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温故知新
b
a
一. 向量的加法：
2.平行四边形法则：
1.三角形法则：
B
a
b
B
C
ab
a
ab
A
D
b
A
首尾相接
共同起点
二. 向量的减法：
B
a b
a
共同起点 指向被减数
C
D
A
b
温故知新
二、向量共线定理:
向量 b 与非零向量 a 共线,则有且只有一个实
数  ，使得：
b  a
长度：
b  a
方向：1. 当   0 时： b 与 a 方向相同。
2. 当   0 时： b 与 a 方向相反。
3. 当   0 时： b  0  a  0
创设情境、提出问题
a
b
1
请大家现在用平行四边形法则作出 a  2b, a  b
2
a+2b
a
A
b
D
B
C
C
B
1
a b
2
b
D'
D1 1
 b
2
a
b
A
D
数形结合 探究规律
思考：平面内的任一向量 a 是否都可以用不共线的向
量 e1与e2 表示出来呢？说出你做的步骤。
M
A
a
e1
C
e2
如图 OC  OM  ON
OM  1 OA  1 e1
O
N
B
ON  2 OB  2 e2
OC  1 e1  2 e2
即 a  1 e1 +2 e2
演示
数形结合 探究规律
平面向量基本定理
如果 e1 、e2 是同 一平面内的两个不共
线的向量，那么对于这一平面内的任何向
量 a ，有且只有一对实数 1 ，2 ，使
a  1 e1  2 e2
这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内
e2
所有向量的一组基底.
揭示内涵、理解真理
a  1 e1  2 e2
1、基底 e1 、e2 是否唯一？
2、基底 e1 、e2 必须满足什么条件？
3、定理中1 、2 的值是否唯一？能为0吗？
演示
我们得到：(1)基底不唯一；
(2)基底必须不共线；
(3)如果基底选定，则  1 ， 2 唯一确定,可以为零.
特别的：
 1  0 ,  2  0 时, a   2 e 2 ， a 与 e 2 共线.
1  0,  2  0 时, a  1 e1 ，a 与 e1 共线.
1   2  0
时,
a0
平面向量基本定理的应用
例1：在 ABCD 中，
AB  a，AD  b。
(1) 如果 E 、F 分别是BC 、DC 的中点，
试用 a 、b 分别表示 BF 和 DE。 A
F
D

C
E
N
B
M
(2)若M为AB的中点，N在BD上，
3BN=BD,求证：M,N,C三点共线
说明:我们在做有关向量的题型时,要先找清楚未知向量和已
知向量间的关系,认真分析未知与已知之间的相关联系,从而
使问题简化.
学以致用
D
1、如图，已知梯形ABCD，
AB//CD，且AB= 2DC,M、N分别
是DC、AB的中点.
A
M
C
N
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、
MN对应的向量中确定一组基底，将其它向
量用这组基底表示出来.
B
学以致用
1、如图，已知梯形ABCD，
AB//CD，且AB= 2DC,M、N分
别是DC、AB的中点.
参考答案：
D
M
C
e2
A
解：取 AB  e1 , AD  e2 为基底 ,则有
N
e1
1
DC  e1 ;
2
1
1
BC  BA  AD  DC  e1  e2  e1   e1  e2
2
2
1
1
MN  MD  DA  AN   e1  e2  e1
4
2
1
 e1  e2
4
B
学以致用
2、下列说法中，正确的有：
（
2、3
）
1）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平
面所有向量的基底；
2）若
1 e1  2 e2  0(e1与e2不共线）
, 则1  2  0
3）零向量不可以为基底中的向量.
平面向量基本定理的应用
例2：设e1 , e2是两个不共线的向量，已知AB  2e1  k e2 ,
CB  e1  3e2 , CD  2e1  e2 , 若A, B, D三点共线，求实数k的值。
若向量e1 , e2不共线，且a  1 e1  2 e2 , b  3 e1  4 e2
 1  3
如果a  b, 那么
2  4
本题在解决过程中用到了共线向量基本定理，以及待定系数法
列方程，通过消元解方程组。这些知识和考虑问题的方法都必须切
实掌握好。
学以致用
3.已知i, j是不共线的向量，
AB  3i  2 j, CB  i   j, CD  2i  j，
若A, B, D三点共线，求的值。
思考
如图所示：若点L, M , N分别为ABC 的边BC , CA, AB上的点，
BL
CM
AN
 l,
 m,
 n, 当 AL  BM  CN  0时，
BC
CA
AB
求证：l  m  n.
且
A
N
M
C
B
L
小结
1.平面向量基本定理可以联系物理学中的力的分解模型来
理解，它说明在同一平面内任一向量都可以表示为不共线向
量的线性组合，该定理是平面向量坐标表示的基础，其本质
是一个向量在其他两个向量上的分解。
2.一维：向量的共线定理
二维：平面向量的基本定理
三维：空间向量的基本定理
P
例3 如右图, OA、OB 不共线，
AP  t AB (t  R ) ,用OA 、OB 表示OP .
分析：求 OP ，由图可知
OP  OA  AP
 OA  t AB
解：
B
O
AP  t AB
而 AB  OB  OA
AP  t AB
 OP  OA  AP
 OA  t AB
 OA  t (OB  OA)
 (1  t )OA  tOB
说明：同上题一样，我们要找到与未知相关连的量，来解
决问题，避免做无用功！
A
2、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b
A
试用 a , b 表示AG。
F
E
G
B
D
C
变式 设M是△ABC的重心，若MA= a,
MB=b,试用 a , b 表示AB，AC，BC。
A
F
B
E
M
D
C