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课前冲浪
1.如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC。
已知∠B=60°，AD=15，AB=45，则BC=
。
2.（2010·大理中考）如图，在梯形ABCD
中，AD∥BC,AC交BD于点O，要使它成为等
腰梯形需要添加的条件是（
）
（A）OA=OC
（B）AC=BD
（C）AC⊥BD
（D）AD=BC
【解析】选B.因为四边形ABCD是梯形，AD∥BC,所以需要添加
的条件为AB=CD或AC=BD或∠ABC=∠DCB等，所以选B.
3.（2010·达州中考)如图，在一块形
状为直角梯形的草坪中，修建了一条
由A→M→N→C的小路（M、N分别是AB、
CD中点）.极少数同学为了走“捷径”，
沿线段AC行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了(
(A)7 m
(B)6 m
(C)5 m
(D)4 m
)
【解析】选B.如图，由勾股定理得
AC  AB2  BC2  20
（m）
,
作DE⊥BC于E，
则CE=16-11=5（m）,
DE=AB=12（m）,
∴ CD  DE 2  CE 2  13
（m）
, 又MN为梯形ABCD的中位线，
∴MN= 11  16  13.5
AM=6（m），
（m），
2
CN=6.5 m,A→M→N→C的小路的长度为6+13.5+6.5=26(m),
∴26-20=6（m）.
4。如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过
点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C
作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
(1)①当α=____度时，四边形EDBC是等腰梯形，
此时AD的长为_____；
②当α=____度时，四边形EDBC是直角梯形，
此时AD的长为______；
(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，
并说明理由．
5.（2011·宿迁中考）如图，在梯形ABCD
中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平
分线的交点E恰在AB上.若AD=7 cm，BC=8 cm，则AB的长度是
_________cm.
【解析】因为AB∥DC，所以∠AED=∠EDC,又DE是∠ADC的平
分线，所以∠ADE=∠EDC，所以∠AED=∠ADE，所以AE=AD=
7 cm；同理EB=BC=8 cm，所以AB=AE+EB=7+8=15(cm).
答案:15
6.（2011·呼和浩特中考）如图所示，在
梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分
线，且CE⊥AB，E为垂足，BE=2AE，若四
边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积
为___________.
【解析】如图，延长BA，CD相交于点F，因
为CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，所以
CF=CB，因为BE=2AE，所以AF=AE，因为
AD∥BC，所以△FAD∽△FBC,S△FAD∶
S△FBC=1∶16，所以S四边形ADCE∶S四边形ADCB=7∶15.因为四边形
AECD的面积为1，所以四边形ABCD的面积为 15 .
答案:15
7
7
梯形的有关计算
【例1】(2010·鸡西中考）综合实践活动课上,老师让同学们
在一张足够大的纸板上裁出符合如下要求的梯形,即“梯形
ABCD，AD∥BC，AD=2分米，AB  5分米，CD  2 2分米，梯形
的高是2分米”．请你计算裁得的梯形ABCD中BC边的长度．
【思路点拨】作梯形的高，分情况讨论即可.
【自主解答】如图,AE和DF为梯形ABCD的高，可知
EF=AD=2分米
应分以下三种情况:
①如图1，利用勾股定理可求出BE=1分米，CF=2分米，
∴BC=BE+EF+FC=5分米
②如图2，利用勾股定理可求出BE=1分米，CF=2分米，
∴BC=EF-BE+FC=3分米.
③如图3，利用勾股定理可求出BE=1分米，CF=2分米，可得到
C与E重合.
∴BC=1分米.
练习：
1.（2011·湖州中考）如图，已知梯形ABCD，
AD∥BC,对角线AC，BD相交于点O，△AOD与
△BOC的面积之比为1∶9，若AD=1，则BC的
长是_______.
【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方.由于它们的
面积之比是1∶9，所以AD∶BC=1∶3，从而可求出BC=3.
答案:3
2.（2011·陕西中考）如图，在梯形ABCD中，
AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则
梯形ABCD面积的最大值为_______.
【解析】设AC、BD的交点为F,过D作DE∥AC交BC的延长线于E，
DH⊥BC于H，
∵DE∥AC，AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，AD=CE=3，∠BFC=∠BDE=90°,△ADC≌△ECD,
∴S△ADC=S△DCE.
∵S△ABD=S△ADC,∴S△ABD=S△DCE.
即梯形ABCD的面积与△BDE的面积相等.
在Rt△BDE中，∵BE=BC+AD=10，
∴当Rt△BDE为等腰直角三角形时，BE边上的高最大，面积也
最大，即当BD=DE时，梯形ABCD的面积最大.
∴ BH  EH  1  3  7   5, DH  1 BE  5.
2
2
1
2
1
2
∴梯形的面积的最大值是 (AD  BC)gDH  10  5  25.
答案:25
等腰梯形的性质
【例2】(2011·芜湖中考）如图,在梯形
ABCD中,DC∥AB,AD=BC,BD平分∠ABC,
∠A=60°.过点D作DE⊥AB,过点C作
CF⊥BD,垂足分别为E、F，连结EF，
求证：△DEF为等边三角形.
【思路点拨】
【自主解答】因为DC∥AB，AD=BC，∠A=60°,所以
∠ABC=∠A=60°,又因为BD平分∠ABC，所以
∠ABD=∠CBD= 1 ABC  30.
2
因为DC∥AB,所以∠BDC=∠ABD=30°,
所以∠CBD=∠CDB,所以CB=CD.
因为CF⊥BD，所以F为BD的中点,
又因为DE⊥AB，所以DF=BF=EF.
由∠ABD=30°，得∠BDE=60°，
所以△DEF为等边三角形.
3.（2011·邵阳中考）如图所示，在等腰梯形ABCD中，
AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=2 cm，则上底DC的
长是_________cm.
【解析】∵AC⊥BC，∠B=60°，∴∠BAC=30°，
∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC=30°，∵AD=BC，
∴∠DAB=∠B=60°，∴∠DAC=30°，
∴∠DAC=∠DCA，∴DC=AD=BC=2 cm.
答案:2
4.（2011·温州中考）如图，在等腰梯
形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点.
求证：△ADM≌△BCM.
【证明】在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
∴AD=BC，∠A=∠B.∵点M是AB的中点，
∴MA=MB.∴△ADM≌△BCM.
等腰梯形的判定
【例3】(2010·南充中考）如图，梯形ABCD
中，AD∥BC，点M是BC的中点，且MA＝MD．
求证：四边形ABCD是等腰梯形．
【思路点拨】
【自主解答】∵MA＝MD，
∴△MAD是等腰三角形，∴∠DAM＝∠ADM．
∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠DAM，∠DMC＝∠ADM．
∴∠AMB＝∠DMC．
又∵点M是BC的中点，∴BM＝CM．
AM  DM
在△AMB和△DMC中，AMB  DMC,
BM  CM

∴△AMB≌△DMC．
∴AB＝DC，∴四边形ABCD是等腰梯形．
5.（2011·盐城中考）将两个形状相同的三角板放置在一张
矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的
形状是___________.
【解析】由图可知AD∥BC，AB与CD不平行，则四边形ABCD为
梯形，而∠ABC=∠DCB，所以四边形ABCD为等腰梯形.
答案:等腰梯形
【例】（2009·济南中考）如图，在梯形
ABCD中，AD∥BC,AD=3,DC=5, AB  4 2,
∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以每
秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿
线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时
间为t秒.
(1)求BC的长； (2)当MN∥AB时，求t的值；
(3)试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形.
【自主解答】(1)如图1，过A、D分别作AK⊥BC于K,DH⊥BC于H，
则四边形ADHK是矩形，
∴KH=AD=3,
在Rt△ABK中，
AK=AB·sin45°= 4 2  2  4,
2
BK=AB·cos45° 4 2  2  4,
2
在Rt△CDH中，
由勾股定理得 HC  52  42  3,
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.
(2)如图2，过D作DG∥AB交BC于点G，
则四边形ADGB是平行四边形，
∵MN∥AB,∴MN∥DG,
∴BG=AD=3,∴GC=10-3=7,
由题意知，当M、N运动t秒时，CN=t,CM=10-2t,
∵DG∥MN,∴∠NMC=∠DGC,又∠C=∠C,
∴△MNC∽△GDC,∴ CN  CM ,
CD
即 t  10  2t , 解得t  50 .
5
7
17
(3)分三种情况讨论：
①当NC=MC时，如图3，
此时t=10-2t,∴ t  10 .
3
CG
②当MN=NC时，如图4，过N作NE⊥MC于E，过D作DH⊥BC于H
方法一：由等腰三角形三线合一性质得
1
1
EC  MC  10  2t   5  t，
2
2
在Rt△CEN中，cosC  EC  5  t ，
NC
t
又在Rt△DHC中，cosC  CH  3 .
CD

5 t 3
25
 , 解得t  .
t
5
8
5
方法二：∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC,∴ NC  EC ,
DC
t
5
即 
HC
5t
25
, t  .
3
8
③当MN=MC时，如图5,过M作MF⊥CN于F点，过D作DH⊥BC于H点
FC 
1
1
NC  t.
2
2
方法一：（方法同②中方法一）
1
t
FC
3
60
cosC 
 2
 , 解得t  .
MC 10  2t 5
17
方法二：∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC,∴ FC  MC ,
HC
DC
1
t
即 2  10  2t , t  60 ,
3
5
17
综上所述，当 t  10 , t  25 或t  60 时，△MNC为等腰三角形.
3
8
17
(2010·昆明中考)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠DCB= 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B
重合），EP与BD相交于点O.
（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
（2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC = 2︰3，请探究：
当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当k=1
时，是_________；②当k=2时，是_________；③当k=3时，
是_________.并证明k=2时的结论.
【解析】(1)∵AD∥BC,
∴∠OBP=∠ODE.
在△BOP和△DOE中,
∠OBP=∠ODE,
∠BOP=∠DOE,
∴△BOP∽△DOE（有两个角对应相等的两个三角形相似）.
（2）①平行四边形
②直角梯形
③等腰梯形
证明：∵k=2时， BP  2 ,
DE
∴BP=2DE=AD,
又∵AD∶BC=2∶3,即 BC  3 AD,
2
PC  BC  BP 
3
1
AD  AD  AD  ED,
2
2
ED∥PC，∴四边形PCDE是平行四边形.
∵∠DCB=90°,
∴四边形PCDE是矩形,
∴∠EPB=90°,
又∵在直角梯形ABCD中,
AD∥BC，AB与DC不平行,
∴AE∥BP，AB与EP不平行,
∴四边形ABPE是直角梯形.