Transcript 基于探究的立体几何考查研究

基于探究的立体几何考查研究
莆田六中
林金沂
2010年4月3日
1949年教科书编审委员会成立，
1954年拟订教学大纲，并开始编写新的
教材；1966年部分学科的教科书停用，
之后使用上海版“暂用教材”，北京版
“试用教材”；1978年出版各科教材，
随后几经修改，从“一纲一本”向“一
纲多本”变革，到1997年高中实验教材
出版,并于2000年陆续在全国推广，
2004年秋季课程标准（实验）开始试验、
推广.
从1949年起，高考经历了单独
招生、联合招生、统一招生、废除
高考到77年恢复高考（27万人，录
取率4.7%），随后定向生，自费生，
到1999年高校扩招，到2009年招生
规模突破600万．
高考命题也经历了高校自主命
题、统一招生、分省命题、自主招
生，…．
高考数学科试卷的命制，也经
历了以考查知识为主，到能力立意，
关注交汇、关注探究、重视数学的
应用与创新意识（过程与方法）等
一系列的发展和变化．随着课程改
革的深入，福建省高考数学科命题
研究课题组做了大量有益的研究，
并在近几年福建省课题成果及高考
数学试卷中充分展示.
立体几何
传统几何法与向量法试题
1984年全国卷 • 理四
已知三个平面两两相交，有
三条交线，求证这三条交线交于
一点或互相平行．
1993年全国卷 • 理26
已知：平面α∩平面β=直线a．α，
β同垂直于平面γ，又同平行于直线
b．
求证：(Ⅰ)a⊥γ；
(Ⅱ)b⊥γ．
2000年全国（新课程）卷 • 理18甲
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1
的底面ΔABC中，AC=BC=1，
∠ACB=900，棱AA1=2，M、N分别
是A1B1、A1A的中点．
（I）求BN的长；
（II）求cos  BA1, CB1 ；
（III）求证A1B⊥C1M．
2000年全国（新课程）卷 • 理18乙
如图，已知平行六面体ABCD－
A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且
∠BCC1=∠C1CD=∠BCD=600．
(Ⅰ)证明：C1C⊥BD；
(Ⅱ)假定CD=2，CC1=3/2，
求二面角C－BD－C1的
平面角的余弦值；
(Ⅲ)当CD：CC1的值为
多少时，能使A1C⊥平
面BC1D？请给出证明．
2006年福建卷 • 理18
如图，四面体ABCD中，O、E分别是
BD、BC的中点，AC=BC=CD=BD= 2.
(I)求证：AO⊥平面BCD；
(II)求异面直线AB与CD所成角的大小；
(III)求点E到平面ACD的距离．
A
D
O
B
E
C
2009年福建卷 • 理17
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，
DM⊥平面ABCD，BN⊥平面ABCD，且
MD=NB=1，E为BC的中点．
(Ⅰ)求异面直线NE与AM所成角余弦值；
(Ⅱ)在线段AN上是否
存在点S，使得ES⊥平
面AMN？若存在，求
线段AS的长；若不存
在，请说明理由．
高考试卷
数学创新型试题与探究性试题
1996年全国卷 • 理22
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，
E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．
(Ⅰ)求证：BE=EB1;
(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平
面A1EC与平面A1B1C1
所成二面角(锐角)的度数．
注意：在下面横线上填写
适当内容，使之成为(Ⅰ)
的完整证明，并解答(Ⅱ)．
(Ⅰ)证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足．
① ∵ _______________________________
∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F，连结BF，FG，由AB=BC得
BF⊥AC，
② ∵ ______________________________
∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面
AC1于FG．
③ ∵ ______________________________
∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，
④ ∵ ______________________________
∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，
⑤ ∵ ______________________________ ∴FG=AA1/2=BB1/2，
即BE=BB1/2，
故BE=EB1．
1996年立体几何试题设问方式的改
革，对数学语言的阅读理解提出了更高
的要求．九十年代的高考数学试题：
在呈现方法上，出现了折叠、投影、
截面、三视图等多种方式；
在知识的交汇上，出现了与轨迹、
函数等知识综合的试题；
在设问方式上，出现了探究性、开
放性的试题．
到21世纪，特别是高中数学课程标
准的实施，赋于高考数学试题新的活力.
1997年全国卷 • 理19
已知m，l 是直线，α、β是平面，
给出下列命题：
①若 l 垂直于α内的两相交直线，则l⊥α；
②若l平行于α，则 l 平行于α内所有直
线；③若mα，l β，且l⊥m，则α⊥β；
④若l β，且l⊥α，则α⊥β；⑤若mα，
l β，且α∥β，则m∥l．
其中正确的命题的序号是_______ ．
1998年全国卷 • 理18
如图，在直四棱
柱 A1B1C1D1 － ABCD
中，当底面四边形
ABCD满足条件_____
时，有A1 C⊥B1D1．
1999年全国卷 • 理18
α、β是两个不同的平面，m、n
是平面α及β之外的两条不同直线，
给出四个论断：①m⊥n；
②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．
以其中三个论断作为条件，余下一
个论断作为结论，写出你认为正确
的一个命题：_______________ ．
2009年福建卷 • 文5
如右图，某几何体的正视图与侧视
图都是边长为1的正
方形，且体积为1/2．
则该几何体的俯视图
可以是
2005年上海卷 • 理11．
有两个相同的直三棱柱，高为2/a，
底面三角形的三边长分别为3a、4a、
5a(a>0)．用它们拼成一个三棱柱或四
棱柱，在所有可能的情形中，全面积
最小的一个是四棱柱，则a的取值范围
是____．
5a
4a
3a
2009年省质检 • 理18．
四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的
形状和大小如图所示．
（Ⅰ）写出四棱锥P－ABCD中四对线面
垂直关系（不要求证明）；
（Ⅱ）、（Ⅲ）略．
2002年高考全国卷 • 文22．
(I)给出两块相同的正三角形纸片(如图1，图2)，要
求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼
成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角
形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线
标示在图1、图2中，并作简要说明；(II)试比较你剪
拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
(III)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3)，
要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的
三角形的面积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线
标示在图3中，并作简要说明。
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，
DM⊥平面ABCD，BN⊥平面ABCD，且
MD=NB=1，E为BC的中点．
(Ⅰ)求异面直线NE与AM所成角余弦值；
(Ⅱ)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平
面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存
在，请说明理由．
在研究某空间几何体的三视图
时，发现该几何体上有两个动点P，
Q在正视图和俯视图中的射影长恒为
3和4，下列关于线段PQ长的取值范
围的判定中，正确的是( )
A．|PQ|∈(0,4]
B．|PQ|∈(0,5]
C．|PQ|∈[4,5]
D．|PQ|∈[4,5 ]2
试题的母题：
2008年海南与宁夏卷•理12．
某几何体的一条棱长为 7 ，在该几
何体的正视图中，这条棱的投影是长为
6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视
图中，这条棱的投影分别是长为a和b的
线段，则a+b的最
大值为（ ）
A．2 2 B．2 3
k n
C．4
D．2 5
m
考察极端的情况：当PQ与侧
视图对应的平面平行时，|PQ|长
取到最大值5；当|PQ|与正视图对
应的平面平行时，|PQ|=3，与PQ
在俯视图中的射影长为4矛盾；当
PQ与俯视图对应的平
面平行时，|PQ|=4，
据此判定B正确．
3
Q1
P1
P
Q
Q2
P3
Q3
4
P2
应用长方体模型计算判定：设
PQ在侧视图中的射影长为x，在三
个视图中按“长宽高”构造Rt△，
并记长宽高依次为a，b，c．
则a2+c2=9，①
且a2+b2=16，
所以|PQ|2=a2+b2+c2=16+c2．
由①得0≤c2≤9，
所以4 ≤ |PQ| ≤5．
高中数学新课程中“立体几何”
部分新增加了一些内容：平行投影、
中心投影，三视图等，这些内容与
义务教育阶段“空间与图形”中的
“视图与投影”紧密衔接，突出直
观感知、操作确认、思辨论证、度
量计算等探索研究几何的过程．
此类试题的背景比较新颖，
需要实际操作和巧妙设计，能根
据题目的条件和结论进行观察、
分析、探索、决策，是一种解题
策略开放与发散的题型．
谢
谢