Transcript 九年级数学圆的对称性
圆的对称 （1）垂径定理 临川高坪镇初级中学 周俊华 3.2圆的对称性 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的? O ● 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, 它有无数条对称轴. 利用折叠的方法即可解决上述问题. ● O 圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB ,读作“AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB). 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). B A M ● O C D 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如 ⌒ 弧ABC). ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB(用两个字 母). ⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作AMB(用三个 C 字母). A 垂径定理 B M└ O ● AB是⊙O的一条弦. D 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M。 下图是轴对称图形吗? 如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说说你的想法和理由。 结论 题设 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ③AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 如图,小明的理由是: 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. C A B └ O ● ∴点A和点B关于CD对称. D ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD =BD. ∴AC =BC, 垂径定理三种语言 定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两条弧. C A M└ ● D O 如图∵ CD是直径, 老师提示: 垂径定理是 CD⊥AB, 圆中一个重 ∴ AM=BM, 要的结论,三 B 种语言要相 ⌒ ⌒ AC =BC, 互转化,形成 ⌒ ⌒ 整体,才能运 AD= BD. 用自如. 垂径定理的逆定理 AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 下图是轴对称图形吗? 如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由. C ②CD⊥AB, A B由①CD是直径 ⌒ ⌒ ┗ ④AC=BC, ③AM=BM MO ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 平分弦（不是直径）的直径垂直于 ． D 弦,并且平分弦所对的两条弧. 不是直径 ● ● 练一练：试 金 石 如图，已知在⊙O中，弦A AB的长为8厘米，圆心O到AB 的距离为3厘米，求⊙O的半 径。 E B .O 解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米 在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。 垂径定理的逆定理 如图,在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC = BC, ⑤ AD = BD. C A M└ ● B O 只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论. 你可以写出相应的命题吗? D 条件 结论 命题 ①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对 的两条弧. ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③ ②③④ ①④⑤ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤ ④⑤ ①③⑤ ①③④ ①②⑤ ①②④ ①②③ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分 弦所对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的 两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心, 并且平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂 直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. 垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹 的弧相等吗? 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 O A ● C M 可推得 B D 2.两条弦在圆心的两侧 A O B ● C M 圆的两条平行弦所夹的弧相等. D 讲解 如果圆的两条弦互 C A 相平行，那么这两条弦 所夹的弧相等吗？ M D B .O 已知：⊙O中弦 ⌒ ⌒ AB∥CD。求证：AC＝BD N 证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直 平分弦的直径平分弦所对的弦） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM－CM ＝ BM －DM ⌒ ⌒ ∴AC＝BD 圆的两条平行弦所夹的弧相等 挑战自我 1、判断 ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所 对的两条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦 所对的另一条弧. （ ） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） ） 2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : B M . E 图中相等的劣弧有: D A O . C F N 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA. C A D O B 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长. A B H E M ·N 0 G D F C 思考题 已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦， AB=6cm，CD=8cm，⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形 （2）求出AB、与CD间的距离。 A A B B D C O O D C （1） （2） 驶向胜利 的彼岸 习题3.2 1、 试一试 第1题 2题