f ( x)的
三条切线，证明： a  b  f (a)
3
2
f
(
x
)

ax

bx
 cx  d (a  0) 的图像
探究 三次函数
f ( x)  0的判别式为
f ( x)  3ax2  2bx  c
Δ>0,
f ( x)在(, x1 ), ( x2 , )
Δ≤0
；在(x1, x2 )
f ( x1 ) f ( x2 )  0 f ( x1 ) f ( x2 )  0 f ( x1 ) f ( x2 )  0 f ( x)在R上
x
x1 x2
x
x1 x2
x
x
x1 x2
x
x0
x
与x轴有一个交点 与x轴有两个交点 与x轴有三个交点 与x轴有一个交点
集体备课的误区
一、集体备课是“四个等号”
集体备课=组长备课；
集体备课=个人备课；
集体备课=轮流备课；
集体备课=分头备课。
集体备课的误区
一、集体备课是“四个等号”
二、集体备课是“教案之和”
三、集体备课是“网上资料的拼盘”
四、集体备课成了“模式教育”