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第一章 直线和平面 两个平面垂直的判定和性质（三）
教学目标
1．使学生掌握利用有关定理推导出异面直线上两点间距离的方法；
2．通过公式的推导及对例题的剖析，培养学生在分析解决问题时严谨
的逻辑思维能力．
教学重点和难点
异面直线上两点间距离的推导过程．
教学用具
两根直细木棍，其上分别有一个用醒目颜色标识的点．
教学设计过程
师：上节课我们小结了有关垂直的定理，整理了解决与垂直问题有关的
问题的解题思路，并且留下了两个思考题．首先看第一题：
（板书）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，且BE=EB1．
求证：截面A1EC⊥侧面AC1．
师；这道题的结论是面面垂直．要
想解决这个问题，需要在其中一个平面
中找到或作出另一平面的一条垂线，也
就是转化为解决线面垂直的问题．分析
已知，由正三棱柱可知：△ABC，
△A1B1C1都是正三角形，而侧棱AA1⊥
面ABC．由面面垂直的判定定理可证侧
面AC1与底面ABC垂直．于是在面ABC
内可作出侧面AC1的垂线．可在平面
A1EC中如何找到一条直线垂直于侧面
AC1呢？这一点是从已知到未知的关键
所在，解决了这一点，也就搭起了从已
知到未知的桥梁．哪位同学解决了这个
问题呢？
生甲：取AC中点F，连结BF，作FG∥AA1交A1C
于G，连结GE．
因为 FG∥AA1，F是AC中点，
又因为 正三棱柱ABC-A1B1C1，
所以 AA1
所以 FG
BB1 ，
BE，
所以 四边形FGEB是平行四边形．
所以 BF∥GE．
又因为 正△ABC，
所以 BF⊥AC，
又因为 AA1⊥面ABC
所以 AA1⊥BF
因此 BF⊥面AC1
所以 GE⊥面AC1
所以 面AEC⊥面AC1．
师：很好．充分利用线面之间垂直关系，在平面ACE内找到了直线EG，
EG⊥面AC1，使问题得以解决．
生乙：还可以延展平面A1EC．分别延长CE，C1B1交于点D，连结
A1D．
因为 正三棱柱ABC-A1B1C1
所以 AA1⊥面A1B1C1，
所以 A1A⊥A1D．
所以 在△DCC1中，有DB1=B1C1．
又因为 正△A1B1C1，
所以 A1B1=B1C1=DB1，
所以 ∠A1C1B1=∠B1A1C1，
∠B1DA1=∠B1A1D，
因此 ∠C1A1D=90°，即A1C1⊥A1D．
故 A1D⊥面A1C．
又 A1D 面A1EC，
所以 面A1EC⊥面A1C．
师：生乙的证明给的很新颖．通过延展平面．在更广的范围内寻找线
A1D⊥面AC1．充分利用平面几何的知识，解决两条直线A1D⊥A1C1的问
题．学习立体几何的同时，不要忘记：当在同一平面内时，平面几何的定
理仍然适用．
师：好，下面请同学继续回答第二个问题：“影响异面直线上两点间距离
的因素有哪些？”
生：有三种因素：
1．异面直线的距离；
2．两点在直线上的位置；
3．两条异面直线所成的角．
师：很好．下面我们一起看一下，他所叙述的三点能不能影响异面直线上
两点的距离，确定了这三点是不是距离就确定了．（取出两根细木棍，为
叙述方便，称两点为A、B．演示上述三个方面变化对两点距离的影
响．如果回答的三个方面不准确，可通过演示最终解决）
师：通过演示，可以看出，要想确定异面直线上两点的距离，必须要控制
这三个因素．一是异面直线的距离——用公垂线段的长控制．二是两点在
直线上的位置——用点到公垂线垂足的距离控制．三是两条异面直线的方
向——用两直线所成角控制．
下面我们给出这三组数据，一起来推导异面直线上两点间的距离公
式．
（板书）已知两条异面直线a，b所成角为θ，它们的公垂线段AA′，
长度为d．在直线a，b上分别取点E，F，设A′E=m，AF=n，求EF．
师：要画出两条异面直线，需要用一个平面衬托．选择什么样的平
面呢？结合已知仔细想一下．
生：因为两条异面直线所成的角是要作出来才好用的，所以选择过
直线b且与直线a平行的平面．
师：满足条件的平面有无数个，哪个位置最好？
生：过公垂线段在直线b上的垂足A，作直线a′∥a，则a′，b确定平面
α．
师：这个平面选的好．因为AA′⊥a，所以AA′⊥a′，又AA′⊥b，所以
AA′⊥α．下面我们作出这个图形，来求解EF．
师：观察图形，要求EF，需充分利用已知数据，应想办法将条件集中．
生：过E作EG⊥a′于G，连结GF．
因为 a∥a′，
所以 a，a′确定平面β．
因为 AA′⊥α，
所以 β⊥α．
又 EG⊥α′，
因此 EG⊥α，
所以 △EFG为直角三角形，
且 EG∥AA′，
所以 四边形A′AGE是平行四边形，
所以 AG=A′E=m，EG=AA′=d．
又 AF=n，
所以 在△GAF中，
所以 在Rt△EFG中
师：分析公式，与平面几何中的余弦定理相类似，可类比记忆．要利用
公式计算距离，需提供4个数据m，n，d，θ，要一一指实后再代入计
算．所以这个公式应用起来并不方便．而图形构造好后，公式的推导过程
倒是简单自然．因此，遇到具体问题时常常按推导过程逐一进行计算，最
终求出这两点的距离．所以对这个公式，把握的重点是推导的方法．
师：通过公式的推导，我们还可以得到几点启示．
看直角△EFG，EG＜EF，而EG=AA′，所以异面直线的距离是异面直线
上两点的距离中最小的．
我们知道，求异面直线的距离很困难，原因是公垂线段难找．看图形，
对于异面直线a，b公垂线段AA′不易作出，而EG=AA′．要作出EG则非常方
便，只需过E作EG⊥α即可．所以要求两条异面直线的距离，过其中一直线
作一平面与另一直线平行，将线线距离转化为线面距离，可直接在线上取
一点作这个平面的垂线，为控制垂足的位置，作出这个平面的垂面，就是β，
找到交线，垂足一定落在交线上，也就是再将线面距离转化为两条平行线
间的距离，这个问题在平面几何中已经解决．由此我们得到一种求两条异
面直线距离的方法，即将异面直线距离转化为线面距离，再转化为两条平
行线间的距离，最终使问题得到解决．同时，由于直线b必与平面β相交于
点A，（否则b∥a′∥a）所以总可以过A作AA′⊥a于A′，则AA′就是a，b的公垂
线，说明两条异面直线的公垂线确实存在．
师：下面我们来看一道练习题，请同学打开书，看p．43练习3．
（在60°二面角的棱上，有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面
角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB=4cm， AC=6cm，
BD=8cm．利用异面直线上两点距离公式求CD）
师：依题意作出图形．要利用公式需要找清4个数据．请一位同学说一
下．
生：两条异面直线是AC，BD．
由于AB⊥AC，AB⊥BD，
所以AB是AC，BD的公垂线段，这三个数据都有了，只差AC，BD所
成的角．
师：应该怎样去求两条异面直线所成的角呢？
生：首先作出这个角．
师：好，回忆作异面直线所成角的方法是：选定一点，作平行线．结
合已知，将点选在哪儿最好？
生：已知二面角的平面角为60°，所以选点A，过A在β内作AE∥BD，则
AE⊥AB，又据AC⊥AB，所以∠CAE为二面角的平面角，也是这两条异
面直线所成的角．
师：很好，求出了这个角应该是60°，四个数据都已指实，可以代入公
式计算了．
师：通过这道练习题，我们应该可以体会到，这个公式确实用起来不太
方便，如果这道题没有要求利用公式，你会求解吗？
生：在β内分别过D作AB的平行线，过A作BD平行线，两线交于G，
连结CG．
因为 BD∥AG，BD⊥AB，
所以 AG⊥AB．
又因为 AC⊥AB，
所以 ∠GAC为二面角α-AB-β的平面角，
所以 ∠GAC=60°，且AB⊥面AGC．
又因为 BDGA中，
所以 DG=AB=4，AG=BD=8，且DG⊥面
AGC，
所以 DG⊥CG．
在△AGC中，
在Rt△CGD中，
师：思路清楚．通过构造二面角的平面角将已知条件相对集中，最终
通过解三角形求得结果，这是解决这类问题常用的方法，请同学注意理
解掌握．
师：这一节课我们重点解决了异面直线上两点间距离的问题，得到了距
离公式．同时通过例题的解决及公式的推导，再一次将线面垂直关系转
化的思路和方法展示出来，目的是使同学能够熟练的进行线面位置关系
的转化，以解决立体几何中的有关问题．
课堂教学设计说明
本节课是面面垂直的判定和性质的最后一节课．将有关垂直问题的
小结放在上一节课，目的是使学生对线面的垂直关系有一总体的把
握．本节由一个例题开始，正是为了使学生能够更深入的体会定理，熟
悉线面关系是如何转化的，掌握解决这类问题的基本思路．异面直线上
两点的距离公式是定理，可以直接给出证明．本节课从分析影响两点间
距离的因素入手，既可以调动学生的积极性，又可以教会学生，如何寻
找变量，然后加以控制，最终得到结论．这种方法是定量研究某一问题
时，经常采用的科学方法．